2022-2023北师大新版七年级下册数学期末复习试卷（含解析）

2022-2023学年北师大新版七年级下册数学期末复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列交通标志中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数是无理数的是（　　）
A．0.101 B． C．﹣ D．﹣1
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．水中捞月
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
C．打开电视，正在播广告
D．如果a、b都是实数，那么ab＝ba
4．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．（SSS） B．（SAS） C．（ASA） D．（AAS）
6．如图，在△ABD中，∠D＝20°，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC，若AB＝AC，则∠BAD的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树的顶端落在离树干4米远处，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
8．等腰三角形中有一个角等于70°，则它的底角度数是（　　）
A．70° B．70°或55° C．40°或55° D．55°
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A，②∠EBO＝∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（　　）
A．6cm B．12cm
C．12cm或6cm D．以上答案都不对
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．＝　 　；的算术平方根是 　 　；的立方根是 　 　．
12．已知，则（a2b）3＝　 　．
13．有四条长度分别为1，3，5，7的线段，从这四条线段中任取2条，则所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的概率为　 　．
14．如图，正方形边长为12cm，在四个角分别剪去全等的等腰直角三角形．当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积变化如下表所示：
三角形的直角边/cm 1 2 3 4 5 6
阴影部分的面积/cm2 142 136 126 112 94 72
若等腰直角三角形的直角边长为3cm，则图中阴影部分的面积是 　 　cm2．
15．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是　 　cm．
16．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为 　 　．
17．在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且∠BAD+∠BCD＝180°
①若AB＝AD，则AC平分∠BCD；
②若△ABD是等边三角形，则AC＝BC+CD；
③在②的条件下，若点O是BD的中点，则OA＝2OC；
④若∠ABC＝∠ADC，且∠BCD＝130°，点M、N分别在AB，AD上，当△CMN的周长最小时，∠CMN+∠CNM＝100°．
以上结论中，正确的序号是 　 　．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（10分）计算下列各小题：
（1）（﹣x3）2+x9÷（﹣x3）﹣（x+1）（x﹣1）；
（2）x（x﹣2y）﹣（3x3+6x2y﹣3x）÷3x．
19．（5分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，∠C＝30°．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠B的平分线交AC于点D，过D作直线BC的垂线交BC于点E；
（2）求△DEC的周长．
20．（6分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．
求证：AC＝DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）
21．（8分）某航空公司邮递物品时，通常需要交纳一定的航空运输费用，上表表示了它们之间的关系：
需邮递的货物的价格 运输费
0.00～30.00 4.25
30.01～70.00 5.75
70.01及以上 6.95
（1）按照下表填空：
需邮递的货物的价格 15 42 70 100
运输费
（2）上述哪些量在变化自变量和因变量各是什么？
（3）你能画出自变量和因变量关系的图象吗？
22．（8分）请按要求完成下列游戏方案设计．
（1）现有如图1两个正方形的飞镖盘，请设计两种方案将它们分别分割成6块，并分别涂上红色和蓝色，使得飞镖击中红色的概率为．
（2）现有如图24张数字卡片，甲、乙两名同学想利用这几张卡片进行一个公平的抽卡片游戏，请你帮他们设计一个游戏方案．
23．（10分）已知：如图，在△ABC中，O为BC垂直平分线上一点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，BD＝CE．
求证：点O在∠A的平分线上．
24．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
25．（12分）我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．
根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．
【初步思考】
一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？
通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：
【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？
小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ．一条边和四个角分别相等；Ⅱ．二条边和三个角分别相等；
Ⅲ．三条边和二个角分别相等；Ⅳ．四条边和一个角分别相等．
（1）小齐认为“Ⅰ．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．
（2）小栗认为“Ⅳ．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图3进行证明．
已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，DA＝D1A1，∠B＝∠B1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．
（3）小熊认为还可以对“Ⅱ．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：
①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；
③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．
其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是 　 　（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是 　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意．
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
2．解：A．0.101是有限小数，属于有理数；
B．是分数，属于有理数；
C．﹣＝﹣2，是整数，属于有理数；
D．﹣1是无理数；
故选：D．
3．解：A、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，不符合题意；
D、如果a、b都是实数，那么ab＝ba，是必然事件，符合题意；
故选：D．
4．解：①a＝32，b＝42，c＝52，∴a2+b2≠c2，故不能形成直角三角形；
②（c+b）（c﹣b）＝c2﹣b2＝a，故不能形成直角三角形；
③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠C＝90°，能形成直角三角形；
④∵a＝1，b＝，c＝，∴a2+c2＝b2，故能形成直角三角形，
故直角三角形的个数为2个，
故选：B．
5．解：易得OC＝O′C'，OD＝O′D'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选：A．
6．解：∵CE垂直平分AD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝20°，
∴∠ACB＝∠CAD+∠D＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝120°，
故选：C．
7．解：如图，BC＝3m，AC＝4m，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
即42+32＝AB2，
解得AB＝5，
∴AB+BC＝5+3＝8（m），
即这棵大树在折断前的高度为8m，
故选：C．
8．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：B．
9．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠BOC＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝90°+∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，
而OB平分∠EBC，
∴∠EBO＝∠EBC，
∴∠EBO＝∠AEF，所以②正确；
∵OD⊥AC于D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DOC+∠OCD＝90°，
∵OC平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等，
∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m，
∴S△AEF＝AE m+AF m＝m（AE+AF）＝mn，所以④正确．
故选：D．
10．解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△APQ与Rt△CBA中，
，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），
即AP＝BC＝6cm；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12cm．
综上所述，AP＝6cm或12cm．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．解：＝＝5；
＝8，＝2；
＝8，＝2；
故答案为：5；2；2．
12．解：由题意得，a+2＝0，b+＝0，
解得a＝﹣2，b＝﹣，
所以，（a2b）3＝[（﹣2）2×（﹣）]3＝（﹣1）3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．解：从四条长度分别为1，3，5，7的线段中选2条有如下6种情况：1、3；1、5；1、7；3、5；3、7；5、7；
其中所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的有3、5；5、7；
所以所取2条线段与一条长度为4的线段能构成一个三角形的概率为＝，
故答案为：．
14．解：依题意当等腰直角三角形直角边长为3时，
阴影面积为122﹣4××32＝126cm2．
故答案为：126．
15．解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×＝6（cm），展开得：
∵BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝＝10（cm）．
故答案为：10．
16．解：延长AP交BC于D，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AD，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
∴∠BAP＝∠BDP，
∴BA＝BD，
而BP⊥AD，
∴AP＝DP，
∴S△BPD＝S△ABD，S△PDC＝S△PDC，
∴S△PBC＝S△BPD+S△PDC＝S△ABC＝（cm2）．
故答案为： cm2．
17．解：①过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于，与CD的延长线交于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴∠ACB＝∠ACF，
即AC平分∠BCD，
故①正确；
②将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADG，
∴AC＝AG，BC＝DG，∠CAG＝60°，∠ADG＝∠ABC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，
∴C、D、G三点共线，
∴△ACG为等边三角形，
∴AC＝CG，
∵CG＝DG+CD＝BD+CD，
∴AC＝BC+CD，
故②正确；
③∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，
∴AC⊥BC，∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴AD＝2OD，
∴AO＝，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝120°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴CD＝2OC，
∴OD＝，
∴OA＝，
故③错误；
④作点C关于AB、AC的对称点E、F，连接EF，与AB、AC分别交于点M、N，连接CM、CN，
由对称性质知，ME＝MC，NF＝NC，
∴∠MCE＝∠E，∠NCF＝∠F，
△CMN的周长＝CM+MN+CN＝ME+MN+NF＝EF，
根据两点之间线段最短，得此时△CMN的周长＝EF的值最小，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
由对称性质知，AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠ECF＝180°﹣∠BAC＝130°，
∴∠MCE+∠NCF＝∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝50°，
∴∠MCN＝∠ECF﹣（∠ECM+∠NCF）＝80°，
∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣∠MCN＝100°，
故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．解：（1）原式＝x6﹣x6﹣（x2﹣1）
＝﹣（x2﹣1）
＝﹣x2+1．
（2）原式＝x2﹣2xy﹣（x2+2xy﹣1）
＝x2﹣2xy﹣x2﹣2xy+1
＝﹣4xy+1．
19．解：（1）如图，射线BD，直线DE即为所求．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，∠C＝30°．
∴BC＝2AB＝8，AC＝＝＝4，
∵∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∵DC＝DB，
∵DE⊥BC，
∴CE＝EB＝4，
∵DA⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DA＝DE，
∴△DEC的周长＝CD+DE+CE＝CD+DA+CE＝AC+EC＝4+4．
20．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC（等量加等量和相等）．
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，∠B＝∠1，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC＝DF（全等三角形对应边相等）．
21．解：（1）按表格填空：
需邮递的货物的价格 15 42 70 100
运输费 4.25 5.75 5.75 6.95
（2）运输费随邮递货物的价格变化而变化，邮递货物价格是自变量，运输费是因变量．
（3）
22．解：（1）两种方案如图1所示（答案不唯一）：
每个小长方形的面积相等，
则飞镖击中红色的概率为＝．
（2）游戏方案：把四张卡片翻放，保证看不到卡片上的数字．甲、乙两名同学分别选一张卡片，当抽到的卡片上的数字小于等于3时，甲获胜；否则乙获胜．
理由如下：
甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴游戏公平．
23．证明：连接OB、OC，
∵O为BC垂直平分线上一点，
∴OB＝OC，
在Rt△ODB和Rt△OEC中，
，
∴Rt△ODB≌Rt△OEC（HL），
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD＝OE，
∴点O在∠A的平分线上．
24．解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
又∵AB＝4米，
∴AC＝3米，BC＝5米，
故旗杆距地面3米处折断；
（2）如图，
∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，
∴B'D＝8﹣1.75＝6.25米，
∴AB′＝米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
25．解：（1）如图1，
在正方形ABCD和矩形EFGH中，
满足AB＝EH，且四对角对应相等，正方形ABCD和矩形EFGH不全等；
∴一条边和四个角分别相等；
（2）证明：如图2，
连接AC、A1C1，
∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1
∴△ABC≌△A1B1C1（SAS），
∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，
又∵CD＝C1D1，DA＝D1A1，
∴△ACD≌△A1C1D1（SSS），
∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠DCA＝∠D1C1A1，
∴∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；
（3）如图3，
AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；
③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．
①连接BD，
∵AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
∴∠ABD＝∠A1B1D1，BD＝B1D1，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠DBC＝∠D1B1C1，
∵∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1D1C1（AAS），
∴BC＝B1C1，CD＝C1D1，
∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，
故①正确，
②同理①可得，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
再证得△BCD≌△B1D1C1，
从而四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，
故②正确；
③根据四边形的内角是360°，
∵∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，
∴∠A＝∠A1，
转化到①，故③正确；
如图4，
满足AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
但两个四边形不全等，
故答案是：①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．

2022-2023北师大新版七年级下册数学期末复习试卷（含解析）