2022-2023辽宁省沈阳市浑南区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知，下列不等式中，不成立的是( )
A. B. C. D.
3. 利用数轴确定不等式组的解集，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列等式从左到右的变形，其中属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5. 对于算式，下列说法错误的是( )
A. 能被整除 B. 能被整除 C. 能被整除 D. 能被整除
6. 如图，在中，：：：：，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
7. 在正方形网格中，的位置如图，到两边距离相等的点应是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
8. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧相交于点和点，直线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点下列结论：
；
；
当时，则有；
关于的方程的解是：；
．
其中正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 的解集是______．
12. 因式分解： ______ ．
13. 合肥政务银泰百货出售某种小家电商品，标价为元，比进价高出，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于利润率，则这种小家电最多可降价______ 元
14. 如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，与交于点若，，则______
15. 如图，已知一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______．
16. 如图，点坐标为，为轴负半轴上一个动点，以为直角顶点，为腰作等腰按逆时针排列，若点在第四象限，过作轴于点，则的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 利用因式分解计算：
；
．
四、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. 本小题分
按要求画图及填空：在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上．
图中线段的长度为______ ；
将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，画出；
将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标．
20. 本小题分
如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
求证：；
若，求的长．
21. 本小题分
先阅读，再完成练习
一般地，数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作．
当时，表示到原点距离小于的数，从如图所示的数轴上看：大于而小于的数，它们到原点距离小于，所以的解集是；
当时，表示到原点距离大于的数，从如图所示的数轴上看：小于的数或大于的数，它们到原点距离大于，所以的解集是或．
解答下面的问题：
不等式的解集为______，不等式的解集为______．
不等式的解集为______不等式的解集为______．
解不等式．
解不等式．
22. 本小题分
为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买论语和弟子规两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表：
论语数量本 弟子规数量本 总费用元
论语和弟子规每本的价格分别是多少元？
若学校计划购买论语和弟子规两种图书共本，弟子规的数量不超过论语数量的倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点分别是轴，轴正半轴上的点，且，是等边三角形，且点在第二象限，为平分线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．
求证：≌；
若点坐标为；
当的值最小时，请直接写出点的坐标；
当的值最小时，求出点的坐标，并说明理由．
24. 本小题分
通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
思路梳理
，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证≌ ______ ，得．
类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，．
如图，当点落在边上时，求点的坐标；
如图，当点落在线段上时，与交于点．
求证：≌；
求点的坐标；
记为线段的中点，为的面积，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】A.，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项不符合题意；
D.当，时，，但是此时，故本选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：不等式组的解集为，
可以取，故处是实心点且往左，不可以取，故处是空心且往右，
原不等式组无解，
即在数轴上没有公共部分，故B、、D错误，
故选：．
根据不等式组的解集在数轴上表示出即可判断出正确答案．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解数轴上空心点，实心点的含义是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，等式两边不相等，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.
，分解不彻底，即等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】
【解析】解：
能被、、整除，不能被整除．
故选：．
根据因式分解的提公因式法即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是提公因式法分解因式．
6.【答案】
【解析】解：因为：：：：，
设为，为，为，
可得：，
解得：，
所以，，，
，
，
故选：．
计算出各角的度数，再根据直角三角形中度所对的边是斜边的一半求解即可．
此题考查含度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
7.【答案】
【解析】解：当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
根据图形可知点符合．
故选D．
根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
先利用勾股定理求出，再根据作图方法可知是线段的垂直平分线，则，最后根据三角形周长公式进行求解即可．
本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，证明的周长是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由平移的性质可知：，，
的周长为，
，
，
四边形的周长，
故选：．
根据平移的性质得到，，根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算即可．
本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等．
10.【答案】
【解析】解：正比例函数随增大而增大，
，错误，
直线中随增大而减小，
，正确．
，错误．
直线与轴交点在轴上方，
，正确．
由图象可得当时直线在直线上方，
时，，正确．
两直线交点横坐标为，
时，，
的解是，正确．
正确，
故选：．
由正比例函数的性质可判断经过原点的直线为，另一条直线为，由时随增大而增大，时随增大而减小可判断，由直线与轴交点位置可判断，由两直线交点横坐标为可得是的解，从而判断由时两条直线的位置可判断．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系，掌握一次函数图象与系数的关系．
11.【答案】
【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
故答案为：．
先移项，再合并同类项，化系数为即可求出的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：设可降价元，
根据题意得：，
解得：，
这种小家电最多可降价元，
故答案．
设可降价元，根据利润率结合售后利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：将绕点旋转到的位置，
，
，
，
将绕点旋转到的位置，
，
，
．
将绕点旋转到的位置，
，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由旋转的性质得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过点，
当时，，
所以，关于的不等式的解集为，
故答案为：．
一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作于，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
的坐标是，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案为：．
作于，由可以证明≌，得到，由四边形是矩形，得到，即可求出的值．
本题考查等腰直角三角形，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
17.【答案】解：原式；
原式．
【解析】利用提取公因式法进行计算．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解提取公因式法的特点．
18.【答案】解：
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为；
在数轴上表示为：
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别．
19.【答案】
【解析】解：如图，；
故答案为：；
如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为，点的坐标为．
利用勾股定理计算的长；
利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】证明：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
解：≌，
，
在中，，
，，
，
．

【解析】先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
21.【答案】 ；或 ．
；或 ．
解：，
，
．
解：，
或，
或．
【解析】
【分析】
此题考查解一元一次不等式，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
根据题意即可得；
根据题意可得；
将看做整体得，解之即可；
将看做整体得或，解之即可；
【解答】
解：，
，
或 ．
故答案为 ，或 ．
，
，
或 ．
故答案为 ，或 ．
见答案．
22.【答案】解：设每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元．
设购买论语本，则购买弟子规本，
依题意得：，
解得：．
设学校购买论语和弟子规的总费用为元，则．
，
随的增大而增大，
又且为正整数，
当时，取得最小值，最小值，此时．
答：当购买论语本，弟子规本时，总费用最少，最少总费用为元．
【解析】设每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元，利用总费用单价数量，结合表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买论语本，则购买弟子规本，根据购买弟子规的数量不超过论语数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校购买论语和弟子规的总费用为元，利用总费用单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23.【答案】证明：平分，
，
由旋转的意义可知：，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌．
解：点的坐标为，理由如下：
点为平分线上的动点，
当为最小时，点、、在同一条直线上，
当点、、在同一条直线上时，
点的坐标为，，
，
平分，
点为为的中点，
点的坐标为．
解：点的坐标为，理由如下：
连接，过点作轴于点，作线段的垂直平分线交轴于点，
则，
由可知：≌，
，
由转转的性质可知：，，
为等边三角形，
，
，
当的值最小时，就是的值为最小，
当的值为最小时，点，，，在同一条直线上，
，
平分，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
即：，
解得：，
点的坐标为．
【解析】先根据旋转的性质得，，进而可求得，再结合，依据“”即可判定和全等；
首先确定当为最小时，点、、在同一条直线上，此时由，平分即可得出点为为的中点，进而可求出点的坐标；
连接，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，由可知：，由转转的性质得出为等边三角形，进而得，因此当的值最小时，就是的值最小，此时点，，，在同一条直线上，可由，，求出，据此得，设，则，，，再根据即可求出的值，从而可求得点的坐标．
此题主要考查了图形的旋转变换和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段的性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解两点之间线段最短．
24.【答案】
【解析】解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
≌，
，
即：．
故答案为：，；
时，，理由如下：
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
≌，
，
即：．
故答案为：；
猜想：．
理由：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，
≌，
，，
，，
在中，，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
；
点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
当点在边上时，如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，再证明≌进而得到，即可得；
时，，与的证法类同；
根据绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知≌得到，，，，根据中的，得到，所以，证≌，利用得到；
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，当点在边上时，过点作于点，过点作于点，利用三角函数求出，，，再证明∽，运用相似三角形性质即可求出，再由可求得；当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，与同理可求得，再由求出即可．
本题为四边形的综合题，综合性强，难度较大．主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角函数定义以及勾股定理的应用等知识．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定和性质，合理添加辅助线并灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：如图中，
，，
，，
四边形是矩形，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
，
．
证明：如图中，
由四边形是矩形，得到，
点在线段上，
，
由Ⅰ可知，，又，，
≌．
解：如图中，由≌，得到，
又在矩形中，，
，
，
，设，则，
在中，，
，
，
，
．
解：如图中，当点在线段上时，的面积最小，最小值，
当点在的延长线上时，的面积最大，最大面积．
综上所述，．
【解析】如图，在中求出即可解决问题；
根据证明即可；
，设，则，在中，根据，构建方程求出即可解决问题；
如图中，当点在线段上时，的面积最小，当点在的延长线上时，的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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