2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷(含解析）

2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．卡西尼卵形线
C．赵爽弦图 D．费马螺线
4．（4分）如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（4分）中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为（　　）
A．12×106 B．1.2×107 C．1.2×108 D．0.12×108
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．a8÷a4＝a2 C．a2 a3＝a5 D．（b2）3＝b5
7．（4分）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．（﹣a）+b＜0 D．|b|＜|a|
8．（4分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点F若AB＝8，BF＝5，则△BCF的周长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．（4分）若点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数y＝3x+1与y＝2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2＝（3x+1）﹣（2x﹣1）＝x+2，它在﹣3≤x≤﹣1上，﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．若函数y＝x2﹣x与y＝ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．（　　）
A．﹣3≤a≤1 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11．（4分）因式分解：1﹣4y2＝　 　．
12．（4分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　 　．
13．（4分）方程＝的解为　 　．
14．（4分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是 　 　．
15．（4分）如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是 　 　.现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，则△ABC的面积是 　 　．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．（6分）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．
20．（8分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：
（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16）
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲城市抽取4月份收入数据在8≤x＜10的有 　 　家邮政企业，并补全频数分布直方图；
（2）写出表中m的值；
（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（4）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
21．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
（1）求屋项到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．
23．（10分）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？
24．（10分）已知一次函数y1＝x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标xQ的值．
25．（12分）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．
（1）【观察猜想】
如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是 　 　；
（2）【类比探究】
如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；
（3）【解决问题】
如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边上时，请求出MN的长．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC+PB的最小值．
2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：B．
2．（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示：．
故选：C．
3．（4分）下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．卡西尼卵形线
C．赵爽弦图 D．费马螺线
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
4．（4分）如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：如图所示，
直尺ABCD中，AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝70°，
∵∠4+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣70°＝110°，
∵∠1+∠3+∠5＝180°，∠1＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠5＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故选：B．
5．（4分）中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为（　　）
A．12×106 B．1.2×107 C．1.2×108 D．0.12×108
【解答】解：1200万＝12000000，
用科学记数法表示为1.2×107．
故选：B．
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．a8÷a4＝a2 C．a2 a3＝a5 D．（b2）3＝b5
【解答】解：A中4a﹣2a＝2a≠2，错误，故不符合要求；
B中a8÷a4＝a4≠a2，错误，故不符合要求；
C中a2 a3＝a5，正确，故符合要求；
D中（b2）3＝b6≠b5，错误，故不符合要求；
故选C．
7．（4分）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．（﹣a）+b＜0 D．|b|＜|a|
【解答】解：A．由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得﹣3＜a+b＜﹣1＜0，故A选项不符合题意．
B．由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得ab＜0，故B选项不符合题意．
C．由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得2＜﹣a＜3，可得0＜2＜（﹣a）+b＜4，故C选项不符合题意．
D．由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得2＜|a|＜3，0＜|b|＜1，即|b|＜|a|，故D选项符合题意．
故选：D．
8．（4分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“A．嫦娥五号”图案的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为．
故选：D．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点F若AB＝8，BF＝5，则△BCF的周长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：由作图得：AP平分∠BAD，
∴∠DAP＝∠PAB，
在平行四边形ABCD中，有AD＝BC，AB∥CD，CD＝AB＝8，
∴∠PAB＝∠AFD＝∠DAF，
∴AD＝DF＝BC，
∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝DF+CF+BF＝CD+BF＝AB+CD＝13，
故选：C．
10．（4分）若点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数y＝3x+1与y＝2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2＝（3x+1）﹣（2x﹣1）＝x+2，它在﹣3≤x≤﹣1上，﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．若函数y＝x2﹣x与y＝ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．（　　）
A．﹣3≤a≤1 B． C． D．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣x与y＝ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴构造函数y＝x2﹣（a+1）x，在0≤x≤2上﹣1≤y≤1．
根据抛物线y＝x2﹣（a+1）x对称轴的位置不同，分四种情况：
①当，即a≤﹣1时（如图1），
，
解得：a≥，
∴此时无解；
②当0≤≤1，即﹣1≤a≤1时（如图2），
，
解得：，
∴．
③当1≤≤2，即1＜a≤3时（如图3），
，
解得：﹣3≤a≤1，
此时无解；
④当2＜，即a＞3时（如图4），
，
解得：a≤，
∴此时无解．
综上可知，若函数y＝x2﹣x与y＝ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11．（4分）因式分解：1﹣4y2＝　（1﹣2y）（1+2y）　．
【解答】解：1﹣4y2＝12﹣（2y）2＝（1﹣2y）（1+2y）．
故答案为：（1﹣2y）（1+2y）．
12．（4分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　　．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，
∴击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
13．（4分）方程＝的解为　x＝5　．
【解答】解：去分母得：x+1＝3（x﹣3），
去括号得：x+1＝3x﹣9，
移项合并得：﹣2x＝﹣10，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故答案为：x＝5
14．（4分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是 　2　．
【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，
∴1﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故答案为：2．
15．（4分）如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是 　S1+S2＝S3　.现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，则△ABC的面积是 　7　．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△ACE、△BCD、△ABF是等边三角形，
∴S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，S1+S2＝（AC2+BC2）＝AB2＝S3，
即S1+S2＝S3；
设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，如图②所示：
∵S1+S2＝S3，
∴S甲+a+S乙+b＝S丙+a+b+S，
∴S甲+S乙＝S丙+S，
∴S＝S甲+S乙﹣S丙＝6+5﹣4＝7；
故答案为：S1+S2＝S3；7．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　　．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．
当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，
当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，
当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，
∵AE＝14．EC＝18，
∴AC＝32，AO＝OC＝16，
∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，
∵DE⊥CD，
∴∠DOE＝∠EDC＝90°，
∵∠DEO＝∠DEC，
∴△EDO∽△ECD，
∴DE2＝EO EC＝36，
∴DE＝EB＝EJ＝6，
∴CD＝＝＝12，
∴OD＝＝＝4，
∴BD＝8，
∵S△DCB＝×OC×BD＝BC DK，
∴DK＝＝，
∵∠BER＝∠DCK，
∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，
∴RB＝BE×＝，
∵EJ＝EB，ER⊥BJ，
∴JR＝BR＝，
∴JB＝DJ′＝，
∴DQ﹣P'Q的最大值为．
解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．（6分）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3
＝1+2﹣2+3
＝4．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式的解集为：＜x≤3，
在数轴上表示为：
19．（6分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，
∴在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP．
20．（8分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：
（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16）
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲城市抽取4月份收入数据在8≤x＜10的有 　7　家邮政企业，并补全频数分布直方图；
（2）写出表中m的值；
（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（4）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【解答】解：（1）甲城市抽取4月份收入数据在8≤x＜10的有25﹣3﹣8﹣3﹣4＝7；
（2）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即m＝10.1；
（3）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值至少为13，
∴p1＜p2；
（4）11.0×200＝2200（百万元），
答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．
21．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
（1）求屋项到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6米，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x米，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝8米，
∴﹣＝8，
解得：x≈11.2，
∴AB＝AG+BG＝11.2+4.2≈15.4（米），
答：房屋的高AB约为15.4米．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠D＝∠EBC；
（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠DAO＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠D＝∠EBC；
（2）解：∵CD＝2BC，
∴BD＝3BC，
∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，
∴△DAB∽△BEC，
∴＝＝3，
∴AB＝3EC，
∵AB＝AC，AE＝3，
∴AE+EC＝AB，
∴3+EC＝3EC，
∴EC＝1.5，
∴AB＝3EC＝4.5，
∴⊙O的半径为2.25．
23．（10分）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子（300﹣m）袋，总费用为W元，
依题意，得W＝25（300﹣m）+30m＝5m+7500，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵300﹣m≤2m，
∴m≥100，
∴m＝100时，W有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，
W＝5×100+7500＝8000（元）．
答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．
24．（10分）已知一次函数y1＝x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标xQ的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝x+2图象过A（2，m），
∴m＝＝3，
∴A（2，3），
∵反比例函数y2＝的图象过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为y2＝，
由解得或，
∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）；
（2）令x＝0，则y＝+2＝2，
∴C（0，2），
设直线CE的解析式为y＝ax+2，
由ax+2＝整理得，ax2+2x﹣6＝0，
∵直线CE与反比例函数图象只有一个交点，
∴Δ＝22﹣4a （﹣6）＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x+2，
令y＝0，则x＝12，
∴E点的坐标为（12，0）
∴CE＝＝2；
（3）如图，当∠APB＝90°时，点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD＝QD，
设P点的坐标为（0，n），
∵
∵∠APM+∠BPN＝90°＝∠APM+∠PAM，
∴∠BPN＝∠PAM，
∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝BP，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴PN＝AM，BN＝PM，
∴3﹣n＝6，
∴n＝﹣3，
∴P（0，﹣3），
设Q（x，）（x＞0），
∴D（x，﹣），
∵点D在一次函数y1＝x+2图象上，
∴﹣＝ +2，整理得x2+14x﹣12＝0，
解得x＝﹣7（负数舍去），
∴Q点的横坐标xQ的值为﹣7．
25．（12分）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．
（1）【观察猜想】
如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是 　BD＝2MN　；
（2）【类比探究】
如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；
（3）【解决问题】
如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边上时，请求出MN的长．
【解答】解：（1）连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，
∵点M、N分别为DE和DC的中点，
∴MN∥CE，CE＝2MN，
∴∠BPM＝∠QGB，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN．
故答案为：BD＝2MN；
（2）BD＝2MN．
理由：连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，
∵点M、N分别为DE和DC的中点，
∴MN∥CE，CE＝2MN，
∴∠BPM＝∠QGB，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN；
（3）连接BD，CE，则CE＝BD，同（2）可得MN＝EC，
∴MN＝BD，
∴点D在以A为圆心，AD长为半径的圆上，故分四种情况讨论：
①当点D落在AC上时，
∵3AD＝AB＝6，
∴AD＝2；
∴BD＝＝＝2，
∴MN＝BD＝；
②当点D落在BA的延长线上时，
∴BD＝AB+AD＝8，
∴MN＝BD＝4；
③当点D落在CA的延长线上时，
此时BD＝2，
∴MN＝BD＝；
④当点D落在边AB上时，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∴MN＝BD＝2，
综上所述，MN的长为或4或2．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC+PB的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵＝，
∴CD＝BD tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ＝﹣x2++；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得
即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得：，
∴点E（5﹣t，t），
把 代入，得 ，
即，
∴，
∴△BCF的面积＝×EF×BD＝（t﹣）＝，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，
∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值为．

2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷(含解析）