2023年云南省大理州九年级教学质量监测数学试卷（含解析）

2023年云南省大理州九年级教学质量监测数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 据第三方大数据监测显示，年春节假日期间大理州共接待游客约人次，实现旅游业总收入元，同比分别增长，用科学记数法可以把数字表示为( )
A. B. C. D.
2. 如图，一块含角的直角三角板的两个顶点恰好落在一把标准直尺的对边上．若，则的度数是( )
A. B. C. D.
3. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔叶形线
C. 心形线 D. 四叶玫瑰线
4. 如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的面积为，则的面积是( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 为了了解“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，采用抽样调查
B. 打开电视，正在播放动画片是必然事件
C. 随着实验次数增多，某一事件发生的频率就会不断增大
D. 一组数据为，，，，，则这组数据的平均数和中位数都是
6. 下列各式计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ( )
A. B. C. D.
8. 若一个正多边形的每个内角为，则这个多边形的内角和为( )
A. B. C. D.
9. 如图，的弦，半径，垂足为，且，则的半径等于( )
A. B. C. D.
10. 观察下列图形的排列规律，则第个图形是( )
A. B. C. D.
11. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点、 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线 交 于点，若，，则的周长为( )
A. B. C. D.
12. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，提升文化自信和民族自豪感，某校为各班购进红楼梦和西游记连环画若干套，其中每套红楼梦的价格比每套西游记的价格贵元，用元购买西游记的套数是用元购买红楼梦套数的倍，设每套西游记的价格为元，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若式子有意义，则的取值范围是 ．
14. 分解因式： ．
15. 将一个底面半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．
16. 已知直线分别与轴、轴交于、两点，且的面积为，反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的解析式为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
如图，在中，是边上的点，，，垂足分别为、，且，求证：．

19. 本小题分
在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于小时，但不足小时，从七，八年级中各随机抽取了名学生，对他们在活动期间课外阅读时长单位：小时进行整理、描述和分析阅读时长记为，，记为；，记为；，记为；以此类推，下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，七年级抽取的学生课外阅读时长：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表
年级 七年级 八年级
平均数
众数
中位数
小时及以上所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
填空：___，____，_____．
该校七年级有名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在小时及以上的学生人数．
根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由．写出一条理由即可
20. 本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情。小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得，小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为，的两个球，乙口袋装有编号为，，，，的五个球，两个口袋中的球除编号外都相同。小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜，请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
21. 本小题分
如图，在中，于点，、分别是、的中点，是 的中点，的延长线交线段于点，连结、、．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．
22. 本小题分
果园有果树棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且为整数棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？
23. 本小题分
如图， 内接于，、是的直径， 是延长线上一点，且．
求证：是的切线；
若，，求线段的长．
24. 本小题分
已知抛物线：经过点求抛物线的函数表达式；
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值．把抛物线向右平移个单位得到抛物线，已知点、都在抛物线上，若当时，都有，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值大于表示成的形式，
，，
表示成，
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再根据直角三角板的性质得出的度数即可．
【解答】解：如图：
，，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】根据位似比为：推知两个三角形的相似比为：根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”作答．
【解答】解：与位似，点为位似中心，位似比为：，
与相似，相似比为：，
与的面积比为：．
的面积为，
的面积是．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】依据随机事件的定义、概率的意义，以及抽查的条件，及平均数、中位数即可作出判断．
【解答】解：、为了了解“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，采用全面调查，选项错误；
B、打开电视，正在播放动画片是随机事件，选项错误；
C、随着实验次数增多，某一事件发生的频率稳定在一个数附近，选项错误；
D、正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【解答】解：一元二次方程中，，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理知道，而，可以连接构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程．
【解答】解：如图，连接，
，
为的中点，，
设，则，
在直角三角形中，，
，
解得，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：观察图形可知，图形是按照循环出现的，个图形循环一次。
，
答：第个图形是。
故选：。
11.【答案】
【解析】
【分析】先根据作图得平分，再根据平行四边形的性质求解．
【解答】解：由作图得：平分，
，
在平行四边形中，有，，，
，
，
的周长为：．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】设每套西游记连环画的价格是元．则红楼梦连环画的价格是元．根据“用元购买西游记的套数是用元购买红楼梦套数的倍”列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】二次根式的概念．形如 的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：式子
在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式因式分解是解题关键．
【解答】原式，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数．
【解答】解：将一个半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
圆锥侧面积公式为：，
扇形面积为
，
解得：，
侧面展开图的圆心角是．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】解：在中，时，，
，，
又的面积为，
，
，或，
或，
设反比例函数解析式为
，
代入或得或，
反比例函数解析式为．
故答案为：．
17.【答案】解：原式

【解析】先计算二次根式、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，最后计算加减。此题考查了实数混合运算及整式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】证明： ，

在 和 中，
，

【解析】由垂直的定义，，证明，得出对应角相等即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，能够证明是解决问题的关键．
19.【答案】；，。
人，
答：七年级在主题周活动期间课外阅读时长在小时及以上的大约有人；
八年级参与的积极性更高，理由：八年级学生课外阅读时长的中位数、众数、课外阅读时长小时及以上所占百分比均比七年级的高．

【解析】根据众数的定义可求出七年级学生的课外阅读时长的众数，即的值；根据中位数的定义可求出八年级学生的课外阅读时长的中位数，即的值，根据频率可求出八年级学生的课外阅读时长在小时及以上所占百分比，即的值；
求出样本中七年级学生课外阅读时长在小时及以上的学生所占的百分比，即可估计总体中所占的百分比，进而求出相应人数；
由中位数、众数的比较得出结论．
20.【答案】解：列表如下．
共有种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有种结果，两球编号之和为偶数的有种结果，
小冰获胜 ，小雪获胜
小冰获胜小雪获胜，
游戏对双方都公平．

【解析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
21.【答案】证明： ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，

是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
解： ，
，
是 的中点，
，
，
即 ，
，
，
．
由可知，四边形 是平行四边形，

【解析】由三角形中位线定理得，则，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键
22.【答案】解：根据增种棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为；增种棵果树时，每棵果树的平均产量为，设与的函数关系式为 ．
将，；，代入可得
解得
与的函数关系式为
根据题意，

．
所以当 时，有最大值．
．
答：增种果树棵时，果园的总产量最大，最大产量是

【解析】根据题意可知点所表示的实际意义，列算式求与之间的函数关系式；
根据题意写出二次函数解析式，根据其性质，求出当增种果树多少棵时，果园的总产量最大，及最大产量是多少．
本题考查了二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式，用二次函数的性质求出最大产量是解题关键．
23.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
解：由知，，
在和中，
，，
，
即，
，
在中，，，
，
解得，
即线段的长为

【解析】根据直径所对的圆周角是，得出，根据圆周角定理得出，推出即可得出结论；
根据得出
，再结合已知条件，根据勾股定理得出即可．
24.【答案】解：把代入得：
，
解得，
；
即抛物线的函数表达式为
抛物线：的顶点为，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，
而关于原点的对称点为，
把代入得：
，
解得
把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，
点，都在抛物线上，
，
．
当时，，
，
，
整理变形得：，
，
，
，
，
，
解得，
的取值范围是

【解析】把代入抛物线的解析式求出即可；
求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
抛物线向右平移个单位得到抛物线，得解析式为，根据，构建不等式求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
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2023年云南省大理州九年级教学质量监测数学试卷（含解析）