2023年山东省济南市育英中学中考三模数学试题（含答案）

2023济南育英教育集团中考数学三模试卷（2023.6）
一、选择题（共10小题）
1．的绝对值是（）
A．－7 B．7 C． D．
2．如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（）
A． B． C． D．
3．2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（）
A．5575×104 B．55.75×105 C．5.575×107 D．0.5575×108
4．如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）
A．55° B．75° C．80° D．105°
5．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
6．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
7．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）
A．m＞n B． C． D．
8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（）
A．① B．② C．①② D．①③
9．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC＝2∠AFB，则AF的长为（）
A． B．2 C．3 D．4
10．点A（2，4）为二次函数y＝x2图象上一点，点B是该函数图象上一个动点（不与点A重合），连结AB，过点A作AC⊥AB，分别交二次函数图象于点C（不与点A重合），连结BC，点O为坐标原点，作OH垂直于直线BC于H，则OH的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
11．因式分解：x2－4y2＝________．
12．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是________．
13．方程的解是________．
14．运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区．某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果，那么小正方形的面积与大正方形的面积之比等于________．
16．如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是________．
三、解答题
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
19．（6分）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
20．（8分）某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8．根据数据绘制了表格和统计图：
换算为体考分数 成绩（米） 频数
10 x≥9.6 4
8 7.7≤x≤9.5 a
6 5.3≤x≤7.6 7
4 3.0≤x≤5.2 b
合计 20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝________；b＝________；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是________；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
21．（8分）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外，小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高1.8m，无人机匀速飞行的速度是4m/s，当小华在B处时，测得无人机（C处）的仰角为37°；两秒后，小华沿正东方向小跑6m到达E处，此时测得迎面飞来的无人机（F处）的仰角为58°，CF平行于地面（直线l）．设点D与点F的水平距离MF为xm．
（1）请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离DM：________m；
（2）求点C离地面的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1）
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，，求BE的长．
23．（8分）卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎．林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的2倍，用40元购进的卫龙辣条比用10元购进的普通辣条多10包．
（1）求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
（2）该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共800包，并分别按3.5元/包、2元/包的价格全部售出．若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线经过点B．
（1）求a的值及双曲线的解析式；
（2）经过点B的直线与双曲线的另一个交点为点C，且△ABC的面积为．
①求直线BC的解析式；
②作BD∥x轴交直线于点D，△ABD沿直线BC平移到，的中点为E，若BE平行于坐标轴，请直接写出的长度。
25．（12分）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号）
（2）在（1）答案最大序号图形中，AC＝3，BC＝4，设自位似轴对称变换的对称轴与CD交于点E，求CE；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
26．（12分）如图（1），二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，－3），直线l经过B，C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，求3AP＋4DQ的最小值________（直接写出答案）．
2023济南育英教育集团中考数学三模评分标准
一、选择题
DACCC ACBBB
二、填空题
11、(x+2y)(x-2y) 12、13、x=14、10% 15、16、
三、解答题
17、计算：（sin75°﹣2021）0﹣（）﹣1﹣4cos30°．
【解答】解：（sin75°﹣2021）0﹣（）﹣1﹣4cos30°
＝21﹣3﹣4 -------4分
＝22﹣2
＝﹣2． ----------6分
18．计算：解不等式组，并写出该不等式组最大整数解．
，
解不等式①得：x≥﹣2，--------2分
解不等式②得：x＜1， ---------4分
则不等式组解集为﹣2≤x＜1，---------5分
∴不等式组的整数解由﹣2，﹣1，0，
∴该不等式组的最大整数解为0．---------6分
19．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
【解答】证明：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，-------2分
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）， -------5分
∴AE＝CF． -------6分
20．某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8．
根据数据绘制了表格和统计图：
换算为体考分数 成绩（米） 频数
10 x≥9.6 4
8 7.7≤x≤9.5 a
6 5.3≤x≤7.6 7
4 3.0≤x≤5.2 b
合计 20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　6　；b＝　3　； -
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是　108°　；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
【解答】解：（1）由题目中的数据可知，
a＝6，b＝3，
故答案为：6，3； ------2分
（2）由（1）知，a＝6，b＝3，
补全的条形统计图如右图所示； -------4分
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是360°108°，
故答案为：108°； -------6分
（4）400200（人），
即估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人． -------8分
21．我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高1.8m，无人机匀速飞行的速度是4m/s，当小华在B处时，测得无人机（C处）的仰角为37°；两秒后，小华沿正东方向小跑6m到达E处，此时测得迎面飞来的无人机（F处）的仰角为58°，CF平行于地面（直线l）．设点D与点F的水平距离为xm．
（1）请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：　1.6x　m；
（2）求点C离地面的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1）
【解答】解：（1）如图，连接AD，过点F作FM⊥AD交AD延长线于点M，
根据题意得：DM＝xm，∠FDM＝58°，
在Rt△FDM中，FM＝DM×tan∠FDM≈1.6xm，
即点D与点F的铅垂距离为1.6xm；
故答案为：1.6x；-------3分
（2）过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则MN＝CF＝2×4＝8m，CN＝FM＝1.6xm，
-------1分
根据题意得：AD＝6m，
∴AN＝AD+DM+FC＝6+x+8＝（x+14）（m），
在Rt△ACN中，，
∴，
解得：x≈12.35， -------2分
∴CH＝1.6x+1.8＝21.56≈21.6（m）．-------1分
即点C离地面的距离为21.6m．-------1分
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，DA＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴∠ABC＝∠EBC．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE．∵ED为O的切线，∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE； -------4分
（2）解：∵，∴设DC＝5a，则EC＝3a，∴DE＝8a．
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．
∵OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，
∴，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3； -------2分
∴AB＝6，DB＝8．
∵△DCO∽△DEB．
∴，
∴BE．-------2分
23．卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎．林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的2倍，用40元购进的卫龙辣条比用10元购进的普通辣条多10包．
（1）求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
（2）该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共800包，并分别按3.5元/包、2元/包的价格全部售出．若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大．
【解答】解：（1）设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，
∴，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是方程的解，
∴普通辣条的进价为1元，卫龙辣条的进价为2元． -------5分，没检验扣一分
（2）设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：（800-m）包，
∵普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，
∴800﹣m》3m，解得：m《200，-----1分
设购进的辣条全部出售后获得的总利润为y元，
∴y＝（3.5﹣2）m+1×（800﹣m），
＝1.5m+800﹣m，
＝0.5m+800，---------2分
∵0.5>0，∴y随m的增大而增大，∴当m＝200时，y最大， -------1分
答：购进卫龙辣条200包，普通辣条600包时，每个月的总获利最大． -------1分
24、【解答】解：（1）∵点A（a，）在直线上，
∴，解得a＝2，
则A（2，），
∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，
∴点B的坐标为（2，1）．
∵双曲线经过点B（2，1），
∴m＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为； -------------------------------------------3分
（2）①设，
∵，B（2，1），
∴，
解得t＝﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（2，1），C（﹣1，﹣2）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣1； -------------------------------------------6分
②或．-------------------------------------------10分
25．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是　①②　；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
【解答】（1）解：如图1，
故答案为：①②； -------4分
（2）解：发图片答案-------4分
（3）证明：如图4，
延长BE，交AC于F，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C，
∴∠AEF＝∠ADB，
∴△EAF∽△DAB，
∴，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BE＝EF，
∴DE∥AC．-------4分
26．如图（1），二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），直线l经过B，C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，求3AP+4DQ的最小值　8　（直接写出答案）．
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； -------4分
（2）如图：
由B（3，0），C（0，﹣3）得直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
设P（m，m﹣3），则M（m，m2﹣2m﹣3），N（2﹣m，m2﹣2m﹣3），
∴PM＝|m2﹣3m|，MN＝|2﹣2m|，
∵PM＝MN，
∴|m2﹣3m|＝|2﹣2m|，
解得m＝2或m＝﹣1或m或m；
∴点P的横坐标为2或﹣1或或； ------4分，一个坐标1分
（3）过Q作QG∥BC交x轴于G，作A关于QG的对称点A'，连接A'Q，A'A，A'D，A'G，如图：
∵C（0，﹣3），C，D关于x轴对称，∴D（0，3），在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵AQ＝3PQ，QG∥BC，
∴AG＝3BG，∴AG＝3，BG＝1，∴G（2，0），
∴AG＝3，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵A关于QG的对称点为A'，
∴AQ＝A'Q，
∴DQ+AQ＝DQ+A'Q≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（AP+DQ）＝4（AQ+DQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G＝3，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，﹣3），
∴A'D2，
又3AP+4DQ≥4A'D，
∴3AP+4DQ≥8，
∴3AP+4DQ的最小值为8．
故答案为：8．

2023年山东省济南市育英中学中考三模数学试题（含答案）