2023年北京市丰台区九年级二模数学试卷 （含答案）

2023年北京市丰台区九年级二模数学试卷
数 学
2023. 05
考 生 须 知 1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题. 满分100分. 考试时间120分钟. 2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4. 选择题和作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 右图是某几何体的展开图，该几何体是
（A）圆柱 （B）三棱柱
（C）圆锥 （D）球
2. 如图，AB∥CD，点E为CD上一点，AE⊥BE，
若∠B=55°，则∠1的度数为
（A）35° （B）45°
（C）55° （D）65°
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
（A）a＞c （B）＞1 （C）b＜c （D）ac＞0
4. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是
（A） （B） （C） （D）
5. 已知3.52=12.25，3.62=12.96，3.72=13.69，3.82=14.44，那么精确到0.1的近似值是
（A）3.5 （B）3.6 （C）3.7 （D）3.8
6. 掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值
（A）一定是 （B）一定不是
（C）随着m的增大，越来越接近 （D）随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何？（1托为5尺）其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索和竿各长几尺？设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是
（A） （B） （C） （D）
8. 下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x
图1 图2 图3
其中，变量y与x之间的函数关系大致符合右图的是
（A）①② （B）①③
（C）②③ （D）①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
10. 分解因式：________.
11. 正十边形的外角和为________°.
12. 如图所示，正方形网格中，三个正方形A，B，C的顶点
都在格点上，用等式表示三个正方形的面积SA，SB，SC
之间的关系________.
13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象如图所示，k的值可以是________（写出一个即可）.
14. 若=2，则代数式的值为________.
15. 右图是某书店2022年7月至12月教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图. 小华认为，8月份教育类图书销售额比7月份减少了. 他的结论 （填“正确”或“错误”），理由是 .
16. 甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地. 每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表.
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨所需运费/元 120 160 100
如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元.
三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算：
18. 解方程：.
19. 下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法. 请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明.
已知：如图，直线l及直线l外一点P. 求作：直线PQ，使得PQ∥l.
作法一：如图， ①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B； ②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q； ③作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线. 作法二：如图， ①在直线l上取两点A，B，连接AP； ②分别以点P，点B为圆心，AB，AP的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q； ③作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线.
证明：∵AB = ，CB = ， ∴PQ∥l（ ） （填推理的依据）. 证明：连接BQ. ∵AP = ，AB = ， ∴四边形APQB是平行四边形 （ ）（填推理的依据）. ∴PQ∥l （ ） （填推理的依据）.
20. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE=DB，连接BE，DE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）连接AE，当∠ACB=30°，AB=2时，求AE的长．
22. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息.
a. 两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
b. 两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A品种花生仁 a 13.5 c 1.4
B品种花生仁 17.5 b 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
（2）写出a，b，c的值；
（3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A”或“B”）品种花生仁，理由是 ．
23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点（2，0），（3，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，点E是AB的延长线上的一点，∠BCE=∠BOD，OD的延长线交CE于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若sinE＝，AC＝5，求DF的长．
25. 学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形ABCD构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌EFGH，要求矩形EFGH的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形ABCD的边AD上．为了设计面积最大的矩形EFGH，兴趣小组对矩形EFGH的面积与它的一边FG的长之间的关系进行研究．
图1 图2
具体研究过程如下，请补充完整.
（1）建立模型：
以FG的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，通过研究发现，抛物线满足函数关系. 设矩形EFGH的 面积为，FG的长为m，则另一边HG的长为________（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：___________（0＜a＜4）；
（2）探究函数：
列出S与a的几组对应值：
a / m … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 …
/ … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 …
在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；
（3）解决问题：
结合函数图象得到，FG的长约为_________时，矩形面积最大．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线（a≠0）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点（x1，5），（x2，-3）在抛物线上，求a的取值范围；
（3）若点（m，y1），（m+1，y2）在抛物线上，对于任意的m≥3，都有≥3，直接写出a的取值范围．
27. 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD=CE， EB的延长线交AD于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）延长EF至点G，使FG=AF，连接CG交AD于点H. 依题意补全图形， 猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．
28. 对于⊙W和⊙W的弦PQ，以PQ为边的正方形为PQ关于⊙W的“关联正方形”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点T（m，0），点M（m，-1），以点T为圆心，TM的长为半径作⊙T，点N为⊙T上的任意一点（不与点M重合）．
（1）当m=0时，若直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，求t的取值范围；
（2）若点A在MN关于⊙T的“关联正方形”上，点B（-m+2，3）与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值.
参考答案
选择题（本题共16分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D B D A D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. x≥5 10. 3（x+y）（x-y） 11. 360
12. SA+SB=SC（答案不唯一，其他形式相应给分） 13. 2（答案不唯一，k＞1即可）
14. 2 15. 错误；理由合理即可 16. 9，2，9；11680.
三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17.解：原式=1-1-+2. ……4分
=2-. ……5分
解：
去分母，得x（x+1）+（x-1）=（x+1）（x-1）.
去括号，得x2+x+x-1=x2-1.
移项，得2x=0.
系数化为1，得x=0. ……4分
检验:当x=0时，（x+1）（x-1）≠0.
∴原分式方程的解为x=0. ……5分
解：选择作法一：
正确补全图形； ……2分
证明：∵AB= AP ，CB= CQ ，
∴PQ∥l (三角形的中位线定理). 5分
选择作法二：
正确补全图形； ……2分
证明：∵AP= BQ ，AB= PQ ，
∴四边形APQB是平行四边形
（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）.
∴PQ∥l (平行四边形的对边平行). ……5分
（1）证明：
∵=b2-4ac=4m2-4（m2-4）=16＞0.
∴该方程总有两个不相等的实数根. …3分
（2）取m=0,
原方程可化为
解得x1=2，x2=-2. ……5分
（答案不唯一，取符合题意的m值相应给分）
（1）
证明：∵CE∥DB,且CE =DB,
∴四边形BECD是平行四边形.
……1分
∵∠ABC=90°,点D是AC边中点，
∴BD=AC=CD.
∴四边形BECD是菱形. ……2分
（2）证明：∵四边形BECD是菱形，
∴AC∥BE,CD=BE.
∵点D是AC中点，
∴AD=CD=BE.
∵AD∥BE,AD=BE.
∴四边形ABED是平行四边形.
∵∠ACB=30°,∠ABC=90°，
∴AB=AC=AD.
∴四边形ABED是菱形.
∴AE⊥BD，AE=2AO.
∴∠AOB=90°.
∵∠ACB=30°,
∴∠CAB=60°.
∴∠EAB=∠CAB=30°.
∴AO=AB=.
∴AE=2AO=. ……5分
解：（1）②； ……1分
（2）a=13.7，b=17.5，c=13； ……4分
（3）A，A品种花生仁长轴长度方差小，说明该品种花生仁大小更均匀. 6分
23.解：（1）∵一次函数的图象经过点（2，0），（3，1），
∴解得
∴一次函数表达式为. …3分
（2） ……5分
24.（1）证明：连接OC .
∵D是BC的中点，
∴OD⊥BC. ……1分
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠BOD=∠BCF，
∴∠BOD+∠OBC=∠BCF+∠OCB.
∴∠BCF+∠OCB=90°. ……2分
即∠OCE=90°. ∴OC⊥CE.
∵OC ⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线. ……3分
（2）解：∵∠OCE=90°，sinE=，
∴.
设OC=2k，OE=3k，则BE=OE-OB=k.
∴AE=AB+BE=5k.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥OF.
∴△EOF∽△EAC. ……4分
∴.
∵AC=5,
∴OF=3. ……5分
∵CD=BD,AO=BO,∴OD=AC=.
∴DF=OF-OD=. ……6分
25.解：（1）()，； 2分
（2）正确画出该函数的图象； …4分
（3）2.3 . ……6分
解：（1）由题意得抛物线经过点（0，3）和点（4，3），
∴抛物线的对称轴. …1分
（2）∵抛物线的对称轴，
∴.
∴抛物线顶点坐标为.
∵点，在抛物线上，
∴当a＞0时，，解得；
当a＜0时，，解得.
综上所述，或. ……4分
（3）或. ……6分
（1）解：∵等边△ABC，
∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°.
∴∠ABD=∠BCE=120°.
∵CE=BD，
∴△ABD≌△BCE. ……1分
∴∠D=∠E.
∵∠DBF=∠CBE，
∴∠D+∠DBF=∠E+∠CBE.
即∠AFE=∠ACB=60°. ……2分
（2）正确补全图形；
……3分
CH=GH； ……4分
证明：在EF上截取FM=FA,连接AM，CM.
∵∠AFE=60°，
∴ △AFM是等边三角形.
∴∠FAM=∠AFM=60°，AM=AF=MF.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
∴∠BAC-∠MAB=∠FAM-∠MAB.
即∠CAM=∠BAF.
∴△ACM ≌△ABF. ……5分
∴∠AMC=∠AFE=60°.
∴∠CMF=∠AMC+∠AMB=120°.
∴∠CMF+∠AFE=180°.
∴CM∥HF. ……6分
∴.
∵FM=AF，AF=GF，∴FM=GF.
∴CH=GH. ……7分
解：（1）
如图，MN关于⊙T的“关联正方形”上的所有点在以C（-1，0）和D（1，0）为圆心，为半径，以E（-1，-1），F（1，-1）和O（0，0）为圆心，1为半径的五个圆上及圆内.由直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，可知：当直线与⊙C相切时，设切点为G，交x轴于点H，交y轴于点I，由CG=，得CH=2，
∴OH=OI=3，此时t=3；
当直线与⊙F相切时，设切点为J，交y轴于点K，由OJ =，OK=OJ=+2，
∴此时t=.
综上所述，. ……3分
（2）m=1；d=. ……7分
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