2023年浙江省金华市中考数学模拟试卷（含解析）

2023年浙江省金华市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 据东阳市教育事业统计公报发布，年各级各类全日制学校约有在校生万人，数万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
6. 设，，是抛物线为常数上的三点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 已知实数、满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，是对折后劣弧上的一点，是优弧上的一点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度米与登山时间分之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的倍则下列说法错误的是( )
A. 乙提速后每分钟攀登米
B. 乙攀登到米时共用时分钟
C. 从甲、乙相距米到乙追上甲时，乙用时分钟
D. 从甲、乙相距米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了米．
10. 如图，在直角梯形中，，，，，的平分线分别交、于点，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：______．
12. 若一个圆锥底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为______ ．
13. 若一组数据，，，，、、的平均数是，则这组数据的众数是______ ．
14. 将矩形按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则菱形的周长为______．
15. 如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，且恰为线段的中点，连结若，则的值为______．
16. 随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机如图的跑道可以旋转如图，图为跑道绕点旋转到位置时的主视图，其中为显示屏，为扶手，点在直线上，为可伸缩液压支撑杆，，的位置不变，的长度可变化，已知，，，则 ______ 若，，，且，，恰好在同一直线上，则 ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
化简求值：，请从，，，中选择一个喜欢的数代入求值．
19. 本小题分
如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求画图．
在图中画，使格点，分别在边，上，且均不与点，，，重合．
在图中，在线段上找一格点，使得．
20. 本小题分
学习统计知识后，某学习小组就本校师生“喜欢的出行方式”进行了一次调查，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
求出的值；
已知随机抽查的教师人数为学生人数的，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
若全校共有学生人，教师人，请你通过计算估计，全校师生乘私家车出行的共有多少人？
21. 本小题分
海中两个灯塔、，其中位于的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点处测得灯塔在西北方向上，灯塔在北偏东方向上，渔船不改变航向继续向东航行海里到达点，这时测得灯塔在北偏西方向上，求灯塔、间的距离．计算结果用根号表示，不取近似值
22. 本小题分
如图，是的直径，交于点，是的中点，连接交于点，．
求证：是的切线；
若，，求的长．
23. 本小题分
【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
如图，对余四边形中，，，，连接若，求的值；
如图，凸四边形中，，，当时，判断四边形是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点，，，四边形是对余四边形，点在对余线上，且位于内部，设，点的纵坐标为，请直接写出关于的函数解析式．
24. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴相交于点 连结、，、两点的坐标分别为，且当和时二次函数的函数值相等．点、同时从点出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折得到
求二次函数的解析式；
若点恰好落在边上，求的值及点的坐标；
在点、运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所给的实数中，最小的是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：观察图形，只有选项C中的图形能找到对称轴，则选项C中的图形是轴对称图形．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，
故选：．
设共有人，辆车，由每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行列方程可求解．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：抛物线为常数的开口向上，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线为常数的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】
【解析】解：，
，；
，，
原式
故选：．
根据非负数的性质，可求出、的值，然后将代数式化简再代值计算．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
8.【答案】
【解析】解：如图，翻折，点落在处，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
．
故选：．
如图，翻折，点落在处，由四边形是的内接四边形，推出，再根据，可得结论．
此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】
【解析】解：甲的速度为：米分，
米分，
即乙提速后每分钟攀登米，故选项A不符合题意；
乙攀登到米时共用时：分钟，故选项B不符合题意；
设，，
由函数图象得：，
解得，
，
乙提速后，乙的速度是甲登上速度的倍，
乙提速后的速度为：米分，
乙从到的时间为：，
，
，
，
解得，
，
当时，
则，
解得，
即从甲、乙相距米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：米，故选项D符合题意．
故选：．
根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到米时共用时间；别求出甲和乙提速后和之间的函数关系式，进而判断、．
本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及两直线交点问题，读懂题意，理解图象中每个拐点的意义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
作于点，由，得出，求出≌，再由求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，，再利用比例式求解．
【解答】
解：作于点，
，
，
，
，
，
又是的平分线，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】
解：．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
母线长为，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长圆锥的底面周长
13.【答案】
【解析】解：由题意知，，
解得，
所以这组数据为，，，，，，，
则这组数据的众数为，
故答案为：．
根据平均数的定义列出关于的方程，求出的值后，再根据众数的定义求解即可．
本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．
14.【答案】
【解析】解：矩形按如图所示的方式折叠，得到菱形，
，，，
而，
，
，
，，
，
，
，
菱形的周长．
根据折叠的性质得，，，所以，则根据含度的直角三角形三边的关系得，于是，，接着计算出，然后计算出，，于是可得菱形的周长．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
15.【答案】
【解析】解：设点坐标为，点坐标为，
恰为线段的中点，
点坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
设点坐标为，点坐标为，根据线段中点坐标公式得到点坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，得到，然后根据三角形面积公式得到，于是可计算出．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
16.【答案】
【解析】解：点在直线上，
，
，
，
，
如图，作，垂足为，
，
，，
，
，
，
在直角三角形中，，
，
，
作于，于，
是等腰三角形，
，
且、、三点共线，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
根据补角性质可得，作，垂足为，再根据三角函数及勾股定理可得的长；于，于，由等腰三角形性质及相似三角形的判定与性质得的长，最后根据平行四边形的判定与性质可得答案．
此题考查的是解直角三角形，能够掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解决此题关键．
17.【答案】解：原式，
．
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
18.【答案】解：原式
，
，，
当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：如图，线段，，答案不唯一．
如图中，点即为所求．

【解析】根据平行线的判定画出图形即可．
利用轴对称的性质解决问题即可．
本题考查作图应用与设计，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：学生调查人数：，
；
教师人数：；
学生骑自行车人数：人，
教师私家车：人，
补全条形统计图如下：
人，
答：全校师生乘私家车出行的大约共有人．
【解析】根据步行及乘公交车的人数除以步行与乘公交车所占的百分比，可得调查的学生人数，根据步行的人数比上调查的学生数，可得答案；
由的结论可得学生骑自行车的人数；根据分数乘法的意义，可得随机抽查的教师人数，进而得出教师乘私家车的人数；
根据样本估计总体，可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，如图所示：
由题意可得出：，，，
则，，，
，
设，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
答：灯塔、间的距离为海里．
【解析】根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出、的长进而求出即可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，方向角以及锐角三角函数关系，得出的长是解题关键．
22.【答案】证明：连结，如图，
是的中点，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
是的切线；
解：过点作于，如图，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，即平分，
而，，
，
设，则，
，
，
在中，，
，解得，
即的长为．
【解析】连结，如图，根据圆周角定理，由是的中点得到，由于，则，再利用圆周角定理得到，则，所以，于是根据切线的判定定理得到是的切线；
过点作于，如图，利用余弦定义，在中可计算出，在中可计算出，则，接着根据角平分线性质得，于是设，则，然后利用平行线的性质由得到，所以，解方程可求出．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
23.【答案】解：过点作于，过点作于．
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
结论：四边形是对余四边形．
理由：如图中，过点作，使得，连接、．
，
四边形中，，，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
四边形是对余四边形．
．
【解析】
【分析】
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出的值．
通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形为对余四边形．
过点作轴于点，先证明∽，得出与的关系，设，再利用中结论，求出与的关系即可解决问题．．
【解答】
见答案；
如图中，过点作轴于．
，，，
，，，，
，
，
，
四边形是对余四边形，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设，
由可知，，
，
整理得，
在中，，
，
即．
故答案为：．
24.【答案】解：当和时二次函数的函数值相等，
抛物线的对称轴为，
又，
．
设抛物线的解析式为，将，
，
．
抛物线的解析式为．
，，，
，，，
，
．
又，
为等边三角形．
由翻折的性质可知为等边三角形．
．
如下图所示：过点作轴，垂足为．
，
，
，解得：．
由翻折的性质可知．
又，
平分，
．
如下图所示：
当时，
，
，
．
，，
∽．
．
如下图所示：当．
，，
∽．
，
．
，．
如下图所示：当时．
，，
∽．
，
．
综上所述，当或时，二次函数图象的对称轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．
【解析】先判断出抛物线的对称，从而可得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将，可求得的值，从而可得到抛物线的解析式；
先求得、、的长，然后可得到和的度数，然后再证明、均为等边三角形，过点作轴，垂足为则，，，然后依据，列方程求解即可；
先证明，然后分为、、三种情况画出图形，然后再利用特殊锐角三角函数值可求得点的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、翻折的性质、相似三角形的判定，分类讨论是解题的关键．
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2023年浙江省金华市中考数学模拟试卷（含解析）