2023年广东省湛江市雷州重点中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省湛江市雷州重点中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为，，，，，则关于这组数据的说法正确的是( )
A. 方差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是
3. 下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 若一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则该多边形的边数为( )
A. B. C. D.
5. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
6. 定义新运算：例如，，则不等式组的解集为( )
A. B. C. 无解 D.
7. 如图，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，是的外接圆，若，半径为，则劣弧的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，，连接、，与相交于点，给出下列结论：；；；∽其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 北京时间年月日点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了万人，则万用科学记数法表示为 ．
12. 函数中，自变量的取值范围是______．
13. 点关于原点对称的点的坐标是 ．
14. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为 ．
15. 如图，菱形对角线、相交于点，，，则菱形的边长为 ．
16. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积接缝忽略不计是______ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 计算：．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，是对角线．
尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点不写作法，保留作图痕迹，并标明字母；
在的条件下，求证：．
21. 本小题分
某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
本次调查的学生人数是 人；
扇形统计图中“自主学习时间为小时”的扇形的圆心角的度数是 ；
请估算，该校九年级自主学习时间不少于小时的学生有多少人？
老师想从学习效果较好的位同学分别记为、、，其中为小华随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华的概率．
22. 本小题分
习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮某粮食生产基地为落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知件甲种农机具比件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．
求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？
若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
23. 本小题分
如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交于点．
求的值及直线的解析式；
在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标．
24. 本小题分
已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
求证：是的切线；
连接，求证：；
若的半径为，，求的长．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，，，轴，如图，，且：：：．
点坐标为______，点坐标为______；
求过、、三点的抛物线表达式；
如图，抛物线对称轴与交于点，现有一点从点出发，以每秒个单位的速度在上向点运动，另一点从点与点同时出发，以每秒个单位在抛物线对称轴上运动．当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．
根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】
解：，则是有理数；
是有限小数，是有理数；
是分数，是有理数；
是无理数，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：平均数为；
方差为；
数据中出现次，所以众数为；
数据重新排列为、、、、，则中位数为；
故选：．
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
3.【答案】
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可．
此题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握相关运算法则和公式．
【解答】
解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于列出方程，从而解决此题．
本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于度是解决本题的关键．
【解答】
解：设这个多边形的边数为．
由题意得，．
．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
【解答】
解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【解答】
解：由得，解得，
由得，解得，
则不等式组的解集为，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
根据两直线平行，内错角相等可求出的度数，然后根据邻补角的定义求出的度数．
【解答】
解：，，
，
和是邻补角，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
由是的外接圆，，易得的度数，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及勾股定理，此题难度不大，利用圆周角定理得出的度数是解决此题的关键．
【解答】
解：是的外接圆，，
，
的长为．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【解答】
解：点、点分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，，点是的中点，，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，故正确；通过证明，可得，，可证∽，故正确；由相似三角形的性质可得，故错误，根据，得，是等边三角形，，，得，所以正确；即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，故正确；
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
∽，故正确；
，
，
，
，
，
，故错误，
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查科学记数法，确定与的值是解题的关键．
【解答】
解：万．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】
解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可得出答案．
本题考查了根与系数的关系，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．
【解答】
解：一元二次方程的两个根为、，
，，，
则，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
由菱形中对角线、相交于点，若，，即可求得与的长，然后由勾股定理求得菱形的边长．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：四边形是菱形，且，，
，，，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：圆锥的底面圆的半径是，母线长为，
根据圆锥的侧面积公式：
故答案为：．
根据已知可以得出圆锥的母线长与底面圆的半径，根据圆锥的侧面积公式：，可以得出圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
首先确定点的坐标，再根据次一个循环，推出经过第次旋转后，点的坐标即可．
本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【解答】
解：正六边形边长为，中心与原点重合，轴，
，，，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
次一个循环，
，
第次旋转结束时，点的坐标为．
故答案为：．
18.【答案】解：原式
．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并即可．
此题主要考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
19.【答案】解：
．
当时，原式．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
20.【答案】解：如图，直线即为所求；
证明：四边形平行四边形，
，
，
由作图过程可知：，
在和中，
，
≌，
．
【解析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法和得到≌．
分别以点和为圆心，大于二分之一长为半径画弧，即可作的垂直平分线；
在的条件下，利用证明≌即可得．
21.【答案】解：；
；
该校九年级自主学习时间不少于小时的学生有人，
答：九年级自主学习时间不少于小时的学生有人；
列表如下：
由列表可得，共有种等可能的结果，选中小华的有种，
．
【解析】
【分析】
由小时人数及其所占百分比可得总人数；
减去其他三个时间段的百分比即为自主学习时间为小时的百分比，再乘以即可；
总人数乘以样本中小时、小时所占百分比之和可得答案；
列表得出所有等可能结果和选中小华的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【解答】
解：本次调查的学生人数是人，
故答案为：；
小时人数所占百分比为，
“自主学习时间为小时”的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，
根据题意得：解得：，
经检验：是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需万元
设甲种农机具最多能购买件，
则：解得：因为为正整数，则，
答：甲种农机具最多能购买件．
【解析】设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；
设甲种农机具最多能购买件，根据题意，列出不等式，即可求解．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
23.【答案】解：在矩形中，，，
点，
点是边的中点，
点，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
当时，即，
解得，
点，
设直线的解析式为，则
解得，
直线的解析式为；
点关于轴的对称点的坐标为，
直线与轴的交点即为所求的点，此时的周长最小，
设直线的解析式为，则
解得
直线的解析式为，
当时，即，
解得，
直线与轴的交点，
当的周长最小时，点．
【解析】根据矩形的性质可求出点，点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式可求出的值，进而确定点的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式即可；
求出点关于轴的对称点的坐标，求出直线与轴的交点即可满足的周长最小；
本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
24.【答案】证明：如图中，
，，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
证明：连接，如图所示：
，
，，
，
，
∽，
，
，
；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
的半径为，，
，，
，
，
，
，
，
在中，．
【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
如图中，欲证明是切线，只要证明即可；
连接，如图所示，欲证明，只要证明∽即可；
连接，如图所示，由，可得，在中，根据，计算即可．
25.【答案】
【解析】解：，
，
：：，
，
，
，
：：，
，
，
，
轴，
，
故答案为：，；
设过、、三点的抛物线表达式为：，
则，
解得：，
过、、三点的抛物线表达式为：；
如图，设运动秒时，面积最大，且，则，，
，
当时，面积最大值是：，
此时点的坐标为，
当点向上运动时，点的坐标为，
当点向下运动时，点的坐标为，
综上，当点的坐标为，点的坐标为或时，面积最大，最大面积为．
根据可得，因为在轴上，可得的坐标，根据勾股定理计算，的长，可得的坐标；
利用待定系数法求二次函数的解析式；
根据动点的时间和速度表示和的长，根据三角形面积公式表示面积，根据二次函数的最值即可解答．
本题考查二次函数综合题，直角三角形，几何动点问题，勾股定理，三角形面积，二次函数最值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，确定的坐标，属于中考压轴题．
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