2023年四川省宜宾重点中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年四川省宜宾重点中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 函数中，自变量的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D.
6. 已知样本数据，，，，，下列说法不正确的是( )
A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是
7. 关于的分式方程有增根，则的值( )
A. B. C. D.
8. 九章算术中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为( )
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
9. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，已知点、的坐标分别是、，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
11. 在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象中不存在“好点”的是( )
A. B. C. D.
12. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：
，
，
，
若四边形的面积为，则该正方形的面积为，
．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 因式分解：______．
14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
15. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分．
16. 若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是______．
17. 如图，在菱形中，，，分别在边，上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为______．
18. 如图，已知正方形的边长为，点是正方形内一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则长度的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
计算：．
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
求证：；
若，，求的度数．
21. 本小题分
端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对、、、四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
本次参加抽样调查的居民有______人．
喜欢种口味粽子的人数所占圆心角为______度．根据题中信息补全条形统计图．
若该居民小区有人，请你估计爱吃种粽子的有______人．
若有外型完全相同的、、、棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．
22. 本小题分
鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．
求无人机的飞行高度；结果保留根号
求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，
23. 本小题分
已知一次函数为常数与轴交于点，与反比例函数交于、两点，点的横坐标为．
求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
求出点的坐标，并根据图象写出当时对应自变量的取值范围；
若点与点关于原点成中心对称，求出的面积．
24. 本小题分
如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径，点为弦的中点，连结，恰好为的切线．
求证：是的切线．
求证：．
若，，求四边形的面积．
25. 本小题分
已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点 ．
求抛物线的表达式及顶点的坐标；
点是线段上一个动点．
如图，设，当为何值时，？
如图，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义求解．
本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数是关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．据此解答即可．
【解答】
解：．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：正方体展开图的种情况可分为“型”种，“型”种，“型”种，“型”种，
只有选项D不能作为正方体的展开图，
故选：．
根据正方体的展开图的种不同情况进行判断即可．
本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的种不同情况，是正确判断的前提．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查整式的除法，合并同类项，完全平方公式，以及幂的乘方与积的乘方，掌握计算方法是正确计算的前提．
根据整式的除法，合并同类项，完全平方公式，以及幂的乘方与积的乘方分别进行计算，再判断即可．
【解答】
解：与不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；
根据完全平方公式可得，因此选项B不正确；
，因此选项C不正确；
，因此选项D正确；
故选D．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故选C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不为，列不等式组可求得自变量的取值范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.【答案】
【解析】解：样本数据，，，，中平均数是，中位数是，众数是，
方差是．
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．
本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设共有人合伙买羊，羊价为钱，
依题意，得：，
解得：．
故选：．
设共有人合伙买羊，羊价为钱，根据“若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故选：．
由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大，
连接、、，作轴于，如图，
点、的坐标分别是、，
，，
，
，
，
与轴相切于点，
轴，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
点坐标为．
故选：．
过点、作，点与轴相切于点时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时最大，连接、、，作轴于，如图，利用垂径定理得，则，再根据切线的性质得轴，则四边形为矩形，所以，则，在中，利用勾股定理计算出，于是可得到点坐标为．
本题考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、圆周角定理，勾股定理，坐标与图形，掌握相关定理性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：横、纵坐标相等的点称为“好点”，
当时，
A.，解得，不符合题意，
B.，此方程无解，符合题意，
C.，解得，不符合题意，
D.，解得，，不符合题意，
故选：．
根据横纵、坐标相等的点称为“好点”，即当时，将函数解析式变为方程，方程有解即可进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握每个函数的性质．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
正确．证明，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
正确．利用四点共圆证明即可．
正确．设，求出，即可解决问题．
错误，通过计算正方形的面积为．
正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】
解：如图，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，故正确，
连接．
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，故正确，
设，则，，
，即，故正确，
根据对称性可知，≌，
，
，，
，，
，∽，
，，
，
，故错误，
，，
∽，
，
，
，故正确，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
解得：，
故答案为：．
根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
根据加权平均数的计算方法求值即可．
【解答】
解：由题意，则该名教师的综合成绩为：
分
故答案为：
16.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
因为不等式组有且只有三个整数解，则解为，，，
所以，
解得，
故答案为：．
解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案．
此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
17.【答案】
【解析】解：
延长与交于点，
，
，
，，，
，
，
，
设，，，
，，
，
则，
，
，
，
，
，
．
首先延长与交于点，进而利用翻折变换的性质得出，再利用边角关系得出，的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出的长是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，
连接交于，交半圆于，则线段的长即为的长度最小值，，
，，
，
，
，
的长度最小值为，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，推出，得到点在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，连接交于，交于，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19.【答案】解：
；
，
当时，原式．
【解析】先根据有负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，零指数幂进行计算，再求出答案即可；
先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可．
本题考查分式的化简求值，二次根式的性质，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数等知识点，能正确根据知识点进行计算和化简是解此题的关键．
20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键．
根据平行线的性质求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质得出即可；
根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案．
21.【答案】解：

补全条形统计图为：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是种粽子的结果数为，
所以他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
用喜欢种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出喜欢种口味粽子的人数，再计算出喜欢种口味粽子的人数，则用度乘以喜欢种口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数，然后补全条形统计图；
用该居民小区总人数乘以爱吃种粽子人数所占的百分比即可得出答案；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他第二个吃的粽子恰好是种粽子的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：人，
所以本次参加抽样调查的居民有人；
故答案为：；
喜欢种口味粽子的人数为人，
喜欢种口味粽子的人数为人，
所以喜欢种口味粽子的人数所占圆心角的度数为；
故答案为：；条形统计图见答案；
，
所以估计爱吃种粽子的有人；
故答案为：；
见答案．
22.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，由题意可知，
，，米，
在中，，米，
米，
答：无人机的飞行高度为米；
由可得米，
在中，
，即：，
米，
米，
米，
答：河流的宽度约为米．
【解析】在中，由，，可求出；
在中，，，可求出，进而求出和即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
23.【答案】解：点的横坐标为且在反比例函数的图象上，
，
点的坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为，
时，；时，；
图象过点，，
函数图象如右图所示；
联立，
解得或，
一次函数为常数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，
点的坐标为，
由图象可得，当时对应自变量的取值范围是或；
点与点关于原点成中心对称，
点，
作轴交于点，
将代入，得，点
又由知，点的坐标为
，
即的面积是．
【解析】根据点的横坐标为且在反比例函数的图象上，可以求得点的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
将两个函数解析式联立方程组，即可求得点的坐标，然后再观察图象，即可写出当时对应自变量的取值范围；
根据点与点关于原点成中心对称，可以写出点的坐标，然后点、、的坐标，即可计算出的面积．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：连接，，
，点为弦的中点，
垂直平分，
，
，，
≌，
，
为的切线，
，
，
，
是的切线．
证明：，
，
，
，
，
，
．
解：为直径，点为弦的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，
，
四边形的面积．
【解析】本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
根据垂径定理得到，根据平行线和等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，解直角三角形得到，根据勾股定理即可得到结论．
25.【答案】解：抛物线过点，，
，解得：，
抛物线解析式为；
顶点的坐标为；
在中，，，
，
，，，
，，
为直角三角形，且．
，
为直角三角形斜边中线，即点为中点，
，
．
在中，，
在中，，
，
，
，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：
当时，∽，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
，解得：，
当时，∽，
，
，
直线的解析式为，
，解得：，
．
综合以上可得点的坐标为或．
【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
将、两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；
由、、三点的坐标求出，，，可得为直角三角形，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出的值；
由条件可判断，则，若以，，为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：当或时，可分别求出点的坐标．
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2023年四川省宜宾重点中学中考数学二模试卷（含解析）