2022-2023广西柳州市鹿寨县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西柳州市鹿寨县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的。请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．如果有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a≥3 D．a≤3
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1， D．5，12，2
3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）
①AB∥CD；②AC＝BD；③当AC＝BD时，它是菱形；④当∠ABC＝90°时，它是矩形．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若DE＝2cm，则BC的长为（　　）
A．cm B．4cm C．cm D．cm
8．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的面积是（　　）
A．28 B．24 C．20 D．16
9．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里
10．将一个边长分别为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（　　）
A．3 B．4 C． D．5
11．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）
13．计算：（）2＝　 　．
14．比较大小：　 　．
15．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是　 　．
16．菱形ABCD中，∠B＝60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC长为 　 　．
17．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为 　 　．
18．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．计算：．
20．已知如图， ABCD中，∠C＝60°，求∠A、∠B、∠D的度数．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，AE＝CF，DE∥BF．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求证：四边形BEDF是平行四边形．
22．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．
（1）求AB的长；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，求四边形CODE的周长．
24．如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在AB与BC边上的点，且BE＝CF．
求证：OE⊥OF．
25．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程（结果保留根号的形式）．
26．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts．
（1）若点P和点Q同时运动了6秒，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；
（2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的。请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．如果有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a≥3 D．a≤3
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，列不等式求解．
解：如果有意义，则a﹣3≥0，
解，得a≥3．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1， D．5，12，2
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
解：A、42+52≠62，故不是直角三角形，错误；
B、62+82≠112，故不是直角三角形，错误；
C、12+12＝（）2，故是直角三角形，正确；
D、52+22≠122，故不是直角三角形，错误．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
可以此来判断哪个选项是正确的．
解：A、＝2，可化简；
C、＝，可化简；
D、＝|a|，可化简；
故选：B．
【点评】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的计算法则解答即可．
解：A、，错误，不符合题意；
B、，不能进行合并，错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的四则计算，解题的关键是根据二次根式的计算法则解答．
5．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论．
解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝7+，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）
①AB∥CD；②AC＝BD；③当AC＝BD时，它是菱形；④当∠ABC＝90°时，它是矩形．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】根据平行线的性质，菱形的判定，矩形的判定求解即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AC不一定与BD相等，
故①正确，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，
故③错误，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，
故④正确；
故选B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，熟知相关知识是解题的关键．
7．在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若DE＝2cm，则BC的长为（　　）
A．cm B．4cm C．cm D．cm
【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC＝4cm．
解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴，
∵DE＝2cm，
∴BC＝4（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线、解题的关键是掌握三角形的中位线的性质．
8．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的面积是（　　）
A．28 B．24 C．20 D．16
【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出结果．
解：由菱形的面积公式得：
菱形的面积＝×6×8＝24；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．
9．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32海里，12×2＝24海里，
根据勾股定理得：＝40（海里）．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
10．将一个边长分别为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【分析】设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，再由勾股定理列方程，求出x的值即可．
解：设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是翻折变换，解题时一般设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
11．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B
【分析】根据题目提供的三角形的三边长，计算它们的平方，满足a2+b2＝c2，哪一个是斜边，其所对的角就是直角．
解：∵AB2＝（）2＝2，BC2＝（）2＝5，AC2＝（）2＝3，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴BC边是斜边，
∴∠A＝90°．
故选：A．
【点评】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题没有让学生直接判定直角三角形，而是创新的求哪一个角是直角，是一道不错的好题．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝4﹣2t求出时间t的值．
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2t，
∴t＝4﹣2t
∴t＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出AE＝BF．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）
13．计算：（）2＝　5　．
【分析】直接利用二次根式的性质求出答案．
解：（）2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键．
14．比较大小：　＜　．
【分析】将两数进行平方，然后比较大小即可．
解：（3）2＝18，（2）2＝20，
∵18＜20，
∴3＜2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，注意运用平方法比较两个正数的大小．属于基础题．
15．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是　5　．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：由勾股定理得，斜边＝＝10，
所以，斜边上的中线长＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
16．菱形ABCD中，∠B＝60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC长为 　2　．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2，再证△ABC是等边三角形，即可得出结论．
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，边长是2，
∴AB＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明△ABC为等边三角形是解题的关键．
17．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为 　24米　．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．
解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为15+9＝24米．
故答案为：24米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
18．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 　　．
【分析】连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，可求得AP最小值，即可得出AM的最小值．
解：如图：当P与C不重合时，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×12×5＝×13×AP，
解得AP＝，
∴AP的最小值为，
∴AM的最小值是．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用、勾股定理的运用、三角形的面积公式、垂线段最短的性质的运用等知识点，根据题意求出AP的最小值是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．计算：．
【分析】先化成最简二次根式和计算二次根式的乘法得到原式＝2﹣＝2﹣，然后合并同类二次根式．
解：原式＝2﹣
＝2﹣
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20．已知如图， ABCD中，∠C＝60°，求∠A、∠B、∠D的度数．
【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D，AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，即可得出∠B、∠D的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的性质是解题的关键．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，AE＝CF，DE∥BF．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）求证：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
又AE＝CF，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）由（1）知△AED≌△CFB，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】此题考查平行四边形的性质、三角形全等的判定及性质，根据平行四边形的对边平行且相等解答是解题的关键．
22．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．
（1）求AB的长；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由．
【分析】（1）在△ABC中，根据勾股定理求出AB2的值；
（2）再在△ABD中根据勾股定理的逆定理，判断出AD⊥AB．
解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，
∴AB＝5；
（2）△ABD为直角三角形，
理由：在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，求四边形CODE的周长．
【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，则可求得答案．
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
24．如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在AB与BC边上的点，且BE＝CF．
求证：OE⊥OF．
【分析】首先根据题干条件证明△OBE≌△OCF，进而得到∠BOE＝∠COF，再利用角之间的关系得到∠EOF＝∠BOC＝90°，于是结论得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF，AC⊥BD，
∵BE＝CF，
∴△OBE≌△OCF，
∴∠BOE＝∠COF，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵∠EOB+∠BOF＝∠EOF，∠COF+BOF＝∠BOC＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴OE⊥OF．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出∠EOF＝∠BOC＝90°，此题难度不大．
25．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程（结果保留根号的形式）．
【分析】将圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短利用勾股定理求解即可．
解：圆柱的侧面展开图如下所示：
∵圆柱的底面周长为10cm，
∴AD＝5cm，
又∵圆柱的高为4cm，
∴CD＝4cm，
∴在Rt△ADC中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题，解题的关键在于能够准确将圆柱侧面展开，并利用勾股定理求解．
26．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts．
（1）若点P和点Q同时运动了6秒，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；
（2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据t＝6可得PD＝CQ，从而得出四边形PDCQ为平行四边形，即可得出PQ＝CD；
（2）当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，得t＝26﹣3t，即可解决问题；
（3）根据梯形的面积公式分别表示出四边形ABCD和PQBA的面积，列出方程，进而解决问题．
解：（1）PQ＝CD，理由如下：
由题意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，
∴AP＝（24﹣t）cm，
当t＝6时，DP＝18cm，CQ＝18cm，
∴DP＝CQ，
∵DP∥CQ，
∴四边形PDCQ是平行四边形，
∴PQ＝CD；
（2）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝26﹣3t，
解得t＝6.5，
∴当t＝6.5时，四边形ABQP是矩形；
（3）存在，由题意知，四边形ABCD的面积＝＝，
四边形PQBA的面积＝＝4（t+26﹣3t）＝104﹣8t，
∵四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，
∴104﹣8t＝100，
∴t＝．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，梯形的面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

2022-2023广西柳州市鹿寨县八年级（下）期中数学试卷（含解析）