2023年河北省衡水市武邑县联盟校中考数学二模试卷（含解析）

2023年河北省衡水市武邑县联盟校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是( )
A. B. C. D.
2. 下列式子中，计算结果等于的是( )
A. B. C. D.
3. 若，则下列式子一定成立的是( )
A. B. C. D.
4. 定义一种新运算：例如：则的值为( )
A. B. C. D.
5. 如图，下列结论正确的是( )
A. 直线，相交于点
B.
C.
D. 直线不经过点
6. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
7. 如图，，与交于点，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
8. 据联合国世界人口展望报告称，年月目，地球人口步入“亿时代”若每人每天消耗食物，则亿人每天消耗的食物总量用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
9. 如图所示的正方体，它的展开图可能是下列四个选项中的( )
A. B.
C. D.
10. 设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图、、三种可能的设计：
其中合理的设计方案有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 如图，在四边形中，，，垂足为，．
求证：四边形是菱形．
证明：，，
是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形．
其中，“”表示的是( )
A. B.
C. ， D.
12. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个，先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则的值是( )
A. B. C. D.
13. 如图，是的角平分线，的交点，请用表示．
某同学的做法如下：
是的角平分线，的交点，
，，
．
又，
，
在中，．
下列说法正确的是( )
A. 该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理”
B. 该结论只适用于锐角三角形
C. 若把“是的角平分线，的交点”替换为“是的外心”，该结论不变
D. 若把“是的角平分线，的交点”替换为“是的内心”，该结论不变
14. 如图，是正六边形对角线上一点，延长，相交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
15. 已知，，，其中“”代表“、、、”中的一种运算符号，下列说法正确的是( )
A. 若“”代表的是“”，则
B. 若“”代表的是“”，则
C. 若“”代表的是“”，则
D. 若“”代表的是“”，则
16. 如图，点在外，连接，作的垂直平分线交于点；以点为圆心，长为半径作，交于点，，作直线，，直线交的延长线于点若，，有下列两个结论：是的切线；的半径长为对于这两个结论，说法正确的是( )
A. 对不对 B. 不对对 C. 均对 D. 均不对
二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）
17. 已知，则 ______ ．
18. 如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．
折痕是的______ ；填“角平分线”“中线”或“高”
若，则比的度数大______ ．
19. 如图直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，，过点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，．
若图中阴影部分的面积等于，则 ______ ；
若，且，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
已知，都是关于的多项式，且，．
求；
若，求的值．
21. 本小题分
某班把元奖学余按两种奖项奖给学生，一等奖每人元二等奖每人元．
如果获得二等奖的学生比一等奖的学生多人，那么获得一等奖、二等奖的学生分别有多少人？
如果获奖学生共人，奖学金增加到元，那么获得一等奖的学生不能超过多少人？
22. 本小题分
某工厂开展青工技能比赛，比赛结束后，统计参加比赛的青工完成合格零件的件数，并发现合格零件数只有件，件，件和件四种，把比赛结果绘制成不完整的扇形统计图图和条形统计图图，其中条形统计图被墨汁污染了一部分．
直接写出条形统计图中被墨汁污染的人数和“件”所在扇形的圆心角度数；
若研究条形统计图没被污染的部分，没被污染的部分合格零件的中位数与原来所有合格零件的中位数是否相同，并简要说明理由；
随后又有名青工参加了技能比赛，若已知他们完成合格零件都是件，将这些数据和之前的数据合并后，发现合格零件的众数没改变，求的最大值．
23. 本小题分
如图，在四边形中，，平分，，过点作于点．
求证：≌；
连接并延长交于点，若，，求的长．
24. 本小题分
某公司投资万元生产并销售甲、乙两种类型电器，投资甲电器万元，可获得万元的收益，在此基础上，投资每增加或减少万元，收益将增加或减少万元；投资乙电器获得的收益万元与投资金额万元成正比例，且比例系数为设投资甲电器万元，投资甲、乙两种电器共获得收益万元，且在生产过程中得到如下数据：
万元
万元
求与之间的函数关系式；
若投资甲电器的收益不低于投资乙电器收益的一半，求的最大值．
25. 本小题分
如图，在 中，，，．
连接，求的长；
若是边上一点，过点，，作．
当取最小值时，求的长；
若与交于点，当与 的某条边垂直时，请直接写出的长．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，点在抛物线上．
当时，求点的坐标；
抛物线上点，包含，两点之间的部分记作．
若与轴只有一个公共点，求的取值范围；
已知，，，，顺次连接，，，，若落在四边形内不包含边界的部分随着的增大，先增大再减小，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，
由图可知点在数轴上．
故选：．
根据数轴可知点在数轴上．
本题考查了数轴，正确掌握数轴的特点是关键．
2.【答案】
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：，
不等式两边同时减得，，
不等式两边同时除以得，．
故选：．
根据不等式的性质即可解答．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的法则进行运算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】
【解析】解：直线，相交于点，本选项说法不正确，不符合题意；
B.在中，，故，本选项说法不正确，不符合题意；
C.在中，，故，本选项说法正确，符合题意；
D.直线经过点，本选项说法不正确，不符合题意．
故选：．
根据三角形的三边关系，结合图形判断即可．
本题主要考查了点与直线的位置关系、三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边．
6.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
∽，
，
故选：．
证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，图形折叠后是，
故选：．
根据数学好三个字的相对位置得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：图通过平移可以得到长为，宽为的长方形，因此周长为，
图是长为，宽为的长方形，因此周长为，
图是直径为的圆形，因此周长为，
所以合理的设计方案有种，
故选：．
根据平移的性质以及长方形、圆周长的计算方法进行判断即可．
本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质以及圆、长方形周长的计算方法是正确解答的前提．
11.【答案】
【解析】证明：，，
是线段的垂直平分线，
，，
，
，
四边形是菱形．
故选：．
由和已知条件推知：四边形的四条边相等，继而证得四边形是菱形．
本题考查了菱形的判定，根据线段垂直平分线的性质推知，是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
由概率所求情况数与总情况数之比，可得方程，继而求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：该同学的做法中，两次利用三角形内角和定理，因此选项A不符合题意；
B.该结论适用于所有三角形，因此选项B不符合题意；
C.若把“是的角平分线，的交点”替换为“是的外心”，其结论变为，因此选项C不符合题意；
D.的内心就是三条内角平分线的交点，与原题相同，因此其结论不变，所以选项D符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及圆周角定理逐项进行判断即可．
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义以及圆周角定理，掌握三角形内角和是，角平分线的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．
14.【答案】
【解析】解：如图，正六边形的中心为，则点在上，由正六边形的性质可知，
，
，
，
故选：．
根据正六边形的性质得出即可．
本题考查正六边形和圆，三角形面积的计算，掌握正六边形的性质以及三角形、正六边形面积的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
：，
，故A是正确的；
：，
，故B是错误的；
：，
，故C是错误的；
：，
，故D是错误的；
故选：．
根据作差法及分式的运算求解．
本题考查了分式的加减法，掌握作差法及分式的运算法则是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
半径，
是的切线；
同理是的切线，
，
，
，
的直径小于，
的半径小于．
故正确，错误．
故选：．
由圆周角定理得到半径，即可证明是的切线；由勾股定理求出，即可判断的半径小于．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，关键是掌握切线的判定方法．
17.【答案】
【解析】解：
，
又，
原式．
故答案为：．
先提取公因式，得，再根据，整体代入即可得原式．
本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握整体思想是解题的关键．
18.【答案】高
【解析】解：沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．
，
折痕是的高，
故答案为：高；
沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕，
，
，
，
，
，
，
，
比的度数大，
故答案为：．
根据折叠的性质可得，是高线；
根据三角形外角的性质知，比大，再说明即可．
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：连接，
轴，
轴，
，
，
，
．
故答案为：．
设，交于点，
轴，且：：，
：：，
设点，
点，点的纵坐标为，
点，点都在反比例图象上，
，
点，
：：，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
：：：，
，
．
故答案为：．
连接，得，根据反比例函数的几何意义解答即可．
求出带你坐标，证出，再证明四边形为平行四边形，求出，利用：：：，再求出即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，平行四边形的性质及平行线分线段成比例的应用是解题关键．
20.【答案】解：，，
；
，
，
解得：，
当时，
，
的值为．
【解析】根据已知可得，然后把代入式子中，进行计算即可解答；
根据已知可得，从而可得：，然后把的值代入的结论进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，
由题意得：，
解得，，
答：获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人．
设获得一等奖的学生有人，则获得二等奖的学生有人，
由题意得：，
解得，
取整数，
取整数，
答：获得一等奖的学生不能超过人．
【解析】设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，列出方程组求解即可．
设获得一等奖的学生有人，则获得二等奖的学生有人，根据奖学金总数元，列出不等式求解即可．
本题考查了一元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，正确找出等量关系或不等关系是解题的关键．
22.【答案】解：由条形统计图和扇形统计图，可知：
合格零件数位件的人数有人，占比，
人，
条形统计图中被墨汁污染的人数为：人，
“件”所在扇形的圆心角度数为：，
故条形统计图中被墨汁污染的人数是人，“件”所在扇形的圆心角度数为；
不相同．
理由如下：由条形统计图可知：
没被污染的部分合格零件的中位数为：，
原来所有合格零件的中位数为：，
不相同．
原来合格零件的众数为件，
，
解得，
为正整数，
故的最大值为．
【解析】由合格零件数件占，可以求出总人数，将总人数减去没有合格件数为件，件，件的人数即可得合格件数为件的人数；
分别求出没被污染的部分合格零件的中位数与原来所有合格零件的中位数，再比较即可；
先确定原来众数青工人数，再根据合格零件的众数没改变，列不等式即可确定的最大值．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
在与中，
，
≌；
解：过点作，如图，
，
，
，
，，，≌，
，，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
是等腰三角形，
点是的中点，
，，
．
【解析】结合所给的条件，利用即可判定≌；
过点作，可得到，由可得，则有，再由角平分线的定义可得，即可求得，从而可求得是等腰三角形，则点是中点，有，，利用勾股定理即可求．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是求得．
24.【答案】解：根据题意得：与之间的函数关系式为，
由表中数据得：，
解得，
与之间的函数关系式为；
由题意得：，
解得，
，
当时，有最大值，最大值为万元，
的最大值为万元．
【解析】根据总利润两种电器利润之和列出函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式；
根据投资甲电器的收益不低于投资乙电器收益的一半求出的取值范围，再根据函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出出函数解析式．
25.【答案】解：过点作于点，如图，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
；
由可得，，，
，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
当时最小，此时点在上，如图，
，
的长为；
，
当时，如图，延长交于点，
，
，，
，
∽，
，
，
；
当时，如图，
由可知，则点在上，
又点在上，
点是对角线，的交点，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【解析】过点作于点，由平行四边形的性质得出，，求出，由勾股定理可得出答案；
当时最小，此时点在上，由弧长公式可得出答案；
分两种情况，当时或当时，由相似三角形的性质及勾股定理可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数；熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：当时，，
顶点的坐标为；
抛物线与轴相交于点，
，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
点在抛物线上，
，
，
若与轴只有一个公共点，抛物线的开口向下，
当时，则，，即部分均在轴上方，
抛物线上部分与轴无公共点；
当时，则，
解得：；
的取值范围是；
当时，如图，
落在四边形内不包含边界的部分随着的增大，先增大再减小，
，
解得：；
当时，如图，
落在四边形内不包含边界的部分随着的增大，先增大再减小，
，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
【解析】将代入，可得，即可得出顶点坐标；
先求出点、的坐标，分两种情况：当时，则，，抛物线上部分与轴无公共点；当时，列出不等式组求解即可；
根据题意画出图形，列出不等式组，即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，抛物线与坐标轴的交点，解不等式组等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
第1页，共1页

2023年河北省衡水市武邑县联盟校中考数学二模试卷（含解析）