2023年浙江省温州市三校联盟中考二模数学试题（原卷版+解析版）

2023年浙江省温州市三校联盟中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1. 计算的结果是（ ）
A. －6 B. 6 C. －10 D. 10
2. 某电影平台数据显示，年月日至月日，内地春节档电影总票房约为元，将“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 一个不透明的袋子里装有6个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 在某公益活动中，小明对本年级50名同学的捐款情况进行了统计，因缺失部分数据，得到了不完整的统计图，则本次捐款20元的人数为（ ）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图1，点是半圆上一个动点，点从点开始向终点运动的整个过程中，的弧长与时间（秒）的函数关系如图2所示，则点运动至秒时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为时，柜门打开的距离的长度为( )
A. B. C. D.
9. 已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，正方形与正方形边长相等，且三点共线，以为顶点构造菱形，且三点共线，设两块阴影部分的面积分别为和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：______________．
12. 不等式组的解集是________．
13. 一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________．
14. 如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点，已知半径为3，，则弦的长为 　　．
15. 如图，在中，，直角边在轴上，，点是的中点，点，在反比例函数，连接，已知，则的值为________．
16. 长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身，，壶嘴，且，，，则________，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，，则此时出水口F到桌面的距离为________cm．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. (1)计算：；
(2)化简：．
18. 如图在的方格纸中，点均在格点上，请按要求画出相应格点图形．
（1）在图1中画出关于点成中心对称的格点三角形（点的对应点分别为 ）．
（2）在图2中画出，使得．
19. 在中，，是的中点，连接并延长至点，使得，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
20. 为适应体育中考新标准，某校随机抽取了10名女生和10名男生跳绳成绩，并依据中考标准分数表进行整理，得到了如下统计表：
表1：
分值（分） 5 6 7 8 9 10
男生（人） 1 0 1 1 3 4
女生（人） 0 1 0 2 2 5
表2：
数据 平均数 中位数 众数 方差
男生成绩（分） 87 9 b 241
女生成绩（分） 9 a 10 c
（1）上述表格中，　　，　　，　　；
（2）该校应届毕业生中有330名男生，270名女生选择跳绳作为体育中考项目，请估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数；
（3）结合表1和表2中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
21. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
（1）求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
（2）记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
22. 如图，中，，点分别为的中点，延长至，使，连结，其中与相交于．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）已知，求的长．
23. 某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示：
套餐 套餐 套餐
每月基本流量服务费（元）
包月流量（）
超出后每收费（元）
（1）当时，求套餐费用的函数表达式．
（2）当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算．
（3）小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量
消耗流量
24. 小明在探究三角形与圆的位置变化关系时，发现图形随着圆的位置变化存在一些特殊的关系．探究过程如下：如图，已知在等腰中，，已知，，点是边上一点，以为半径作，发现：始终与边，边相交，与边的交点记为点．连接，作点关于直线的对称点，连接CC．小明按照以下步骤进行探究：
（1）直接写出的长： ．
（2）设，．
①求y关于x的函数表达式．
②当 时，求的值．
（3）点在边上移动，当是以为腰等腰三角形时，求的长．2023年浙江省温州市三校联盟中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1. 计算的结果是（ ）
A. －6 B. 6 C. －10 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据2-8=2+(-8)= -(8-2)=-6，计算选择即可．
【详解】∵2-8=2+(-8)= -(8-2)=-6，
故选A．
【点睛】本题考查了有理数减法的运算法则，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数，是解题的关键．
2. 某电影平台数据显示，年月日至月日，内地春节档电影总票房约为元，将“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法是一种记数的方法：把一个数表示成与的次幂相乘的形式，()即可解答．
【详解】解：∵，
故选．
【点睛】本题考查了科学记数法是一种记数的方法：把一个数表示成与的次幂相乘的形式，()，确定和的值是解题的关键．
3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据立体图形的主视图是从正面看物体得到的平面图形即可解答．
【详解】解：∵立体几何的主视图一个圆和一个平行四边形，
故选．
【点睛】本题考查了立体图形的主视图是从正面看物体得到的平面图形，熟记主视图的定义是解题的关键．
4. 一个不透明的袋子里装有6个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从袋中任意摸出一个球共有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球共有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
5. 在某公益活动中，小明对本年级50名同学的捐款情况进行了统计，因缺失部分数据，得到了不完整的统计图，则本次捐款20元的人数为（ ）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据各组频数之和为样本容量进行计算即可．
【详解】解：本次捐款20元的人数为：（人，
故选：D．
【点睛】本题考查条形统计图，理解各组频数之和等于样本容量是解决问题的关键．
6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据用快马送，所需的时间比规定时间少3天可列方程．
【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，
由题意得，
故选：A
【点睛】此题考查了列分式方程解决实际问题，读懂题意是解题的关键．
7. 如图1，点是半圆上一个动点，点从点开始向终点运动的整个过程中，的弧长与时间（秒）的函数关系如图2所示，则点运动至秒时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像可知半圆的周长为进而得到半圆的半径为，再根据题意得到弧长与时间（秒）的函数关系式及弧长公式即可解答．
【详解】解：设半圆半径为，，
根据图像可知半圆的周长为，
∴，
∴，
设弧长与时间（秒）的函数关系式：,
∵图像经过，
∴，
∴弧长与时间（秒）的函数关系式为,
∴当秒时，,
∴根据弧长公式可知：,
∴,
故选．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形关系，弧长公式，一次函数图像与性质，掌握一次函数与几何图形关系是解题的关键．
8. 如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为时，柜门打开的距离的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9. 已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案．
【详解】解：函数中，
抛物线开口方向向下，对称轴直线为，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，，取到最大值，
，即，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键．
10. 如图，正方形与正方形边长相等，且三点共线，以为顶点构造菱形，且三点共线，设两块阴影部分的面积分别为和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得到，再根据相似三角形的判定与性质得到即可解答．
【详解】解：如图所示连接作，与于点，
∵正方形ABCD与正方形DEFG边长相等，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为，然后提取公因式即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，正确找出公因式是解题的关键．
12. 不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可解答．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：；
∴原不等式组的解集为；
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的步骤，熟练解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
13. 一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】扇形的弧长为=
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点，已知半径为3，，则弦的长为 　　．
【答案】
【解析】
【分析】作于，连接，，由切线的性质，垂直的定义，推出四边形是矩形，得到，由勾股定理求出的长，由垂径定理即可求出的长．
【详解】解：作于，连接，，
，
切圆于，
半径，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理求出的长．
15. 如图，在中，，直角边在轴上，，点是的中点，点，在反比例函数，连接，已知，则的值为________．
【答案】18
【解析】
【分析】连接，作于，由点是的中点可知，由，求得，由，求得，则，得到，由，得出，即可证得，设，则，，把的坐标代入，即可求得的值．
【详解】解：连接，作于，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，，
∴，，
点，反比例函数上，
，
解得，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确表示出、的坐标是解题的关键．
16. 长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身，，壶嘴，且，，，则________，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，，则此时出水口F到桌面的距离为________cm．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过点D作，交于点G，过点A作，利用勾股定理求出即可得出，再由当，过D点作，垂足为，过点作，垂足为，构造，，解三角形即可。
【详解】解：如图，过点D作，交于点G，过点A作，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∴，
∴，
解得：（负值已舍去）
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
当，过D点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即则此时出水口F到桌面的距离为．
故答案为①，②．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. (1)计算：；
(2)化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据化简绝对值，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，以及有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）完全平方公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，以及有理数的混合运算，完全平方公式以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
18. 如图在的方格纸中，点均在格点上，请按要求画出相应格点图形．
（1）在图1中画出关于点成中心对称的格点三角形（点的对应点分别为 ）．
（2）在图2中画出，使得．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称图形的性质即可解答；
（2）根据网格三角形的面积可得到即可解答．
【小问1详解】
解：延长到使得，延长使得，如图所示，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴如图所示：，
∴即为所求，
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，计算三角形的面积，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
19. 在中，，是的中点，连接并延长至点，使得，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，是的中点，得，则，而，，即可证明；
（2）由，，，根据勾股定理得，则．
【小问1详解】
证明：，，
，
是的中点，
，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，，，
，
，
的长是．
【点睛】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形有判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
20. 为适应体育中考新标准，某校随机抽取了10名女生和10名男生的跳绳成绩，并依据中考标准分数表进行整理，得到了如下统计表：
表1：
分值（分） 5 6 7 8 9 10
男生（人） 1 0 1 1 3 4
女生（人） 0 1 0 2 2 5
表2：
数据 平均数 中位数 众数 方差
男生成绩（分） 8.7 9 b 2.41
女生成绩（分） 9 a 10 c
（1）上述表格中，　　，　　，　　；
（2）该校应届毕业生中有330名男生，270名女生选择跳绳作为体育中考项目，请估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数；
（3）结合表1和表2中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）9.5，10，1.6；
（2）267名； （3）女生的成绩比较好．理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数以及方差的计算公式分别得出、、的值；
（2）用男、女生的人数分别乘以选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数各占的百分比，即可得出答案；
（3）根据女生成绩的平均数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，可得女生掌握知识的整体水平比男生好；
【小问1详解】
解：（1）共有10名女学生，中位数是第5、第6个数的平均数，
中位数，
出现了4次，出现的次数最多，
众数；
．
故答案为：9.5，10，1.6；
【小问2详解】
根据题意得：
（名，
答：估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数有267名；
【小问3详解】
女生的成绩比较好．
虽然男、女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，
女生掌握知识的整体水平比男生好．
【点睛】此题考查了方差，用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，解决本题的关键是掌握方差的定义．
21. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
（1）求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
（2）记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标；
（2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得，
抛物线解析式为；
令，则，
解得，，
；
【小问2详解】
令，则，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线向上平移个单位长度后的解析式为，
，，
，
把代入得：
，
解得．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
22. 如图，中，，点分别为的中点，延长至，使，连结，其中与相交于．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）已知，求长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，，再利用平行四边形的判定即可解答；
（2）根据直角三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理得到，再根据平行四边形的对角线互相平分得到，最后利用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵中，，点分别为的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∵在平行四边形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23. 某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示：
套餐 套餐 套餐
每月基本流量服务费（元）
包月流量（）
超出后每收费（元）
（1）当时，求套餐费用的函数表达式．
（2）当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算．
（3）小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量
消耗流量
【答案】（1）
（2）
（3），；，；
【解析】
【分析】（1）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式即可；
（2）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过元时，套餐的费用划算，代入套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；
（3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可．
【小问1详解】
解：由三种套餐对应的关于的关系图可知，
，
当时，套餐费用的函数表达式；
【小问2详解】
由三种套餐对应的关于的关系图可知，
，
，
由图可知，当月基本费用超过元时，选择套餐合适，
，解得：，
当时，选择套餐较为划算；
【小问3详解】
假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，
假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，两人的基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即，
则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为；
假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即，
则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为；
小红爸爸选择套餐，消耗流量，小红妈妈选择套餐消耗流量，总流量为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形结合的思想．
24. 小明在探究三角形与圆的位置变化关系时，发现图形随着圆的位置变化存在一些特殊的关系．探究过程如下：如图，已知在等腰中，，已知，，点是边上一点，以为半径作，发现：始终与边，边相交，与边的交点记为点．连接，作点关于直线的对称点，连接CC．小明按照以下步骤进行探究：
（1）直接写出的长： ．
（2）设，．
①求y关于x的函数表达式．
②当 时，求的值．
（3）点在边上移动，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）5 （2）①，②
（3）或
【解析】
【分析】（1）作，垂足为H，得，根据，解三角形即可；
（2）①由，易得，从而证明，可得，即可求出函数解析式；②延长交于于G点，由对称性质可知：，，根据，得，求出此时即可解题；
（3）分两种情况：当时，此时D是中点，当时，解三角形求解即可．
【小问1详解】
解：作，垂足为H，
∵在等腰中，，已知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
解得：（负值已以舍去）
故答案为：5．
【小问2详解】
解：①，，
∴，
∴，
∴，
设，．则，
∴，
∴，
为边上一动点，
；
即
关于的函数关系式为（）；
②延长交于于G点，
由对称性质可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即：
∴
小问3详解】
解：点在边上移动，当是以为腰的等腰三角形时，
若当时，
∵
∴，
即当时，，
若当时，过作，
∴，
∵，
∴，
，
由②可得，
∴
∴，，
∴，
∴
在直角中，，
，
解得：，（不合题意舍去）
当时，即，解得．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，过点作交于点是解题的关键也是解决此类问题常添加的辅助线．

2023年浙江省温州市三校联盟中考二模数学试题（原卷版+解析版）