房山区 2023 年高考第一次模拟测试试卷（含答案）

房山区 2023年高考第一次模拟测试试卷
数 学
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合 A ={x| 1 x 1}， B ={x |0≤x≤3}，则 A B =
（A）[0，1) （B）[0，1]
（C） ( 1，3] （D） ( 1，3)
2 4
（2）在 (x ) 的展开式中， x2 的系数是
x
（A） 8 （B）8
（C） 4 （D）4
（3）已知数列{an}对任意 n
*
N 满足an + a1 = an+1，且a1 =1，则a5 等于
（A）2 （B）3
（C） 4 （D）5
π
（4）“0 x ”是“ tan x 1”的
4
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2
（5）已知抛物线C : y = 4x的焦点为 F ，抛物线C 上一点 P 到点 F 的距离为3，则点 P
到原点的距离为
（A）2 （B）3
（C） 2 2 （D）2 3
2 2
（6）已知直线 y +1= m(x 2) 与圆 (x 1) + (y 1) = 9相交于M ， N 两点，则 |MN |的最
小值为
（A） 5 （B）2 5
（C） 4 （D）6
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（7）已知函数 f (x) 同时满足以下两个条件：
①对任意实数 x ，都有 f (x) f ( x) 0；
f (x1) f (x②对任意实数 x ， x ，当 x x 0时，都有 2
)
1 2 1 2 0 .
x1 x2
则函数 f (x) 的解析式可能为
（A） f (x) 2x （B） f (x) 2x
（C） f (x) 2
x x
（D） f (x) 2
（8）在△ABC 中， C =90 ，AC = BC = 2 ．P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，
则 |PA + PB|的最大值为
（A）16 （B）10
（C）8 （D） 4
（9）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是 95% 100%，
当血氧饱和度低于 90%时，需要吸氧治疗．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用
指数模型： S (t) = S e
Kt
0 描述血氧饱和度S(t)随给氧时间 t（单位：时）的变化规律，其
中 S S = 600 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知 0 %，给氧 1 小时后，血氧饱和度为
80%．若使得血氧饱和度达到 90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为
（精确到0.1，参考数据： ln2≈0.69， ln 3≈1.10）
（A）0.3 （B）0.5
（C）0.7 （D）0.9
（10）如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，则下列结论中正确的是
（A）与三条直线 AB，CC1，D1A1所成的角都相等的直线有且仅有一条
（B）与三条直线 AB，CC1，D1A1所成的角都相等的平面有且仅有一个
（C）到三条直线 AB，CC1，D1A1的距离都相等的点有无数个，且在同一条直线上
（D）到三条直线 AB，CC1，D1A1的距离都相等的点有无数个，且不同在一条直线上
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第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）在复平面内，复数 z 对应点的坐标为 (0，1) ，则 (1+ i) z = ．
（12）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a b c，则ac bc”是假命题的一组整数
a，b，c 的值依次为 ．
x2 y2
（13）已知双曲线C : =1 的一条渐近线方程为 y = 3x，则双曲线C 的离心率
a2 b2
为 ．
b
（14）在△ABC 中， sin A = sin 2A ， 2a = 3b ，则 A = ； 的值为 ．
c
| ln x|， x 0，
（15）设函数 f (x) = 给出下列四个结论： 2
x + 4x +1，x≤0.
① 函数 f (x) 的值域是R ；
② a 1，方程 f (x) = a恰有3个实数根；
③ x0
+
R ，使得 f ( x0 ) f (x0 ) = 0；
④ 若实数 x1 x2 x3 x4 ，且 f (x1) = f (x2 ) = f (x3) = f (x4 ) ，则
4
(x1 + x2 )(x3 x4 ) 的最大值为4e .
e
其中所有正确结论的序号是 ．
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = sin( x + ) ( 0，0 π)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，确定 f (x) 的解析式．
设函数 g(x) = f (x) 2sin2 x ，求 g(x) 的单调增区间．
条件①： f (x) 是偶函数；
π
条件②： f (x) 图象过点 ( ，1)；
6
5π
条件③： f (x) 图象的一个对称中心为 ( ，0)．
12
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
（17）（本小题 14 分）
如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD， PD = DC = 2 ,
AD = 2 2 ，M 为BC 的中点.
（Ⅰ）求证： AM ⊥平面 PBD；
（Ⅱ）求平面 ABCD与平面 APM 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面 APM 的距离.
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（18）（本小题 13 分）
某社区组织了一次公益讲座，向社区居民普及垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机
抽取 10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位
社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：
编号 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号
正确率
讲座前 65% 60% 70% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60%
讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90%
（Ⅰ）从公益讲座前的 10 份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，求这份答卷正确率低于
80 %的概率；
（Ⅱ）从公益讲座前、后所有正确率不低于90 %的垃圾分类知识答卷中随机抽取 3 份，
记随机变量 X 为抽中讲座前答卷的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）判断此次公益讲座的宣传效果，并说明你的理由.
（19）（本小题 15 分）
x2 y2
B(0，1) 2已知椭圆E : + =1(a b 0)过点 ，且离心率为 ．
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线 l 与椭圆 E相切，过点M (1，0) 作直线 l 的垂线，垂足为 N ，O 为坐标原点，
证明： |ON|为定值．
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（20）（本小题 15 分）
1
已知函数 f (x) = ax (a +1) ln x .
x
（Ⅰ）当a = 0时，求曲线 y = f (x) 在点 (1，f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）若 f (x) 在 x = 2处取得极值，求 f (x)的单调区间；
（Ⅲ）求证：当0 a 1时，关于 x 的不等式 f (x) 1在区间[1，e] 上无解.
（21）（本小题 15 分）
如果数列{an}对任意的 n
*
N ， an+2 an+1 an+1 an，则称{an}为“速增数列”．
（Ⅰ）判断数列{2n} 是否为“速增数列”？说明理由；
（Ⅱ）若数列{an}为“速增数列”，且任意项an Z，a1=1，a2= 3，ak = 2023，
求正整数 k 的最大值；
（Ⅲ）已知项数为 2k ( k≥2， k Z )的数列{bn}是“速增数列”，且{bn}的所有项的和等
b
于 k．若 cn = 2
n ， n =1，2，3， ，2k ，证明：ckck+1 2．
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房山区 2023年高考第一次模拟测试
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）C （2）A （3）D （4）A （5）D
（6）C （7）B （8）D （9）B （10）D
二、填空题(（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 1+ i （12） 3， 2， 1 (答案不唯一)
π
（13） 2 （14） ，2 15）②③④
3
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
2π
解：（Ⅰ）因为T = = π，所以 = 2 .

（Ⅱ）选择条件①：
方法一：因为 f (x) = sin(2x+ )是偶函数，所以 f (0) = 1.
所以sin = 1.
π
因为0 π，所以 = .
2

所以 f (x) = sin(2x + ) = cos 2x .
2
所以 g(x) = f (x) 2sin
2 x = cos 2x (1 cos 2x)
= 2cos 2x 1 .
因为 y = cos x在 π + 2kπ，2kπ (k Z)上单调递增，
由 π+ 2kπ≤2x≤2kπ (k Z)，
π
解得 + kπ≤x≤kπ (k Z) .
2
π
所以 g(x) 的单递增区间为 + kπ，kπ (k Z) .
2
方法二：因为 f (x)是偶函数，所以对任意 x R ，都有 f ( x) = f (x) ，即
sin(－2x+ ) = sin(2x+ ) ，
π
所以－2x+ = π-(2x+ )+ 2kπ，解得 = + k .
2
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π
因为0 π，所以 = . （以下与选择方法一相同）
2
选择条件②：
π π π
因为 f (x)图象过点 ( ，1)，所以 2 + = 2kπ + (k Z)，
6 6 2
π
解得 = + 2kπ (k Z) .
6

因为0 π，所以 = ，
6

所以 f (x) = sin(2x + ) .
6
所以g(x) = f (x) 2sin2 x

= sin(2x + ) (1 cos 2x)
6

= sin 2xcos + cos 2xsin + cos 2x 1
6 6
3 3
= sin 2x + cos 2x 1
2 2
1 3
= 3( sin 2x + cos 2x) 1
2 2

= 3 sin(2x + ) 1 .
3
π π
因为 y = sin x 在 + 2kπ， + 2kπ (k Z)上单调递增，
2 2
π π π
由 + 2kπ≤2x + ≤ + 2kπ (k Z) ,
2 3 2
5π π
解得 + kπ≤x≤ + kπ (k Z) .
12 12
5π π
所以 g(x)的单调增区间为 + kπ， + kπ (k Z) .
12 12
选择条件③：
5π 5π
因为 f (x)的一个对称中心为（ ，0)，所以 2 + = kπ(k Z) .
12 12
5π
解得 =－ + kπ (k Z) .
6

因为0 π，所以 = .
6

所以 f (x) = sin(2x + ) .
6
（以下与选择条件②相同）
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（17）
（Ⅰ）证明：（方法一综合法） PD⊥面 ABCD， AM 面 ABCD，
PD⊥ AM .
AD AB
在矩形 ABCD中， = ，所以△ABD∽△BMA.
AB BM
所以 ABD= BMA.则 AOB= MBD+ BMA = MBD+ ABD = 90 .
所以BD⊥ AM .
又 BD∩PD = D，
AM ⊥面 PBD .
（方法二坐标法）
PD⊥面 ABCD， PD ⊥ AD，PD ⊥ DC
又因为底面 ABCD是矩形， AD ⊥ DC ，
以 D为原点，分别以DA，DC，DP 为 x，y，z 轴建立平面直角坐标系.
设 B（2 2，2，0) ，则 A（2 2，0，0)，M（ 2，2，0)，P（0，0，2)
AM = ( 2，2，0) ， DB =（2 2，2，0）， AP =（-2 2，0，2）
AM DB = 0， AM ⊥ BD .
PD⊥平面 ABCD， AM 平面 ABCD，
AM ⊥ PD .
又 BD∩PD = D，
AM ⊥平面PBD .
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知 AP =（-2 2，0，2）， AM = ( 2，2，0) .
平面 ABCD的一个法向量为m = (0，0，1) .
n AM = 2x + 2y = 0
设平面 APM 的法向量为n = (x，y，z)，则
n AP = 2 2x + 2z = 0
取 x = 2 得到n = ( 2，1，2)，
则平面 ABCD与 APM 所成角的余弦值为
|m n| 2 2 7
cos m,n = = =
n m 1 7 7
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（方法二综合法）
由 AM ⊥面PBD， AM ⊥ PO ，
POD是平面 ABCD与平面 APM 所成角的平面角.
4 3
在矩形 ABCD中， DO = .
3
2 7
在直角三角形PDO中， PO = .
3
DO 2 7
平面 ABCD与 APM 所成角的余弦值为 cos POD = = .
PO 7
（Ⅲ）（方法一坐标法）
DA = (2 2，0，0) . 平面 APM 的法向量n = ( 2，1，2) .
DA n 4 4 7
所以点D到平面 APM 的距离为d = = = .
n 7 7
2 3
（方法二综合法） sin POD = 1 cos
2 POD = 1 ( )2 =
7 7
点 D到平面 APM 的距离为
4 2 4 2 2 4 7d = DO sin POD = 1 cos POD = 1 ( ) = .
3 3 7 7
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）记事件 A为 “从公益讲座前的 10 份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，这份答
卷正确率低于80 %”.
在公益讲座之前，10 份垃圾分类知识答卷正确率低于80 %的有 6人，则
6 3
P(A) = = .
10 5
（Ⅱ）正确率不低于90 %的垃圾分类知识答卷有 7 份，其中讲座前的答卷有 2 份， X 的可
能取值为0，1，2；
C35C
0 2 1 1 2
P(X = 0) = 2
2 C C 4 C C 1
= ； P(X =1) = 5 2 = ；P(X = 2) = 5 2 = ；
C3 3 37 7 C7 7 C7 7
X 的分布列为
X 0 1 2
P 2 4 1
7 7 7
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2 4 1 6
E(X ) = 0 +1 + 2 = .
7 7 7 7
（Ⅲ）角度一：讲座前答卷正确率的平均值
1
x1 = (65%+ 60%+ 70%+ 60%+ 65%+ 75%+90%+85%+80%+100%) = 75%
10
讲座后答卷正确率的平均值为
1
x2 = (90%+85%+80%+90%+85%+85%+ 95%+100%+85%+ 95%) = 89%
10
因为 x1 x2 ，公益讲座后答卷正答率的平均值高于公益讲座前答卷正答率的平均值，
公益讲座后社区居民答题水平提高，所以公益讲座有明显的效果；
角度二：平均值变大，且讲座前答卷的方差
2 1s1 = [(65% 75%)
2 + (60% 75%)2 + (70% 75%)2 + (60% 75%)2 + (65% 75%)2 +
10
(75% 75%)2 + (90% 75%)2 + (85% 75%)2 + (80% 75%)2 + (100% 75%)2 ] =1.65
2
同理计算讲座后答卷的方差 s2 = 0.34
s2因为 1 s
2
2 ，公益讲座之后社区居民答题正确率的方差小，整体水平高，并且比较集
中，所以公益讲座有明显的效果；
角度三：公益讲座前答题正确率最小值为60 %，公益讲座之后答题的正确率最小值为
80%，讲座前的极差为：100 %-60 %=40 %，讲座后的极差为：100 %-80 %=20 %，
讲座后答卷正确率的变化范围比讲座前答卷正确率的变化范围小，公益讲座有效果。
（19）（本小题 15 分）
b =1

c 2
解：（1）由已知可得， = 解得a = 2 ，
a 2
a2 = b2 + c2

x2
所以，椭圆E的方程为 + y
2 =1.
2
（2）①当切线 l的斜率不存在时，直线 l : x = 2 ，过点M (1，0) 作直线 l 的垂线为
y = 0 ，即此时 N( 2，0)或 N ( 2，0) ，则 |ON| = 2 .
②当切线 l的斜率为0时，直线 l : y 1，过点M (1，0) 作直线 l 的垂线为 x =1，即此
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时 N(1，1) 或 N(1， 1)， |ON| = 2 ；
③当切线 l的斜率存在且不为0时，设 l的方程为 y = kx +m ，
y = kx +m

联立直线 l和椭圆E的方程得 x2 ， 2
+ y =1
2
y 2 2 2消去 并整理，得 (2k +1) x + 4kmx + 2m 2 = 0，
因为直线 l和椭圆E相切，
Δ =16k 2m2 4(2k 2 +1)(2m2 2) = 0，化简并整理，得m2 = 2k 2 +1，
1
因为直线MN 与 l垂直，所以直线MN 的方程为 y = (x 1)，
k
1 km
1 x =
y = ( x 1) 1+ k 2 1 km k +m
联立 k ，解得 ，即点N（ ， ）. 2 2
k +m
y = kx +m
1+ k 1+ ky =
2 1+ k
2 (1 km)
2 + (k +m)2 k 2m2 + k 2 +m2 +1 (k 2 +1)(m2 +1)
| ON | = = =
(1+ k 2 )2 (1+ k 2 )2 (1+ k 2 )2
m2 +1 2k 2 + 2
= = = 2 .
1+ k 2 1+ k 2
所以， |ON| = 2 .
综上所述， |ON| = 2 为定值．
（20）（本小题 15 分）
1 1 1
解：（Ⅰ）当a = 0时， f (x) = ln x ， f '(x) = + ，
x x x2
f (1) = 1，切点 (1， 1) .
f '(1) = 0，切线斜率 k = 0 .
所以切线方程为 y = 1.
（Ⅱ）因为 f (x)在 x = 2处取得极值，所以 f '(2) = 0 .
a +1 1
因为 f '(x) = a + ，
x x2
a +1 1 1
所以a + = 0 ， a = .
2 4 2
1
当 a = 时， f (x) 在 x = 2处取得极小值.
2
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1 3 1 x2 3x + 2 (x 1)(x 2)
f '(x) = + = = ，
2 2x x2 2x2 2x2
由 f '(x) = 0 ，得 x =1，或 x = 2 .
f '(x)与 f (x)随 x 的变化情况
x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，+ )
f '(x) + 0 0 +
f (x) ↗ ↘ ↗
f (x)的单调递增区间为 (0，1) ， (2，+ ) ，单调递减区间为 (1，2) .
（Ⅲ）证明： “ f (x) 1在区间[1，e]上无解”，等价于“ f (x)≤1在区间[1，e] 上恒成立”，
等价于“ f (x) 在区间[1，e]上的最大值≤1”.
a +1 1 (ax 1)(x 1)
f '(x) = a + = ，
x x2 x2
1
当0 a 1时，由 f '(x) = 0 ，得 x =1，或 x = .
a
1
①当 ≥e时， f '(x)≤0，函数 f (x)在区间[1，e]上单调递减.
a
所以 f (x)≤ f (1) = a 1 1，不等式 f (x) 1在区间[1，e] 上无解.
1
②当 < e时，
a 1 1 1
x (1， ) ( ，e)
a a a
f '(x) 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以函数 f (x) 在区间[1，e]上的最大值为 f (1)或 f (e) .
1 1 1
因为 f (e) = ae (a +1) ， f (e) 1= a(e 1) 2 (e 1) 2 0，
e e e
所以 f (e) 1，
又因为 f (1) = a 1 1，所以， f (x)≤1在区间[1，e]上恒成立.
综上，当0 a 1时，不等式 f (x) 1在区间[1，e]上无解.
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）数列{2n}对 n *N ， an+2 an+1= 2
n+2 2n+1 = 2n+1， a nn+1 an = 2 ，
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所以 (an+2 an+1) (a a
n+1
n+1 n ) = 2 2
n = 2n 0
所以，数列{2n} 为“速增数列”
（Ⅱ）因为数列{an}为“速增数列”， a1=1，a = 3，且2 an Z．
所以，对 n *N ， an+2 an+1 a ，n+1 an a a = 2， 2 1
所以， a a ≥3， a a ≥4， ，a a ≥k . 3 2 4 3 k k 1
相加得， (a2 a1) + (a3 a ， 2 )+ (a4 a3 )+ +(ak ak 1)≥2+ 3+ + k
(k 1)(k + 2)
即 a a ≥ . k 1
2
所以 4044≥(k 1)(k + 2) .
62 65= 4030 ， 63 66 = 4158，所以 k的最大值为 63.
（Ⅲ）
方法一：（反证法）
假设， c c . k k+1≥2
因为{b 是“速增数列”，且所有项的和等于 k， n}
所以bn+1 bn bn+2 bn+1，b1 + b2 + + b2k = k ，
b
因为 c nn = 2 ，bn = log2 cn ， cn 0
所以 log2 cn+1 log2 cn log2 cn+2 log2 cn+1，且 log2 c1 + log2 c2 + + log2 c2k = k .
c
所以 n+1
c
n+2
c c c c
，因此 2 3 4 2k
k
，且c1c2c3 c2k = 2
c c c c n n+1 1 2 c3 c2k 1
c c
所以对任意的m≤k 1,m N *，都有 m+1 2k+1 m ，即cm+1c2k m cmc2k+1 m
c m c2k m
所以c1c2k c2c2k 1 c3c2k 2 ckck+1≥2 .
c c c c 2k c c c c = 2k所以 1 2 3 2k ，与 1 2 3 2k 矛盾，
所以假设错误，所以 ckck+1 2 .
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方法二：假设， ckc ≥2 . k+1
因为{b }是“速增数列”，且所有项的和等于 k， n
所以bn+1 bn bn+2 bn+1，且b1 + b2 + + b2k = k ，
b
因为 c = 2 nn ，
bn+1 b b所以2 n 2 n+2
bn+1 b +b + +b，且2 1 2 2k = 2k
c
所以 n+1
c
n+2
c c c c k
，因此 2 3 4 2k ，且c1c2c3 c2k = 2
cn cn+1 c1 c2 c3 c2k 1
以下同方法一
方法三：要证： ，即 bc c 2 2 k b2 k+1 2，只需证： b + b 1 . k k+1 k k+1
假设， b + b ≥1 . k k+1
因为{b }是“速增数列”，且所有项的和等于 k， n
所以bn+1 bn bn+2 bn+1，且b1 + b2 + + b2k = k ，
所以b2 b1 b3 b2 b4 b3 b2k 1 b2k 2 b2k b2k 1，
所以b1+b2k b2 +b2k 1 bk +bk+1≥1.
所以b1 + b2 + + b2k k ，与b1 + b2 + + b2k = k 矛盾.
所以假设错误，所以 b + b 1. k k+1
所以 c c . k k+1 2
方法四：要证： ，即 bk bc c 2 2 2 k+1 2，只需证：k k+1 bk + bk+1 1 .
由题意可知b2k b2k 1 b2 b1，b2k 1 b2k 2 b3 b2 ，…，bk+2 bk+1 bk bk 1 .
所以b2k +b1 b2k 1 +b2 ，b2k 1 +b2 b2k 2 +b3 ，…，bk+2 +bk 1 bk+1 +bk .
所以b2k +b1 b2k 1 +b2 bk+1 +bk .
所以 k = (b2k +b1)+ (b2k 1 +b2 )+ + (bk+1 +bk ) k(bk+1 +bk ) .
所以bk +bk+1 1 .
所以ckck+1 2 .
房山高三数学一模 第 9 页（共 9 页）

房山区 2023 年高考第一次模拟测试试卷（含答案）