【2023春人教七下数学期末专题复习】考点满分讲练 02实数（原卷版+解析版）

专题02 实数(满分考点讲练)
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目录
【典型例题】 2
【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 2
【考点二 利用平方根、立方根的定义解方程】 4
【考点三 无理数的识别】 6
【考点四 实数的分类】 8
【考点五 实数与数轴】 11
【考点六 实数的大小比较】 13
【考点七 无理数整数部分的有关计算】 15
【考点八 实数的混合运算】 17
【考点九 程序设计与实数运算】 19
【考点十 新定义的实数运算】 21
【考点十一 与实数运算相关的规律题】 23
【聚焦考点】
1．算术平方根
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
注意：①非负数的算术平方根表示为，读作“根号”，叫做被开方数．
② 规定：的算术平方根是0.
2．平方根
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根．
注意：①正数的平方根记作 ，读作“正、负根号”．
②一个正数有两个平方根，且互为相反数；的平方根是；负数没有平方根.
3．立方根
一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根或三次方根．
一个数的立方根用符号表示为．
注意：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；的立方根为．
4．两个重要公式
①； ②.
5．实数有关概念
无理数：无限不循环小数统称为无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
6．实数与数轴
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应．
7．估算
①开平方法：（）；
②开立方法：（）.
8．比较大小
①平方（立方） ②估算法
注意：
还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等．
【典型例题】
【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
【例题1】（2023春·新疆伊犁·七年级校联考期中）36的算术平方根是 ___________，的立方根是 ___________．
【答案】 6 /
【分析】根据算术平方根的性质和立方根的性质直接化简即可．
【详解】解：36的算术平方根是6，的立方根是．
故答案为：6，．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根的性质和立方根的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）16的算术平方根是______，的平方根是______，的立方根是______．
【答案】
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴16的算术平方根是4；
∵，9的平方根为，
∴的平方根是；
∵，
∴的立方根是；
故答案为：4；；．
【点睛】此题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义．解题的关键是掌握立方根、算术平方根、平方根的定义．
【变式1-2】（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）169的算术平方根是__________，4的立方根是_______．
【答案】 13
【分析】根据算术平方根和立方根定义进行解答即可．平方根：平方根，是指自乘结果等于的实数；和立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根的概念，求解即可.
【详解】解：169的算术平方根是13；4的立方根是．
故答案为：13；．
【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根的理解，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根定义．算术平方根，一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x叫做a的算术平方根；立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根．
【变式1-3】（2023春·上海·七年级专题练习）4的平方根是______；算术平方根是______；是______的立方根．
【答案】 2
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】解：4的平方根：，算术平方根：；
∵，
∴是的立方根，
故答案是：，2，．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根和立方根的定义．解题的关键是要熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
【考点二 利用平方根、立方根的定义解方程】
【例题2】（2022秋·八年级单元测试）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求得的值，然后再利用立方根的性质进行解答即可；
（2）先求得的值，然后再利用平方根的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
或．
【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握立方根和平方根的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·河南商丘·七年级统考期中）求下列各式中的值．
(1)； (2)
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】（1）先移项，再根据平方根的定义开方即可得出答案；
（2）根据立方根的定义直接开方即可．
【详解】（1）解：
∴
∴
∴或；
（2）
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，属于基础题，正确的开方是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·湖北荆州·七年级统考期中）求下列各式中的值．
(1) (2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）运用开平方进行运算即可得到答案；
（2）运用开立方进行运算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
或；
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了运用平方根和立方根求解相关方程的能力，解题的关键是能准确进行开平方和开立方运算．
【变式2-3】（2023春·湖北荆门·七年级统考期中）求下列各式中x的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再根据平方根解方程即可；
（2）先表示出，再根据立方根解方程即可．
【详解】（1），
，
∴；
（2），
，
∴．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
【考点三 无理数的识别】
【例题3】（2023春·天津津南·七年级校联考期中）下列各数：，，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，是无理数的有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：，，是有理数；
，，（相邻两个之间的个数逐次加），，是无理数；
∴无理数一共有5个，
故选A．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【变式3-1】（2023春·上海松江·七年级统考期中）在、、、、、、（它的位数无限且相邻两个之间“”的个数依次加个）这七个数中，无理数的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无理数的意义，即可解答．
【详解】解：在、、、、、、它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个这七个数中，
无理数有：、、它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个，
所以，无理数共有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）在实数，，，，，中，无理数有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数即可判断．
【详解】解：，
∴无理数有，，，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的概念，属于基础题型．
【变式3-3】（2023春·河南安阳·七年级统考期中）下列数中，0.548，3.7，3.14，，，，，0.101001001…，是无理数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选项．
【详解】解：根据题意可得：
，，0.101001001…是无理数，0.548，3.7，3.14，，是有理数，
所以无理数有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，0.101001001…（每两个1之间多一个0）等形式．
【考点四 实数的分类】
【例题4】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)．
有理数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
【答案】，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0)
【分析】根据实数的分类完成填空即可求解．
【详解】解：
有理数集合：｛，，，，，…｝
无理数集合：｛，， ，(每两个1之间依次多1个0)｝
故答案为：，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0)．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类，无理数的定义是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中．
，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，，
(2)，，
(3)，，，，
(4)，，
【分析】（1）先化简，，再根据有理数的含义作答即可；
（2）根据无理数的概念作答即可；
（3）根据正实数包括正有理数与正无理数作答即可；
（4）根据负实数包括负有理数与负无理数作答即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴有理数集合：{ ，，，，，…}
（2）无理数集合：{，，，…}
（3）正实数集合：{ ，，，，，…}
（4）负实数集合：{，，，…}
【点睛】本题考查的是实数的分类，立方根与算术平方根的含义，熟记实数的分类是解本题的关键．
【变式4-2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，．
【分析】根据实数的分类逐一填写即可．
【详解】解：∵，
∴中
有理数集合为：，，，；
无理数集合为：，，，；
正实数集合为：，，，，；
负实数集合为：，，．
【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．
【变式4-3】（2023春·广西梧州·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里
，，2.02002，，，0，，，，，
有理数{ …… }
无理数{ …… }
正实数{ …… }
负实数{ …… }
【答案】见解析
【分析】首先计算各数，然后根据有理数，无理数，正实数和负实数的概念求解即可．
【详解】∵，，，，，
有理数{，2.02002，，0，，……}
无理数{，，，，……}
正实数{，，2.02002，，……}
负实数{，，，， ……}
【点睛】此题考查了实数的分类，有理数的乘方运算，求一个数的立方根和算术平方根等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【考点五 实数与数轴】
【例题5】（2023春·全国·七年级专题练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则_____．
【答案】
【分析】根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查开方运算，化简绝对值，整式的加减运算．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号．
【变式5-1】（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为______．
【答案】/
【分析】先通过数轴表示确定，的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．
【详解】解：由题意得，，且，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：____________．
【答案】
【分析】根据数轴可得： ，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）已知，，实数在数轴上的对应点如图所示，化简______．
【答案】
【分析】根据数轴上的数的特征由此开二次方根及去绝对值，再合并同类项即可求解．
【详解】解：由数轴可得，，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的对应关系、开二次方根和去绝对值，掌握数轴上点的特征进行化简是解题的关键．
【考点六 实数的大小比较】
【例题6】（2022秋·七年级单元测试）估计与的大小关系是__________．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比较两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
【变式6-1】（2022秋·八年级单元测试）比较大小：_______，_________．
【答案】
【分析】①利用根据二次根式的性质得到，即可解答；②利用作差法得到即可解答．
【详解】解：①∵，，
且，
∴，
②，
∵,
∴
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，选择合适的方法进行实数的大小比较是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·重庆江北·七年级统考期中）比较大小：____，_______ （填、或）．
【答案】
【分析】首先应用放缩法，判断出与的大小关系；然后根据两个负实数绝对值大的反而小，判断出与的大小关系即可．
【详解】解：，，
；
，，
，
．
故答案为：①，②．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【变式6-3】（2023春·七年级课时练习）比较下列各组数的大小．（填“”“”或“”）
（1）______8；（2）______；（3）______．
【答案】
【分析】（1）根据即可得到答案；
（2）先分别计算两个数的立方，然后再进行比较，即可解答；
（3）利用作差法进行比较，即可解答．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）∵，
∴，
故答案为：；
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，实数的混合计算，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
【考点七 无理数整数部分的有关计算】
【例题7】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）已知的整数部分为，小数部分为，则______．
【答案】/
【分析】根据夹逼法求出的大小，继而求出的大小，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查根数的整数部分与小数部分，解题的关键是根据夹逼法求出根数的范围．
【变式7-1】（2023春·甘肃庆阳·七年级校考期中）已知a是4的算术平方根，b是64的立方根，c是的整数部分，则_____________．
【答案】9
【分析】先根据算术平方根定义求出a，根据立方根的定义求出b，估算的大小，然后确定c，计算代数式的值即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴的整数部分为3，即，
∴，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了算术平方根，立方根，以及无理数的估算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【变式7-2】（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）若的整数部分为a，的小数部分为b，则______；______．
【答案】 4
【分析】先估算在哪两个整数之间，进而求出的整数部分和的小数部分，再代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分是4，即，
∵，
∴，
∴，
∴的小数部分是，即，
∴，
故答案是4，．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，绝对值的性质，掌握算术平方根的意义，正确估算无理数的取值范围是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·广东汕尾·七年级统考期中）我们知道是无理数，所以的小数部分不能全部写出来，但我们可以用来表示的小数部分．已知的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为___________．
【答案】1
【分析】根据实例表示出a，b，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵，即，
∴，，
∴，
故答案为1；
【点睛】本题考查无理数小数部分的表示，解题的关键是掌握小数由谁提供及用夹逼法求出无理数的相邻整数．
【考点八 实数的混合运算】
【例题8】（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）先进行开方运算，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·重庆江北·七年级统考期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级校联考期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·山东德州·七年级统考期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）根据乘方计算、求算术平方根、立方根、绝对值化简即可；
（2）根据求算术平方根、立方根进行计算即可；
（3）根据求平方根进行解方程即可；
（4）根据求立方根进行解方程即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：由，得：
或
解得：或；
方程的解为或；
（4）解：由，得：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算及根据平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握乘方计算、求算术平方根、立方根、绝对值化简、根据平方根和立方根解方程，本题的易错点是根据平方根解方程时需考虑求一个正数的平方根应有两个互为相反数的解．
【考点九 程序设计与实数运算】
【例题9】（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________
【答案】
【分析】将代入程序进行计算即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，输出，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．
【答案】
【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．
【详解】解：第一次运算，输入，取算术平方根为4，返回继续运算；
第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算；
第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果．
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算顺序是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·山东日照·七年级日照市新营中学校考阶段练习）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为16时，输出的值是______．
【答案】
【分析】根据程序流程图的顺序进行计算即可．
【详解】解：由题图可知：是有理数，
是无理数，输出；
∴输出的值是；
故答案为：．
【点睛】本题考查程序流程图．按照程序流出图的顺序进行计算，是解题的关键．
【变式9-3】（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．
【答案】
【分析】根据程序框图进行运算求解即可．
【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，
8是有理数，取立方根，
2是有理数，取算术平方根，
是无理数，输出，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．
【考点十 新定义的实数运算】
【例题10】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如．那么___________．
【答案】
【分析】根据新定义的运算法则得出．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义题型，此类题目是近年来的热点，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算即可．
【变式10-1】（2023春·七年级课时练习）我们规定一种新运算“”，其意义为，如，则______．
【答案】8
【分析】根据新定义运算法则先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：8
【点睛】本题考查的是实数的新定义运算，理解运算法则是解本题的关键．
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【答案】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
【变式10-3】（2023秋·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）对于任意实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：，，，这样对72需进行____次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是____．
【答案】 3 255
【分析】根据可用表示不超过a的最大整数，反推回去每次求最大整数可得答案．
【详解】解：由题意得，这样对72需进行3次操作后变为1；
∵表示不超过a的最大整数，
∴设，则a的最大值为，
∵第三次结果为1，
∴第二次结果为3
∴第一次最大结果为15
∵，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：3；255
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，反推是解题的关键．
【考点十一 与实数运算相关的规律题】
【例题11】（2023春·广西防城港·七年级统考阶段练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1），
（2），
（3），
（4）．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：用含正整数的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
【变式11-1】（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
【答案】(1)6，，
(2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；
故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【变式11-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列等式，并回答问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较与1的大小．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
，
故答案为：；．
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【变式11-3】（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】(1)
(2)，49
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题02 实数(满分考点讲练)
【考点导航】
目录
【典型例题】 2
【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 2
【考点二 利用平方根、立方根的定义解方程】 4
【考点三 无理数的识别】 6
【考点四 实数的分类】 8
【考点五 实数与数轴】 11
【考点六 实数的大小比较】 13
【考点七 无理数整数部分的有关计算】 15
【考点八 实数的混合运算】 17
【考点九 程序设计与实数运算】 19
【考点十 新定义的实数运算】 21
【考点十一 与实数运算相关的规律题】 23
【聚焦考点】
1．算术平方根
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
注意：①非负数的算术平方根表示为，读作“根号”，叫做被开方数．
② 规定：的算术平方根是0.
2．平方根
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根．
注意：①正数的平方根记作 ，读作“正、负根号”．
②一个正数有两个平方根，且互为相反数；的平方根是；负数没有平方根.
3．立方根
一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根或三次方根．
一个数的立方根用符号表示为．
注意：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；的立方根为．
4．两个重要公式
①； ②.
5．实数有关概念
无理数：无限不循环小数统称为无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
6．实数与数轴
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应．
7．估算
①开平方法：（）；
②开立方法：（）.
8．比较大小
①平方（立方） ②估算法
注意：
还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等．
【典型例题】
【考点一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
【例题1】（2023春·新疆伊犁·七年级校联考期中）36的算术平方根是 ___________，的立方根是 ___________．
【变式1-1】（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）16的算术平方根是______，的平方根是______，的立方根是______．
【变式1-2】（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）169的算术平方根是__________，4的立方根是_______．
【变式1-3】（2023春·上海·七年级专题练习）4的平方根是______；算术平方根是______；是______的立方根．
【考点二 利用平方根、立方根的定义解方程】
【例题2】（2022秋·八年级单元测试）解方程：
(1)； (2)．
【变式2-1】（2023春·河南商丘·七年级统考期中）求下列各式中的值．
(1)； (2)
【变式2-2】（2023春·湖北荆州·七年级统考期中）求下列各式中的值．
(1) (2)
【变式2-3】（2023春·湖北荆门·七年级统考期中）求下列各式中x的值：
(1)； (2)．
【考点三 无理数的识别】
【例题3】（2023春·天津津南·七年级校联考期中）下列各数：，，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，是无理数的有（ ）个．
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·上海松江·七年级统考期中）在、、、、、、（它的位数无限且相邻两个之间“”的个数依次加个）这七个数中，无理数的个数是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）在实数，，，，，中，无理数有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-3】（2023春·河南安阳·七年级统考期中）下列数中，0.548，3.7，3.14，，，，，0.101001001…，是无理数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点四 实数的分类】
【例题4】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)．
有理数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中．
，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【变式4-2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【变式4-3】（2023春·广西梧州·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里
，，2.02002，，，0，，，，，
有理数{ …… }
无理数{ …… }
正实数{ …… }
负实数{ …… }
【考点五 实数与数轴】
【例题5】（2023春·全国·七年级专题练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则_____．
【变式5-1】（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为______．
【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：____________．
【变式5-3】（2023春·山东临沂·九年级校考阶段练习）已知，，实数在数轴上的对应点如图所示，化简______．
【考点六 实数的大小比较】
【例题6】（2022秋·七年级单元测试）估计与的大小关系是__________．（填“”“”或“”）
【变式6-1】（2022秋·八年级单元测试）比较大小：_______，_________．
【变式6-2】（2023春·重庆江北·七年级统考期中）比较大小：____，_______ （填、或）．
【变式6-3】（2023春·七年级课时练习）比较下列各组数的大小．（填“”“”或“”）
（1）______8；（2）______；（3）______．
【考点七 无理数整数部分的有关计算】
【例题7】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）已知的整数部分为，小数部分为，则______．
【变式7-1】（2023春·甘肃庆阳·七年级校考期中）已知a是4的算术平方根，b是64的立方根，c是的整数部分，则_____________．
【变式7-2】（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）若的整数部分为a，的小数部分为b，则______；______．
【变式7-3】（2023春·广东汕尾·七年级统考期中）我们知道是无理数，所以的小数部分不能全部写出来，但我们可以用来表示的小数部分．已知的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为___________．
【考点八 实数的混合运算】
【例题8】（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
【变式8-1】（2023春·重庆江北·七年级统考期中）计算：
(1) (2)
【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级校联考期中）计算：
(1) (2)
【变式8-3】（2023春·山东德州·七年级统考期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【考点九 程序设计与实数运算】
【例题9】（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________
【变式9-1】（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．
【变式9-2】（2023春·山东日照·七年级日照市新营中学校考阶段练习）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为16时，输出的值是______．
【变式9-3】（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．
【考点十 新定义的实数运算】
【例题10】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如．那么___________．
【变式10-1】（2023春·七年级课时练习）我们规定一种新运算“”，其意义为，如，则______．
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【变式10-3】（2023秋·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）对于任意实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：，，，这样对72需进行____次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是____．
【考点十一 与实数运算相关的规律题】
【例题11】（2023春·广西防城港·七年级统考阶段练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1），
（2），
（3），
（4）．
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【变式11-1】（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
【变式11-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列等式，并回答问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较与1的大小．
【变式11-3】（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
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【2023春人教七下数学期末专题复习】考点满分讲练 02实数（原卷版+解析版）