2023年湖南省永州市冷水滩区重点中学中考数学第一次适应性试卷（含解析）

2023年湖南省永州市冷水滩区重点中学中考数学第一次适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中：，，，，，，，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在科幻小说三体中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 下列图案中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8. 名学生进行秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表：
跳绳 次数
人数
则这次测试成绩的中位数满足( )
A. B. C. D.
9. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格六月底是元升，八月底是元升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点下列结论：；；线段的最小值为；当时，与半圆相切；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是其中正确的结论的序号为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 因式分解：______．
12. 已知是关于的方程的一个根，则 ．
13. 如图，在中，，是上任意一点，，，，则四边形的周长是______ ．
14. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，这个圆锥的高是 ．
15. 若无解，则的取值范围是______．
16. 如图，在中，，，，将绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点首次落在边上时即停止转动，则点经过的路径长为 ．
17. 我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房设有间客房，可列方程为：______ ．
18. 如图，长方形的各边分别平行于轴与轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位长度秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位长度秒的速度匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
解方程：．
21. 本小题分
如图，在菱形中，过作于，求证：．
22. 本小题分
某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为：篮球，：足球，：乒乓球，：羽毛球，：跳绳为了解学生的报名情况，现随机抽取九年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
此次调查共抽取了多少名学生？
请将此条形统计图补充完整；
在此扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的大小为 ；
学生小明和小强各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
23. 本小题分
春节期间，小明和小华同学来到某大型游乐场，他们发现有一个圆形摩天轮，如图中所示，他们想通过自己所学的数学知识测量摩天轮最高点距离地面的高度他们设计的测量方案如下：首先测量出摩天轮底部离地面的高度为米，其次在摩天轮所在平面内的地面上选两个测量点，，在处测得摩天轮中心点的仰角为，在处，测得摩天轮中心点的仰角为：最后测得两个测量点间的距离为米以上各点均在同一平面内，，，三点共线请根据以上数据，帮助他们计算出摩天轮的最高到地面的高度是多少米？结果保留根号
24. 本小题分
为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动并计划购买、两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元．
每件、奖品的价格各是多少元？
根据需要，该学校准备购买、两种奖品共件，设购买件种奖品，所需总费用为元，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
在的条件下，若要求购买的种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，求所需总费用的最小值．
25. 本小题分
如图，与相切于点，过点作于点，交于点，连接交直径的延长线于点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
26. 本小题分
如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．
求该抛物线的解析式；
抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：下列各数中：，，，，，，，
无理数有，，共个，
故选：．
根据无理数的定义：无理数即为无限不循环小数．
本题考查了无理数的定义，初中阶段常见的无理数主要有一下三种形式：开方开不尽的数；含有的数；这样有规律但是不循环的数．
2.【答案】
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：．
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图可得答案．
本题考查了简单几何组体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
先将原式改写为，再根据积的乘方的逆运算得，最后根据平方差公式，即可求解．
本题考查二次方根的乘法，积的乘方的逆运算、平方差公式、有理数的乘方，正确求解是解答的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：．
根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了中位数的确定，解题的关键是根据人数的奇偶性确定中位数的位置，进而确定其中位数．
首先确定人数的奇偶性，然后确定中位数的位置，最后确定中位数的范围．
【解答】
解：一共有名学生参加测试，
中位数应该是第名和第名成绩的平均数，
第名和第名的成绩均在，
这次测试成绩的中位数满足，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：依题意得，
故选：．
利用该地号汽油八月底的价格该地号汽油六月底的价格该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，
点与点关于对称，
，
，
，
，
，，
，
只有当时，，故错误；
，
，
故正确；
当时，
是半圆的直径，
，
，，
，，，
，，
，
根据“垂线段最短”可得：点在线段上运动时，的最小值为，
，
，
线段的最小值为，故正确；
当时，如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
点与点关于对称，
，
，
，
，
经过半径的外端，且，
与半圆相切，故正确；
点与点关于对称，点与点关于对称，
当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称，
扫过的图形就是图中三角形的面积与三角形的和，
阴影部分的面积，故错误．
正确的结论的序号为，
故选：．
由对称证明出，得到只有当时，；由点与点关于对称可得，再根据即可证到；根据“垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值；连接，易证是等边三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”可求出，进而可求出，从而得到与半圆相切；首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积．
本题属于圆的综合题，考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度，第五个问题解题的关键是通过特殊点探究的运动轨迹．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：是关于的方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
同理，
四边形的周长为：，
故答案为：．
求出，求出，，代入得出四边形的周长等于，代入求出即可
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出，．
14.【答案】
【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径为，
所以这个圆锥的高为．
故答案为：．
设这个圆锥的底面圆的半径为，利用这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算这个圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
且不等式组无解，
，
故答案为：．
解第一个不等式得出其解集，再根据大大小小找不到即可确定的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
弧长，
故答案为：．
首先根据解直角三角形计算出长，再根据等边三角形的判定和性质计算出，进而可得，然后再根据弧长公式可得答案．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
17.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故答案为：．
根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
18.【答案】
【解析】解：矩形的边长为和，因为物体乙是物体甲的速度的倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为：，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在点相遇；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
，
故两个物体运动后的第次相遇地点的是：第次相遇地点，
即物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
此时相遇点的坐标为：．
故答案为：．
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，物体乙是物体甲的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：方程两边同乘以得：
．
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
．
检验：当时，，
是原方程的根．
．
【解析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
本题主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤解答是解题的关键．
21.【答案】证明：菱形，
，，
，，
，
在与中
，
≌，
．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
22.【答案】
【解析】解：名，
所以此次调查共抽取了名学生；
项目的人数为：名，
条形统计图补充为：
在此扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角为：；
故答案为：；
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中相同项目的结果数为，
所以他俩选择相同项目的概率．
用项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出项目的人数，然后补全条形统计图；
用乘以项目人数所占的百分比得到项目所对应的扇形圆心角的大小；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
23.【答案】解：设米，米，
米，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
米，
摩天轮的最高点到地面的高度是米．
【解析】设米，在中，，在中，，根据含特殊角的直角三角形，勾股定理即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角以及含特殊角的直角三角形的实际运用，理解并掌握勾股定理解直角三角形是解题的关键．
24.【答案】解：设每件奖品的价格各是元，每奖品的价格各是元，
根据题意得：，
解得，
答：每件奖品的价格是元，每件奖品的价格是元；
根据题意得：，
与的函数关系式为；
购买的种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，
，
解得，
在中，，
随的增大而减小，
时，最小，最小值为元，
答：所需总费用的最小值是元．
【解析】设每件种奖品的价格各是元，每件种奖品的价格各是元，得出方程组，解方程组即可解得答案；
根据甲的费用乙的费用总费用，列出函数关系式即可；
由购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的倍，可得，根据一次函数性质即可答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
25.【答案】证明：与相切于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又是的半径，
是的切线；
解：的半径为，
，
，
，
，，
由得：，
，
，
∽，
，
即，
解得：．
【解析】由切线的性质得，再证≌，得，即可得出结论；
先由勾股定理得，再证∽，得，即可求解．
本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
26.【答案】解：把，，三点代入抛物线解析式得：
，解得：，
该抛物线的解析式为；
存在，理由：
由，
则顶点，对称轴为直线，
，
，，
，，
直线解析式为，
点，
如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
联立并整理得：，
解得：，
则点的坐标为或；
对于直线，设交轴于点，
令，
解得：，即点，
则，
取点使，过点作的平行线，如上图，则点，
则直线的表达式为：，
联立和得：，
则，无解，
故在点的右侧不存在点，
综上，点的坐标为或；
，，
，
，
若点在直线的上方时，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
点，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
点的坐标为；
若点在直线的下方时，
由对称性可得：点，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为：或
【解析】把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标；
分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键．
第1页，共1页

2023年湖南省永州市冷水滩区重点中学中考数学第一次适应性试卷（含解析）