2023年江苏省扬州市江都区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市江都区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图是由四个大小相同的立方体组成的几何体，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下面是某设计公司设计的与字母“”有关系的四幅图，其中图案是轴对称图形( )
A. B. C. D.
5. 某班有名学生参加数学竞赛，他们的得分情况如表，那么这名学生所得分数的众数和中位数分别是( )
分数分
人数人
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7. 若关于的分式方程有正数解，求的取值范围甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是( )
A. 只有甲答案对 B. 只有乙答案对
C. 甲、乙答案合在一起才正确 D. 甲、乙答案合在一起也不正确
8. 已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 据第七次全国人口普查结果显示，江都区常住人口约为人，数据用科学记数法表示为______ ．
10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
11. 因式分解：______．
12. 计算： ______ ．
13. 如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为______ ．
14. 我国古代数学专著九章算术中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径那么，这口宛田的面积是______ 平方步．
15. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是
16. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，坐标分别为，，点在线段上，且，则点的坐标为______ ．
18. 面积为的平行四边形在平面直角坐标系中如图所示，反比例函数为常数，，的图象经过点与的中点，则 ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算或化简：
；
．
20. 本小题分
解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
21. 本小题分
今年春节期间，扬州市国有景点全部免费开放，小明从个园、何园、瘦西湖、大运河博物馆、八怪纪念馆这个景点中随机选择个景点游玩．
小明选择去瘦西湖的概率______ ；
若瘦西湖景点已经去过，小明从其他景点中再任意选择个景点陪同学游玩，请用列表或画树状图的方法，求出小明选择个园、大运河博物馆这两个景点的概率．
22. 本小题分
某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图部分信息未给出，请你根据给出的信息解答下列问题：
求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图画图后请标注相应的数据；
______，______；
若该校共有名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
23. 本小题分
月日是“国际读书日”，张老师计划用元在网上购买一些图书，后来书店搞促销，因而买得书的本数比计划多了四分之一，相当于平均每本少了元问张老师在这个读书日实际买了多少本书？
24. 本小题分
如图，在平行四边形中，、分别平分、，分别交、于点、．
求证：≌；
若，，求四边形的面积．
25. 本小题分
我们把一次函数为常数，与二次函数为常数，称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”如图，一次函数的图象与二次函数的图象相交于，两点．
随着的变化，他们的图象各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图象总过点______ 写坐标；不等式的解集为______ ；
若是直角三角形，求的值．
26. 本小题分
如图，在中，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
请用无刻度的直尺和圆规作，使得与直线相切；要求：不写作法，但需保留作图痕迹
若，，求中的半径．
27. 本小题分
教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为元件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量件与销售单价元件为整数近似的满足一次函数关系，数据如表：注：利润率利润成本
销售单价元件
每天销售量件
求与的函数关系式；
试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠元给“希望工程”若扣除捐赠后的日利润随着销售单价的增大而增大，请直接写出的取值范围是______ ．
28. 本小题分
【初步感知】如图，点，，，均在小正方形网格的格点上，则 ______ ；
【问题解决】求的值；
方案：如图，在中，，，作平分交于；
方案：如图，在中，，，过点作，垂足为；
请你选择其中一种方案求出的值结果保留根号；
【思维提升】求的值；如图，在中，，求的值结果保留根号．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、，计算正确，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：从左边看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】
【解析】解：由表格可知：得分的有人，人数最多，
则这名学生所得分数的众数为；
将这名学生所得分数从小到大排列后，第、名学生的分数为、，
即这名学生所得分数的中位数为．
故选：．
根据众数和中位数的定义即可求出结论．
此题考查的是求一组数据的众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解决此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
，
，
，
故选：．
直接利用估算无理数的方法估算出的范围即可得到答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的化简，正确得出的取值范围是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
关于的分式方程有正数解，
，
解得：或，且，
甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
故选：．
先解分式方程，得出，根据关于的分式方程有正数解，得出，解不等式组即可得出答案．
本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于的分式方程有正数解，列出关于的不等式组．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，所以最小值是，
故选：．
由已知得，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．
本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：若式子在实数范围内有意义，
则的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式分解因式是解题关键．直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据分式的加减运算进行计算即可求解．
本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图：
，
，
，
，
．
根据平行线的性质，先求出，的度数，再利用三角形内角和求出、．
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，准确计算是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，
这块田的面积平方步，
故答案为．
利用扇形面积公式即可计算的解．
本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
连接，根据圆周角定理得到，根据五边形的内角和得到，求得，，由圆周角定理得到，求得，进而得到，于是得到结论．
【解答】
解：连接，
是的直径，
，
五边形是的内接正五边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：函数的图象与轴有交点，
当时，，
解得且，
当时，，当时，，此时，
由上可得，的取值范围是，
故答案为：．
根据题意吗，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
17.【答案】
【解析】解：如图，分别过点，，作轴的垂线垂足分别为，，，过点作于点，交于点，则，，，
点，坐标分别为，，
，，，
，
设点的坐标为，则，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
分别过点，，作轴的垂线垂足分别为，，，过点作于点，交于点，则，，，设点的坐标为，则，，可得，，根据∽，可得，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：分别过点、作轴，轴于点、，连接、，则，
四边形是平行四边形，且面积等于，
，，，
，
∽，
，
，
点是边的中点，
，，
反比例函数为常数，，的图象经过点与的中点，
，
，
解得，
故答案为：．
分别过点、作轴，轴于点、，连接、，则，先证明∽，得，由点是边的中点，得，利用构造一元一次方程求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函的几何意义以及平行四边形的性质，熟练掌握比例函的几何意义是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】利用负整数指数幂的运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值，代入计算即可；
利用完全平方公式进行求解计算．
本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、整式的乘法运算，熟练掌握计算方法和运算技巧是解决此题的关键．
20.【答案】解：，
解不等式得：，解不等式得：，
不等式组解集为：，
它的整数解有：，，，，，，，，
它们的和为．
【解析】根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的整数解，即可求解．
本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解不等式的方法，不等式组的取值方法是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：个景点中选一个，概率是；
故答案为：．
解：个园、大运河博物馆、何园、八怪纪念馆分别用，，，表示，可画树状图如下：
由图可知共有种选择，其中与这种符合要求，所以个园，大运河博物馆．
根据概率的定义即可求解；
小明去过个园之后，还有个景点，用列表法列出所有可能的组合，然后根据概率的定义即可求解．
本题考查了列表法或画树状图进行概率的计算，列出所有的可能是求解的关键．
22.【答案】参加这次问卷调查的学生人数为人，
航模的人数为人，
补全图形如下：
，；
估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有人．
【解析】
【分析】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
根据百分比的概念可得、的值；
总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
【解答】
解：见答案；
，，
即，，
故答案为：，；
见答案．
23.【答案】解：设原来元原计划能买本，据题意得，
，
解之得．
经检验，适合方程与题意．
．
答：张老师在这个读书日实际买了本书．
【解析】设原来元原计划能买本，据题意得，求解并验根即可．
本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系列方程是解题的关键，注意解分式方程需要验根．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别平分，，
，，
，
在与中，
，
≌；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
过点作，垂足为，
，，
，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】利用平行四边形的性质和角平分线的定义推出，根据即可≌；
先证明，过点作，利用三角函数关系求得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解第问的关键．
25.【答案】
【解析】解：，
当时，，
一次函数的图象总过点；
，
整理为：，
当时，
解得：，，
由函数图象得：不等式的解集为；
故答案为：，；
由题意得，
解得，，
，，
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
当时，
轴，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，，，
，
，
，
，
当，如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，同理可求，
当时，如图，在锐角的内部，所以这种情况不可能，
综上可得：或．
将一次函数整理即可确定其总经过的点，将不等式整理，然后利用一元二次方程的解得出两个函数交点的横坐标，结合图象即可得出结果；
根据题意确定，，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
本题主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括一次函数的基本性质，利用图象求不等式的解集，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
26.【答案】解：解：作角平分线交于作线段垂直平分线交于，交于，以为圆心，为半径作圆，如图，即为所求；
理由：连接，
根据作法得：垂直平分线段，，
，
，
，
，
，
，即，
与直线相切；
连接，
由得：，
，
∽，
，
设，
，，
，
，
即的半径为．
【解析】作角平分线交于作线段垂直平分线交于，交于，以为圆心，为半径作圆，即为所求；
连接，由得：，可证明∽，从而得到，设，可得，即可求解．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
27.【答案】
【解析】解：设，
由题意得：当时，，当时，，
，
解之得，
；
设每天利润为元，由题意得，
，
又，
，
，
，
当时，，
答：当销售单价为元件时，利润最大为元；
设表示扣除捐款后的日利润，
，
在为整数范围内，随的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
，
解得，
，
．
故答案为：．
设与的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；
设每天获得的利润为元，根据总利润单件利润销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随的增大而增大，进而求解即可．
本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
28.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
是等腰三角形，
，
是的外角，
，即，
，
故答案为：；
选方案：作平分交于，过点作垂足为，
平分，，，
，，
设，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
选方案：过点作，垂足为，设，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图所示，设，作平分交于点，
，
，
，，
，
平分，
，
∽，
，
，
，
，
，
同理：，
，
设，
，
，
，
解之得，舍去负值，
，
过点作垂足为，
，
，
，
，
，
．
根据格点的特点分别计算出，，，，的长，计算出，再根据正切值的计算方法即可求解；
选方案：作平分交于，过点作垂足为，设，，根据等面积法求出的值，根据正切的计算方法即可求解；选方案：过点作，垂足为，设，求出，根据正切的计算方法即可求解；
设，作平分交于点，可证∽，，计算出的长，根据正弦的计算方法即可求解．
本题主要考查正切、正弦的计算方法，掌握构造直角三角形，勾股定理求出各边长，正切、正弦的计算方法是解题的关键．
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2023年江苏省扬州市江都区中考数学一模试卷（含解析）