2023年辽宁省大连市中考数学一模试卷（含解析）

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2023年辽宁省大连市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是一个由个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，，与相交于点，若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6. 年月份，中国社会消费品零售总额约亿元，同比增长将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
7. 方程的解是( )
A. B. C. D.
8. 如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9. 某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取名学生进行问卷调查每位学生仅选一种，并将调查结果绘制成如下的扇形统计图下列说法错误的是( )
A. 本次调查的样本容量为
B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的
C. 最喜欢足球的学生为人
D. “排球”对应扇形的圆心角为
10. 如图，中，，点是上一点，过点作的垂线，与边或相交于点，设，的面积为，关于的函数图象如图所示下列结论：点的坐标为；的面积为；当时，其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 方程组的解是______ ．
12. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ．
13. 经过某字路口的汽车，可能向左转或向右转，如果两种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个字路口时，“行驶方向相同”的概率是______ ．
14. ，两地相距，一辆汽车从地出发匀速驶往地，若到达地的时间不超过，求车速应满足的条件设车速为，可列不等式为______ ．
15. 学习菱形时，我们从它的边、角和对角线等方面进行研究，可以发现并证明：菱形的每一条对角线平分一组对角小明参考平行四边形、矩形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：
一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；
每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是______ 填序号，填写一个即可．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，过点作轴的垂线，与线段的垂直平分线相交于点，设点的坐标为，当时，关于的函数解析式为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿检查人员从两家提供的鸡腿中分别随机抽取个鸡腿，记录它们的质量单位：，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
Ⅰ甲加工厂鸡腿的质量单位：如下：
甲
频数
Ⅱ乙加工厂鸡腿的质量单位：如下：
Ⅲ甲、乙两家加工厂鸡腿质量的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
表格中的 ______ ， ______ ， ______ ；
你认为快餐公司应该选择哪家的鸡腿？请说明理由．
19. 本小题分
如图，，，求证：．
20. 本小题分
如图，五一劳动节的清晨，小明到大连人民广场参加升旗仪式，在距旗杆的处，测得旗杆顶部的仰角约为，已知小明的身高为，求旗杆的高度结果取整数参考数据：，，
21. 本小题分
如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，求绿地长、宽增加的长度．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象与直线，，分别相交于点，，，过点，作轴的平行线与直线，分别相交于点，，连接，．
点的坐标为______ 用含的式子表示；
设，的面积分别为，，求的值．
23. 本小题分
如图，矩形的边与相切，切点为，与相交于点，，连接，．
求证：；
若，的半径为，求扇形即阴影部分的面积．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为点的坐标为，且，连接，以点为中心，将顺时针旋转，得到，连接，直线与射线相交于点．
线段的长为______ ；
当时，求的值．
25. 本小题分
如图，中，，是上一点，，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在下方相交于点，连接，，与相交于点．
求证：；
求的度数；
如图，若，，求的长．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：和：的开口都向下，与轴相交于点，过点作轴的平行线与相交于点，与相交于点，点在线段上点不与点重合．
点的坐标是______ ；
如图，抛物线的顶点为，的中点为，若，，求的值；
直线与相交于点，与相交于点，当四边形是轴对称图形时，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选D．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】
【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】
【解析】解：将点向右平移个单位长度，所得到的点的坐标为，即．
故选：．
根据平移法则，让点的横坐标加，即可得到平移后的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
4.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等和三角形的外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
经检验：是原方程的根．
故选：．
利用解分式方程的方法进行求解即可．
本题主要考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
8.【答案】
【解析】解：为的直径，
，
，
四边形内接于，
，
故选：．
利用直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算，利用圆内接四边形的性质求得的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
9.【答案】
【解析】解：、本次调查的样本容量为，故此选项不合题意；
B、最喜欢篮球的人数占被调查人数的，故此选项不合题意；
C、最喜欢足球的学生为人，故此选项不合题意；
D、根据扇形图可得喜欢排球的占，“排球”对应扇形的圆心角为，故此选项符合题意；
故选：．
利用扇形图可得喜欢排球的占，喜欢篮球的人数占被调查人数的，最喜欢足球的学生为人；用喜欢排球的所占百分比可得圆心角．
本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
10.【答案】
【解析】解：，
的最大值为，即，
点的坐标为，故正确；
由图象可得，当时，的面积取得最大值，
此时点与点重合，
，故正确；
设的解析式为，
将，代入得，
，解得，
，
时，，故错误；
综上所述，正确的有．
故选：．
根据可判断；根据图象得到当时，的面积取得最大值，此时点与点重合，可判断；求出的解析式，然后将代入即可判断．
本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是正确分析图象．
11.【答案】
【解析】解：，
得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为，
故答案为：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12.【答案】
【解析】解：把代入得，
解得．
故答案为：．
把代入原方程得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中行驶方向相同的有种，
“行驶方向相同”的概率是，
故答案为：．
画树状图求出所有可能的情况，再用概率公式可得答案．
本题考查树状图或列表法求概率，解题的关键是能画出树状图，掌握概率公式．
14.【答案】
【解析】解：设车速为，根据题意，可列不等式为：
．
故答案为：．
直接利用已知表示出行驶所有时间小于等于，进而得出答案．
此题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝形，故不正确；
如图，
平分和，
，，
，，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故正确；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确；
故答案为：．
由菱形的判定以及平行四边形的判定与性质分别对各个猜想进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，如图所示：
则，
，，
根据勾股定理，得，
过点作轴的垂线，与线段的垂直平分线相交于点，
，
，
，
化简得，
故答案为：．
过点作轴于点，根据勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，列方程解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意可知，甲加工厂个鸡腿的质量中出现的次数最多，故众数；
把甲加工厂个鸡腿的质量从小到大排列．排在中间的数是，故中位数；
乙加工厂个鸡腿的质量中出现的次数最多，故众数．
故答案为：；；；
选乙加工厂的鸡腿，理由如下：
甲、乙平均值一样，乙的方差比甲的方差小，乙更稳定，
选乙加工厂的鸡腿．
根据中位数、众数的计算公式分别进行解答即可；
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】证明≌即可得到．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
20.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，
旗杆的高度约为．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：设绿地的长、宽增加的长度各为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：绿地长、宽增加的长度各为．
【解析】设绿地的长、宽增加的长度为，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：把代入得，，
点坐标．
故答案为：．
当时，；当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
与轴平行，与轴平行，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，，
．
把代入关系式即可．
把、代入关系式表示出点、点，再表示出点和点，求出线段、，利用三角形面积公式求出、即可．
本题考查了反比例函数的图象及性质的应用，熟练的表示点的坐标及三角形面积的表示是解题关键．
23.【答案】证明：连接交于点，
与相切于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
与相交于点，，
，
．
解：，
四边形是矩形，
，
的半径为，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
扇形的面积是．
【解析】连接交于点，由切线的性质得，由矩形的性质得，则，所以，根据垂径定理得；
先证明四边形是矩形，则，而，所以，再由垂直平分，得，则，所以，根据扇形的面积公式得．
此题重点考查矩形的判定与性质、切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：；
当，即在左侧时，如图：
由旋转可得，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
∽，
，即 ，
解得；
当时，如图：
同理可得≌，
，，
，
，
，即，
解得；
综上所述，的值为或．
由，四边形是正方形，即得；
分两种情况：当，即在左侧时，证明≌，得，，故，可得，从而∽，有 ，解得；当时，同理可得．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】证明：由作图得：，，
又．
≌，
；
解：设，
由知≌，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
解：如图，连接，与相交于点，
．
中，，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，
．
，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
．
【解析】根据三角形全等的性质证明；
设，再根据角的和差及外角定理求解；
根据相似三角形的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握相似三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：抛物线：经过点，
时，，
．
故答案为：；
如图，作，垂足为，
，
，
，
．
当时，的解析式为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
是的中点，
点在的对称轴上．
，
点的坐标为，
，
，
．
抛物线的对称轴为直线，
轴，点，
点的坐标为，
同理点的坐标为，
直线与抛物线相交于点，，
点，，则与的交点坐标为，
，，
，．
四边形是轴对称图形，且．
如图，当直线是对称轴时，，则，
．
如图，当直线是对称轴时，，则，
如图，当的平分线所在的直线为对称轴时，，，
则，，
．
由抛物线经过点，则可得出答案；
作，垂足为，证出得出点的坐标为，得出方程，求出的值可得出答案；
由同题意得出，，，分三种情况由轴对称图形的性质列出方程可得出答案．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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