北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题（含解析）

北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点到准线的距离是
A．1 B．2 C．4 D．8
3．如图，点为角的终边与单位圆的交点，（ ）

A． B． C． D．
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
5．现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件
9．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）

A． B． C．1 D．
二、填空题
11．若，则的虚部是_________.
12．双曲线的顶点坐标为_________.
三、双空题
13．已知等比数列，记其前项乘积.若，则_________；的前4项和为_________.
四、填空题
14．已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为_________.
15．如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下.

给出下列四个结论：
①点处于的控制下；
②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下；
③若处于的控制下，则；
④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为.
其中所有正确结论的序号是_________.
五、解答题
16．在中，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
17．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数
“一个” 6
“一些” 4
“一穷” 2
“一条” 2
其他
假设用频率估计概率.
(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
18．如图在几何体中，底面为菱形，.

(1)判断是否平行于平面，并证明；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面与平面所成角的大小；
（ii）求点到平面的距离.
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
19．已知椭圆过点，长轴长为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
20．已知函数.
(1)若，求在处切线方程；
(2)求的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.
21．已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.
设.例如当时，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据集合的运算结果建立不等式求解.
【详解】由知，，
即，解得，
故选：B
2．C
【分析】先根据抛物线的方程求出的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．
【详解】由，知＝4，而焦点到准线的距离就是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．
3．D
【分析】根据单位圆、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】由单位圆可知，，且为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得，
所以，
所以.
故选：D
4．C
【分析】根据二项式定理，得出展开式的通项，进而可得出结果.
【详解】因为展开式的第项为，
令，则，
所以常数项为.
故选：C.
5．A
【分析】分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案.
【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则,
表示事件“抽到两名女同学”，则,
故,
故选：A
6．C
【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆：中，圆心，半径
设，则，
则,
当时，，
故选：C
7．A
【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得以及的最小值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为，
因为其图象关于直线对称，所以，
解得，则正数的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴．属于基础题.
8．C
【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，则，即，
当时，可得，此时恒成立，
即充分性成立；
当对于任意的实数恒成立时，
可得，又，
所以，即必要性成立，
综上可得，“”是“对于任意的实数，都有”的充分必要条件.
故选：C.
9．B
【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合求解即可.
【详解】由题意，，
即有解，
先求与相切时，
过定点，的导数，
设切点为，则由导数可知，
所以，解得，
即切点为，此时切线斜率，
作出函数图象，如图，

由图象可知，当时，存在存在，使得成立.
故选：B
10．D
【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果.
【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，
则其相似的分形维数是，
故选：D.
11．
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】因为，
所以，虚部为.
故答案为：
12．
【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标.
【详解】因为为双曲线方程，
所以，即，
所以双曲线的顶点坐标为.
故答案为：
13． 4
【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式求解.
【详解】由题意，,
由，
解得，,
所以.
故答案为：；.
14．2(答案不唯一)
【分析】根据函数在上不是单调函数利用导数确定，再由函数图象夹在两直线之间由正弦函数性质列出不等式组求解，即可得解.
【详解】由，则，
因为的最大最小值必在中取得，且在上不是单调函数，
所以必有，解得，
由图象完全位于直线与之间，
所以且，
即恒成立，所以，
综上，.
故答案为：2(答案不唯一)
15．①③④
【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④.
【详解】由图可知,
设，则，,满足，故①正确；
点不处于的控制下则，即，得不到，
例如取点，，，，即
点不处于的控制下，也不处于B的控制下，故②错误；
若处于的控制下，则，设，
则，化简整理得，
作出图象如图，

由图可知，当点在矩形且在圆及圆内部分满足处于的控制下,由图可知，当处于时，有最大值，故③正确；
由③知处于的控制下点构成的区域面积，可以看作是圆与矩形的面积之和，如图，

故面积为，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点所在区域，利用数形结合思想判断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一圆面与矩形，其中需要割补思想的应用.
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）求出，再利用余弦定理求出，然后利用三角形面积公式可求得答案.
【详解】（1）在中，因为，，
所以由正弦定理得.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，
解得或（舍）.
所以的面积.
17．(1)16；
(2)分布列见解析；
(3)“一个”在前更合适
【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示可求得甲类题材中“一”出现的概率；
（2）确定，根据二项分布的概率计算即可求得答案；
（3）计算样本语料库A，中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论.
【详解】（1）由题意可得；
故甲类题材中“一”出现的概率为；
（2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则,,
,
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
则.
（3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
18．(1)与平面不平行，证明见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；
（2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平面距离.
【详解】（1）不平行于平面，理由如下：
取中点，

因为，所以
则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于，
假设平面，因为平面平面，平面
所以，与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面；
（2）选择条件①：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，
由于，所以，
又因为面面，面面，面
所以面，因为面，所以
又因为，面，所以面，
而面，所以，
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则
（i）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令，
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为.
选择条件②：连接，取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
在菱形中，有，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
又因为，面，所以面，
而面，所以，
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则
（i）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令，
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为.
条件③：
取中点，连接
因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以，
因为，由（1）可得，所以
所以，即
因为，所以
又因为，面，所以面，
而面，所以，
所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则
（i）因为面，所以为平面的一个法向量
设平面的法向量为，因为
所以，令，
设平面与平面所成角为，
所以，则
即平面与平面所成角大小为；
（ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为.
19．(1)，焦距为
(2)证明见解析，定点为.
【分析】（1）根据椭圆过点及列方程组求解；
（2）设，，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点的坐标，根据已知得到+=0，再把韦达定理代入化简即得证.
【详解】（1）由题得，
所以椭圆的方程为，焦距为.
（2）如图，

直线与椭圆方程联立，
化简得，
，即.
设,，,，则，．
直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
因为，所以+=0，
所以，
所以，
把韦达定理代入整理得或，
当时，直线方程为，过定点，
即点，不符合题意，所以舍去.
当时，直线方程为，
过定点.
所以直线经过定点.
20．(1)
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可；
（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明.
【详解】（1）当时，，，
所以，
又，
所以切线方程为，即.
（2），
当时，，解得，
故时，，单调递减；时，，单调递增，
故时，的极小值为，无极大值；
当时，令，解得，，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的极大值为，极小值为；
当时，令，解得，，
故当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值为，极小值为；
综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为.
（3）当时，由（2）知， 在和上单调递增，
在上单调递减，且时，恒成立，
时，，
又的极大值为，极小值为，
所以存在实数时，函数有三个零点.
21．(1)
(2)证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据题中的定义，列举出，即可.
（2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可.
（3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明.
【详解】（1）当时，，，
，所以，
（2）设，其中，
则，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值.
（3），
若，
则，
,
故，
，
此时，不符合题意，
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，，
故，，
，符合题意，
，
则，
，
若，
的元素个数小于
的元素个数
则有，
不符合题意，故，
综上，对于任意的，都有
故数列的通项公式.
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题（含解析）