2023年四川省泸州市江阳区中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省泸州市江阳区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2. 年月日上午，重庆至昆明高速铁路重庆至宜宾段控制性工程泸州沱江特大桥主跨实现合龙泸州沱江特大桥全长约米，为国内高速铁路首次采用双柱式型桥塔、空间扇形索面斜拉索的斜拉桥，请将用科学记数法表示( )
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
5. 若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，已知，点不与点，点重合在线段上，连接，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字，，，，，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
8. 如图，分别以的顶点和为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为，，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
11. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，分别过点，点作，的平行线，两线相交于点，连接交于点，则的值是( )
A. B. C. D.
12. 在平面直角坐标系中，抛物线上的两点，，若对于，，都有，则的取值范围是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若分式的值为，则的值为______．
14. 分解因式：______．
15. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
如图，在 中，，，，分别是，，，上的点，且，求证：．
20. 本小题分
某校开展“爱读书、读好书、善读书”的阅读活动，随机抽取了名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图请根据图表中的信息解答下列问题：
组别 时间小时 频数人数
组
组
组
组
组
组
______ ， ______ ；
若该校有人，试估计全校“平均每周课外阅读时间”在范围的学生人数；
已知组的学生中，只有名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从组中随机选取名学生，恰好都是女生．
21. 本小题分
某校将举行跳绳比赛，需要购买、两种跳绳已知每根种跳绳的单价比种跳绳的单价少元，元购买种跳绳的数量与元购买种跳绳的数量相等．
求购进一根种跳绳和一根种跳绳各需多少元？
设购买种跳绳根，若学校计划购买，两种跳绳共根，且购买种跳绳的数量不超过种跳绳的数量的倍，请设计出最省钱的购买方案．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求该反比例函数的表达式；
过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点、连接，若：：，求的长．
23. 本小题分
为了计算花园中古树到公路的距离，某数学兴趣小组在公路上的点处，测得古树在东北方向；从处向正东方向行走米，到达公路上的点处，再次测得古树在北偏东的方向上，求古树到公路的距离结果保留整数，参考数据：
24. 本小题分
如图，是的直径，点是外一点，点在上，且，连接交于点过点作于点，交于点，交于点，且．
猜想与的位置关系，并证明；
连接，若，，求的长和的半径．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点．
求该抛物线的函数表达式；
过点作于点，轴，交于点当的周长取得最大值时，求点的坐标和的周长的最大值；
已知点为中求得的点，点是该抛物线上一点，点是该抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把其中一个求点的坐标的解答过程写出来．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】
解：因为，
所以的算术平方根是，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，故错误，不符合题意；
B.，故错误，不符合题意；
C.，故错误，不符合题意；
D.，正确，符合题意，
故选：．
根据幂的运算法则直接求解，选出正确的即可．
此题考查幂的运算、合并同类项，解题关键是有关幂的公式为：，，．
4.【答案】
【解析】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体；
故选：．
根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
5.【答案】
【解析】解：：，，原变形错误，不符合题意；
：，，原变形错误，不符合题意；
：，乘以负数，不等号方向改变，正确，符合题意；
：，比如，，，，，原变形错误，不符合题意．
故答案为：．
根据不等式的性质，对选项逐个判断即可．
此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
根据可得，结合三角形内外角关系即可得到答案．
本题考查三角形内外角关系及平行线的性质，根据平行线性质转换等角结合三角形内外角关系列等式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：从写有数字，，，，这张卡片中抽取一张，其中正面的数字是奇数的有、、这种结果，
正面的数字是奇数的概率为．
故选：．
让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：由题可知，是线段的垂直平分线，
，
的周长，，，
的周长，
故选：．
根据作图痕迹判断是线段的垂直平分线，然后将的周长转化为的值直接求解即可．
此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是推导出边相等，然后将三角形的周长转化为线段的和来求解．
9.【答案】
【解析】解：菱形的面积为，，
可得，解得，
在中，．
故选：．
根据菱形的面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出．
此题考查菱形的性质和直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为，根的判别式的值应大于或等于，据此求解即可．
本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，掌握一元二次方程有实数根的条件是解题的关键，易错点是不考虑二次项系数不能为导致取值范围错误．
11.【答案】
【解析】解：过点作交延长线于点，连接交于点．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
四边形是菱形．
与垂直平分，
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
过点作交于点，则．
设，，则，
，
∽，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作交延长线于点，连接交于点根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形是菱形，则与垂直平分，求出，，求得，过点作交于点，则设，，则，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线，
二次函数图象的对称轴是直线，
，，若对于，，都有，
，不关于对称轴对称，
恒成立，即成立或成立，
或，
解得或．
故选：．
根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数性质列不等式．
13.【答案】
【解析】解：依题意得：且，
解得．
故答案是：．
分式的值为零，分子等于零且分母不等于零．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：设两条直角边的长分别是，，
，，
，
直角三角形斜边的长是．
故答案为：．
根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，，根据韦达定理和勾股定理求解即可．
此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为．
16.【答案】
【解析】解：点，，为平面内的动点，且满足，
点在以为直径的圆上，
，，
为直线上，
当时，有最小值，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意可画出点的运动轨迹，当时，有最小值，先计算的值，减去半径即可直接求解．
此题考查函数和几何综合以及解直角三角形，解题关键是的函数与轴夹角为，根据锐角三角函数直接求解即可．
17.【答案】解：原式
．
【解析】根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】先将括号内式子通分，再将分式除法变形为分式乘法，最后约分化简即可．
本题考查分式加减乘除的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，可证明≌，即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：人，人．
故答案为：，；
，
估计全校“平均每周课外阅读时间”在范围的学生人数占，
则估计全校“平均每周课外阅读时间”在范围的学生人数为名．
设组的男生为，女生为，，．
画树状图如下：
由树状图可知，所有可能出现的等可能结果共有种，恰好都是女生的结果有种，
恰好都是女生．
根据组的频数和百分比可求出，用所求值减去各组人数即可求出．
用组的频数除以，得出百分比，再乘以，即可求出答案．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到都是女生的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表，解决本题的关键是掌握概率公式．
21.【答案】解：设购买一根种跳绳需元，则购买一根种跳绳需元，
根据题意，列方程得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则元，
答：购买一根种跳绳和一根种跳绳各需元，元．
根据题意，列不等式组得：，
解得，
设购绳所需总费用为元，则，
，
随的增大而减少，
当时，购绳最省钱，此时根，
则最省钱的购买方案是购买种跳绳根，购买种跳绳根．
【解析】设购买一根种跳绳需元，则购买一根种跳绳需元，根据题意易得，然后求解即可；
根据题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
本题主要考查一次函数的应用及分式方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及分式方程的应用是解题的关键．
22.【答案】解：点在直线上，
，则，
点，
点在双曲线上，
，
该反比例函数的表达式为．
解：由，得，
或，则，；，，
点，
如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，
，
∽，则，
，
．
点在双曲线上，
，且，
在中，，，
．
【解析】待定系数法求解析式即可；
求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证∽，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数图象的性质，相似三角的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
23.【答案】解：过点作于点，设，
由题意可知，，
则，．
在中，，
在中，，
，
则，
，
，
则古树到公路的距离约为．
【解析】过点作于点，构造和，设，根据题意可得，，列出方程求解即可．
此题考查的是解直角三角形，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
24.【答案】解：与相切，证明如下：
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
于点，
，
，
，
又是的直径，
与相切，
解：连接，，
在中，，
又，
，
≌，
，则，
在中于点，
，，
，
，
∽，
，
，
在中，
是的直径，
，
，
，
．
，半径为．
【解析】根据，可得，根据可得，即可得到，结合即可得到答案；
连接，，先证≌，结合可得，，易得∽，得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，最后结合即可得到答案．
本题考查切线证明及圆的综合题，全等三角形性质与判定，三角形相似性质与判定，解题的关键是作出辅助线根据圆的性质找到等角等关系．
25.【答案】解：由题意得，
，
该抛物线的函数表达式为．
设直线的解析式为，则，
．
直线的解析式为．
令，则，
，
则在，中．
轴，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
当值最大时，最大．
设点，其中，
，
则．
当时，的值最大，．
的最大值，
此时点．
满足条件的点的坐标为或或．
理由如下：只把其中一个求点的坐标的解答过程写出来．
由题意可知，该抛物线的对称轴为直线．
过点作于点，则
点关于直线的对称点为，
则，
且，
则四边形是平行四边形，此时是其对角线，
则满足条件．
若是平行四边形的一边，
当且时，四边形是平行四边形，
点，点，点的横坐标是．
点的横坐标是或，
点或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【解析】利用待定系数法将 ，代入，即可求得答案；
先运用待定系数法求出的函数表达式，设 ，其中，根据点 在直线上，轴，可得出，再根据∽即得到的周长，再运用二次函数最值方法即可求出答案；
分两种情况：若是平行四边形的对角线，若是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，三角形周长，相似三角形的判定与性质、平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
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