2023年广西河池市宜州区部分校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年广西河池市宜州区部分校联考中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 芯粒技术是将多个芯片拼接在一起的技术，据报道：我国的国产芯粒技术水平已突破到，已知，则用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
4. 今年我市有万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，教育部门抽取了名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A. 名考生是总体的一个样本
B. 每个考生是个体
C. 这万名学生的数学中考成绩的全体是总体
D. 样本容量是名学生
5. 如图，梯子的各条横档互相平行，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线直线与相交于点，连接，若，则的长是( )
A. B. C. D.
8. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 九章算术中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走步时，走路慢的人只走了步，走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，在被追赶的这段时间中，走路慢的人走了步，则可列方程组为( )
A. B. C.
10. 如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，内切于等边的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线，交于点，点，恰好都在反比例函数的图象上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是 ．
14. 分解因式：______．
15. 如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则 ______ ．
16. 小明参加“喜迎二十大，逐梦正青春”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是分、分，分，若将三项得分依次按、、的权重确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分
17. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从处沿水平方向飞行至处需同时在地面处分别测得处的仰角为，处的仰角为，则这架无人机的飞行高度大约是______ ，结果保留整数．
18. 如图，中，，，，为内心，过点的直线分别与、边相交于点、若，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
解不等式组：，并利用如图所示的数轴表示不等式组的解集．
21. 本小题分
如图，的顶点坐标分别为、、．
作出与关于轴对称的，并写出、、的坐标；
以原点为位似中心，在原点的另一侧画出，使．
22. 本小题分
为了加强心理健康教育，某校组织七年级两班学生进行了心理健康常识测试分数为整数，满分为分，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
求班学生中测试成绩为分的人数；
请确定下表中，，的值只要求写出求的计算过程；
统计量 平均数 众数 中位数 方差
班
班
从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
23. 本小题分
综合与实践
【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由．
【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．
24. 本小题分
某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均实行九折优惠，求该校本次购买最少花费多少钱．
25. 本小题分
已知的直径，弦与弦交于点，，垂足为点．
如图，如果，求弦的长；
如图，如果为弦的中点，求的值；
连接，，，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求
的面积．
26. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，．
求，的值和直线对应的函数表达式；
为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
为抛物线上一点，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】
【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示是
故选：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
4.【答案】
【解析】解：名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项不合题意；
B.每个考生的数学成绩是个体，此选项不合题意；
C.这万名学生的数学中考成绩的全体是总体，此选项符合题意；
D.样本容量是，此选项不合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5.【答案】
【解析】解：如图，
梯子的各条横档互相平行，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由邻补角的定义即可求解．
本题主要考查了平行线的性质，此题要求学生掌握平行线的性质以及邻补角的定义．
6.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
解得，
故选：．
根据一元二次方程有实数根，可得，进一步解不等式即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由已知可得，
是线段的垂直平分线，
设与的交点为，
，垂直平分，
，，
，
∽，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
故选：．
根据题意可知：是线段的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、同底数幂的除法运算、二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走步和走路慢的人走步用的时间相等，即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
10.【答案】
【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积．
故选：．
根据折叠性质得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：作于点，作于点，和交于点，如图所示，
设，则，
，
，
，
圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：，
故选：．
根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与的面积之比．
本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】
【解析】解：设，，
点为菱形对角线的交点，
，，，
，
把的坐标代入得，
，
四边形为菱形，
，
，解得，
，
在中，，
．
故选：．
解法二：如图，过点作于，过点作于设．
四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
设，，利用菱形的性质得到点为的中点，则，把代入代入得，利用得到，解得，所以，根据正切定义得到，从而得到．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形等，正确表示出点的坐标是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
14.【答案】
【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
切于点，
直径，
，
．
故答案为：．
由，，由三角形外角的性质得到，由切线的性质即可求出的度数．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得：
分，
即明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作于，过点作垂直于过点的水平线，垂足为，如图，
根据题意得，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
答：这架无人机的飞行高度大约是．
故答案为．
过点作于，过点作垂直于过点的水平线，垂足为，如图，利用仰角定义得到，，利用速度公式计算出，先计算出，再利用正切的定义计算出，由于，则，然后在中利用得到，最后进行近似计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
18.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的内心，理解三角形内心的概念，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
连接，，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当时，，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．
【解答】
解：如图，过点的直线分别与、边相交于点、，连接，，
为的内心，
平分，平分，
，，
当时，则，
，
，
，
，
，
则，
设，，
在中，，
，即，解得，
，
过点作，作，
点为的内心，
，
在和中，
≌，
，，
，
在和中，
，
∽，
，
，解得：，
，
故答案为：或．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先计算乘方和除法、绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：如图所示：
，，；
根据、、，
以原点为位似中心，在原点的另一侧画出，使，
则，，；在坐标系中找出各点，画出图形即可，
结果如图所示．
【解析】根据坐标系找出点、、关于轴对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点、、的坐标即可；
利用在原点的另一侧画出，使，原三角形的各顶点坐标都乘以，得出对应点的坐标即可得出图形．
本题考查了利用轴对称变换作图以及作位似图形，利用坐标系准确找出对应点的位置是解题的关键．
22.【答案】解：由题意知，班和班人数相等，为：人，
班学生中测试成绩为分的人数为：人，
答：班学生中测试成绩为分的人数是人；
由题意知，；
；；
答：，，的值分别为，，；
根据方差越小，数据分布越均匀可知班成绩更均匀．
【解析】根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
根据中数据分别计算，，的值即可；
根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
23.【答案】解：【猜想证明】四边形是矩形，理由如下：
如图，点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
【问题解决】过点作于，如图：
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【解析】【猜想证明】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
【问题解决】由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
答：本次购买最少花费元．
【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费元．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
25.【答案】解：，
，，
又，
，即，
，
，
，
，
，
，
则；
如图，连接，
为直径，，
，
，
，
、，
≌，
、，
又，
是的中位线，
设，则，
，
，
解得：，
则、，
，
，
，
则；
如图，
是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，
、，
则，
解得：或，舍去．
、，
，
，
，
则，
．
【解析】由知，得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案；
连接，设，证为中位线及≌得，由可得，即可知，继而求得，由正切函数定义可得答案；
先求出、、所对圆心角度数，从而求得、，从而根据三角形面积公式计算可得．
本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．
26.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，得，
，
设直线的函数表达式为，
则，
解得，
直线的函数表达式为；则，
解得，
直线的函数表达式为；
设，过点作轴交于点，则，
当点在下方时，如图，则，
，
，
，
解得：，，
当时，，
当时，，
或；
当点在上方时，如图，则，
，
，
，
解得：，，
或；
综上所述，点的坐标为或或或；
令，得，
解得：，，
，
，
，
，
如图，在轴上取点，在轴下方过点作轴，使，连接，，设交抛物线于点，
则，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
由，
解得：舍去，，

【解析】运用待定系数法将点代入抛物线，即可求得的值，得出抛物线解析式可求得点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
设，过点作轴交于点，则，当点在下方时，如图，则，由，列方程，即可求得的坐标，当点在上方时，如图，则，由，解方程即可求得或；
如图，在轴上取点，在轴下方过点作轴，使，连接，，设交抛物线于点，可证明≌，进而证明，得出，即，运用待定系数法求得直线的解析式为，与抛物线解析式联立即可求得点的坐标；
本题属于二次函数综合题，主要考查三角形的面积问题，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础．
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2023年广西河池市宜州区部分校联考中考数学一模试卷（含解析）