2023年陕西省咸阳市秦都区中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省咸阳市秦都区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 计算：( )
A. B. C. D.
4. 将三角尺按照如图所示的方式摆放，若直线，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在中，，是的中点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7. 如图，为的直径，弦于点，于点，，则为( )
A.
B.
C.
D.
8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：
关于此函数下列说法不正确的是( )
A. 函数图象开口向下
B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，
D. 若在函数图象上有两点，，则
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 因式分解： ______ ．
10. 如图，数轴上的、两点所表示的数分别为、，则
填“”，“”，“”
11. 如图，以为支点，木棍所受的重力为根据杠杆原理，在处需一竖直向上的拉力才能保持木棍不动，若向上的拉力与重力大小之比为：，，则的长为______ ．
12. 若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则的值为______ ．
13. 如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
计算：．
15. 本小题分
解不等式组：．
16. 本小题分
化简：．
17. 本小题分
如图所示，请在的平分线所在直线上找一点，使尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
18. 本小题分
如图，在中，高与高相交于点，，，．
求证：≌．
求的长．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到．
直接写出点的坐标______ ．
请作出平移后的．
20. 本小题分
某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作现制作背面完全相同的张卡片，正面分别写有九章算术周髀算经五经算术数術记遗，将张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．
第一学习小组抽到五经算术的概率是______ ．
若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是九章算术和周髀算经的概率．
21. 本小题分
如图，在学校操场上有一棵与地面垂直的树，小明两次测量，第一次在点处测得大树的顶部的仰角为，第二次在点在同一直线上处测得大树的顶部的仰角为两次测量的地点，相距，求树的高度参考数据：，结果精确到
22. 本小题分
清明假期，甲、乙两人沿相同的路线前往距离他们居住小区的某景点游玩，乙比甲晚分钟出发，图中和分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程千米随时间分钟变化的函数图象，根据图象回答下列问题：
求直线和的函数表达式．
甲、乙相遇时，乙走了多少千米？
23. 本小题分
某校进行消防安全知识测试，测试成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，得到了如下信息：
此次测试中被抽查学生的平均成绩为______ ．
被抽查学生成绩的中位数是多少分？
学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“优秀安全消防员”称号根据上面的统计结果，估计该校名学生中约有多少人将获得“优秀安全消防员”称号．
24. 本小题分
如图，是的直径，半径为，交于点，且是的中点，于点，连接．
求证：是的切线．
若，求的长．
25. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，顶点为，直线经过点，且与抛物线交于点．
求抛物线的函数表达式；
若为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，是否存在以，，为顶点的，使得∽？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26. 本小题分
【问题提出】
如图，在中，，，，为边上的高，则的长为______ ．
如图，在四边形中，，且，，分别是，的中点，连接，，，，与相交于点，与相交于点，若，求的长．
【问题解决】
如图，四边形是园林局欲修建的一块菱形园地的大致示意图，沿对角线，各修一条人行走道，，是上的一点，点，在上，，根据规划要求，建造一个四边形的特殊花卉种植区，求该种植区四边形的最大面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：原图不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.原图是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.原图是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.原图是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念依次分析求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算．
本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，
直线，，
，
．
故选：．
利用平行线的性质求出的度数，再利用补角的定义求出的度数．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
5.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，
是的中点，
，
故选：．
根据，先求出，又是的中点，即可得结果．
本题考查了解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
，
当时，的最小值为．
故选：．
根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质求出的最小值即可．
本题主要考查一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
先根据，，得，根据四边形内角和得，再根据圆周角定理得．
本题考查圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：由表中数据可知，随先增大后减小，
函数图象开口向下，
故A正确，不符合题意，
，；，，
对称轴为直线，
开口向下，
当时，该函数有最大值，
故B正确，不符合题意，
对称轴为，时，，
时，，
故C正确，不符合题意，
在函数图象上有两点，，
当，都在对称轴左侧时，，
当，都在对称轴右侧时，，
当在左侧，在右侧时，，
当在右侧，在左侧时，，
故D不正确，符合题意，
故选：．
先由表中数据可知，随先增大后减小，得到函数图象开口向下，利用时，或，得到对称轴，再结合开口方向得到增减性，利用对称轴和增减性进行判断．
本题考查了二次函数的应用，根据图表反映的信息，结合二次函数的性质去判断即解题的关键．
9.【答案】．
【解析】解：
．
故答案为：．
先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：由各点在数轴上的位置可得：，，，
所以，
故答案为：．
根据数轴先判断出、的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．
本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法法则．
11.【答案】
【解析】解：根据杠杆平衡原理，可得，
，
向上的拉力与重力大小之比为：，，
，
，
，
故答案为：．
根据杠杆平衡原理，可得，代入数据即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，以及杠杆平衡原理，准确识图是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：把点代入，得，
，
把代入反比例函数，得，
．
故答案为：．
利用点在上求，进而代入反比例函数，即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得的坐标是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：作于，
设，
由题意得：，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
的面积．
故答案为：．
作于，设，由折叠的性质得到，由勾股定理列出关于的方程，求出的长，即可得到的长，从而求出的面积．
本题考查矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是由折叠的性质得到；由勾股定理求出的长．
14.【答案】解：原式
．
【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
15.【答案】解：由不等式得：，
由不等式得：，
不等式组的解集为．
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：原式
．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，
则点为所作．

【解析】作的垂直平分线交于点，则根据线段垂直平分线的性质得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
18.【答案】证明：于点，于点，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：，，，
，
≌，
，
的长是．
【解析】由，得，由，，得，则，所以，即可证明≌；
由，，，得，则．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明及是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由题意知点的坐标为，
故答案为：；
平移后的如图所示．
根据点的坐标的平移规律求解即可；
分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
20.【答案】
【解析】解：第一学习小组抽到五经算术的概率是：；
故答案为：；
九章算术周髀算经五经算术数術记遗张卡片分别用、、、表示，列表如下：
一共有种情况，其中这两组抽取的两张卡片正面写的是九章算术和周髀算经的有种情况，
这两组抽取的两张卡片正面写的是九章算术和周髀算经的概率是．
直接利用概率公式计算即可．
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：由题意得：，，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
树的高度约为．
【解析】根据题意可得：，，，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：设直线的函数表达式为，
由图象可知：直线经过点，
，
解得，，
直线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
由图象可知：直线经过点，，
，
解得，，
直线的函数表达式为．
当甲、乙相遇时，，
，
千米，
答：甲、乙相遇时，乙走了千米．
【解析】设直线的函数表达式为，把点代入，求出；设直线的函数表达式为，把，两点坐标代入，求出和即可得到解析式．
当甲、乙相遇时，，求出相遇时间，再求出路程即可．
本题考查了一次函数的实际应用，根据图象反映的信息，利用待定系数法求出解析式是解题的关键．
23.【答案】分
【解析】解：此次测试中被抽查学生的平均成绩为：分．
故答案为：分；
把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则被抽查学生成绩的中位数是．
根据题意得：
人，
答：估计该校名学生中约有人将获得“优秀安全消防员”称号．
根据平均数的计算公式列出算式即可得出答案；
根据中位数的定义直接进行求解即可；
用该校的总人数乘以获得“优秀安全消防员”称号的学生所占的百分比即可．
本题主要考查算术平均数，中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用．
24.【答案】证明：连接，如图，
是的中点，
，
，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：是的直径，
，
是的中点，
为的垂直平分线，
，
，
是的直径，半径为，
．
在中，．
，
．
【解析】连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25.【答案】解：顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
又抛物线过原点，
，解得，
抛物线解析式为，
即；
存在，理由：
联立抛物线和直线解析式可得：，
解得：，
，；
，
，同理可得：，，
，
轴于点，
，
∽，则，
，
即，
，
，
解得或，
此时点坐标为或．
【解析】由待定系数法即可求解；
证明，得到，即可求解．
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质等，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26.【答案】
【解析】解：在中，根据勾股定理，．
同一三角形面积的两个表达式必相等，可列方程：，解得：．
故答案为：．
，分别是，的中点，
，
，
．
，
∽，
，
．
．
，
；．
过作于．
，，
，
，
又，；
，；
，
∽．
，即：，
设，用表示四边形的面积，则：
；
当时，取得最大值：．
通过面积求高；
、为中点，推得平行，用两组相似三角形可求解；
菱形的形状确定，四边形有两个顶点运动，面积随顶点的变化面变化，可以有函数求最大值．
本题考查了直角三角形面积计算，相似三角形等知识，能将几何面积问题转化为函数问题是解决第三问的关键．
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2023年陕西省咸阳市秦都区中考数学二模试卷（含解析）