2022-2023浙江省杭州市滨江区重点中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市滨江区重点中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 将化简后的结果是( )
A. B. C. D.
3. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
4. 已知一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差为( )
A. B. C. D.
5. 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
7. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是( )
A. 假设四边形中没有一个角是钝角或直角 B. 假设四边形中有一个角是钝角或直角
C. 假设四边形中每一个角均为钝角 D. 假设四边形中每一个角均为直角
8. 若样本，，，的平均数是，方差是，则样本，，，的平均数、方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 如图，是平行四边形的边的延长线上一点，连接交于点，连接，添加以下条件，仍不能判定四边形为平行四边形的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 若是方程的一个根，设，，则下列关于与的关系正确的为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 式子有意义时的取值范围是______ ．
12. 平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是______．
13. 设，是方程的两个实数根，则 ______ ．
14. 如图，延长的边至点，使得，过的中点作点位于点的右侧，且，连结，若，则 ______ ．
15. 若，则 ______ ．
16. 如图，在 中，，，，则 的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
；
；
．
18. 本小题分
解下列一元二次方程：
；
；
．
19. 本小题分
某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛知识竞赛满分为分，规定分及以上为“合格”，分及以上为“优秀”现将，两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
队
队
成绩统计表中， ______ ， ______ ．
小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
哪一个队成绩比较稳定，请选择一个恰当的统计角度进行分析．
20. 本小题分
已知：如图，在 中，，是对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．
21. 本小题分
年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，该零售店要想每天获得元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
22. 本小题分
如图，在矩形中，，，是线段边上的一动点不含端点，，连结，是上一点．
已知，是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
设，若存在点使，求的取值范围．
23. 本小题分
如图所示，是一个边长为的等边三角形，是直线边上一点，以为边作，使，，并以、为边作平行四边形．
当点在线段上时，交于点，求证：≌；
求线段的最小值：______ ．
当直线与的一边垂直时，请直接写出 的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质，直接根据二次根式的性质化简即可．
解：，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、本方程未知数的最高次数是；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数和；故本选项错误；
故选B．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
4.【答案】
【解析】解：数据、、、、的平均数是，
，
解得：，
则数据为、、、、，
方差为，
故选：．
根据平均数的计算公式先求出的值，再代入方差公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．
5.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，根据题意列方程得，
，
，
．
故选：．
设多边形的边数为，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为，列方程解答．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为．
6.【答案】
【解析】解：是关于的一元二次方程，，即
由一个根是，代入，可得，解之得；
由得故选B．
由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得的值可求．
本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
7.【答案】
【解析】解：反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步假设四边形中没有一个角是钝角或直角，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形中没有一个角是钝角或直角．
本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】
【解析】解：样本，，，的平均数是，方差是，
，，，的平均数是，方差是，
故选：．
由数据，，，是将原数据分别乘以所得，其平均数是原平均数的倍，方差是原方差的倍，据此可得答案．
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是熟练掌握方差和平均数的性质．
9.【答案】
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，求得，，推出，于是得到四边形为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到，推出，于是得到四边形为平行四边形，故B正确．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到，求得，求得，同理，，不能判定四边形为平行四边形；故D错误．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【解答】
解：、四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、，
，
，
，
四边形为平行四边形，故B不符合题意，
C、，
，
在与中，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、，
，
，
，
，
同理，，
不能判定四边形为平行四边形；故D符合题意；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则，由于，然后利用加减消元法消去即可得到与的关系式．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
利用二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接并延长到点，使，设，则，．
过作轴于点，过作轴于点．
在与中，
，
≌，
，，
，，
，，
．
故答案为．
连接并延长到点，使，设，则，过作轴于点，过作轴于点利用证明≌，得出，，即，，求出，，进而得到的坐标．
本题考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点关于点对称的点是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，
则，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
取的中点，连接，证四边形是平行四边形，得，再由三角形中位线定理得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：，
，
，
，
，
或，
当时，；
当时，；
即或．
故答案为：或．
移项后根据完全平方公式变形，再求出，最后代入求出答案即可．
本题考查了完全平方公式，能求出和是解此题的关键，注意：，．
16.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
如图，延长至点，使，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，
，
是直角三角形，
如图，过点作于点，
则，
，
的面积，
故答案为：．
延长至点，使，连接，通过勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点作于点，利用等面积法求出的长，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式
．
【解析】用二次根式乘法法则计算即可；
化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
分母有理化即可；
用平方差公式计算．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
开方得：，
解得：，；
，
，
，．
【解析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
19.【答案】
【解析】解：队成绩的平均分，中位数．
故答案为：；；
队的中位数为分高于平均分分，队的中位数分低于平均数分，
小明应该属于队；
队成绩比较稳定，理由如下：
组的平均数和中位数高于队，优秀率也高于队，说明队的总体平均水平高于队；
队的中位数高于队，说明队高分段学生较多；
虽然队合格率高于队，但队方差低于队，即队的成绩比队的成绩整齐，
所以队成绩比较稳定．
结合条形图中的数据，根据平均数和中位数的概念求解即可；
由队的中位数为分高于平均分分，队的中位数分低于平均数分可得答案；
从平均分、合格率、优秀率及方差的意义求解即可．
此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．
20.【答案】证明：连接，交于点如图所示：
在平行四边形中，，平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的定义，
．
在和中，
，
≌．
．
，即．
四边形是平行四边形．
【解析】连接，由证明≌，得出对应边相等，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的判定方法．
21.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．
设每件商品的售价应该定为元，
则每件商品的销售利润为元，
每天的销售量为件，
依题意可得，
解得，，
要使销量尽可能大，
，
答：每件商品的售价应该定为元．
【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可．
设每件商品的售价应该定为元，根据题意可列方程为，求出的值，再使其满足销量尽可能大即可．
本题考查一元二次方程的应用，能根据已知条件列出方程是解答本题的关键．
22.【答案】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，或．
设，则，，则，
由知：，
，
，
当时，的最小值，此时，
将代入抛物线的解析式得：，
的取值范围为：．
【解析】由矩形的性质可得，证明∽，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程求出的值即可；
设，则，，则，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定以及二次函数的性质，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，即，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
；
的面积为或或．
【解析】解：见答案；
由知≌，
，
最小时，也最小，此时，如图：
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：；
直线与的一边垂直，分三种情况：
时，如图：
此时，
，
，
又，
在中，
，，
，
时，如图：
此时，平行四边形为矩形，
在中，，
，
，
时，延长交于，如图：
此时，
，
，
，
，
中，，，
，
中，，
，
，
综上所述，直线与的一边垂直， 的面积为或或．
由，，可得，是等边三角形可得，且可得，从而可证≌；
由≌知，故BF最小时，也最小，求出最小值即可；
分三种情况：时，时，时，分别画出图形，求出底边长度和高，即可得到答案．
本题考查等边三角形、平行四边形性质及应用，涉及全等三角形、矩形等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论．
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