2022-2023山东省潍坊市潍城区、高密市人教版七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省潍坊市潍城区、高密市七年级（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共32分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确
1．图中能用一个大写字母表示的角有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（1米＝106微米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有一定量的有毒物质，对人体健康和空气质量有很大影响．2.5微米用科学记数法可表示为（　　）米．
A．2.5×10﹣6 B．2.5×106 C．2.5×10﹣5 D．2.5×105
3．下列说法错误的是（　　）
A．一个角的余角一定小于这个角的补角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．两条直线相交所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动．在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）
A．不变 B．变大
C．先变大再变小 D．先变小再变大
5．如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示（a＞1），则两个长方形面积S甲与S乙的大小关系是（　　）
A．S甲＝S乙 B．S甲＞S乙 C．S甲＜S乙 D．无法确定
6．如图，小刀的刀柄DEFG是一个直角梯形（挖去一个半圆），刀片上下两边AD和BC平行，转动刀片到如图所示的位置，则∠ADE+∠BCE的度数为（　　）
A．60° B．80° C．90° D．120°
7．为了节能减排，某公交公司计划购买甲、乙两种型号的新能源公交车，若购买甲型公交车1辆，乙型公交车2辆，共需260万元：若购买甲型公交车2辆，乙型公交车1辆，共需280万元，设适当的未知量可列出方程组．若对该方程组进行变形可得到方程x﹣y＝20，下列对“x﹣y＝20”的意义说法正确的是（　　）
A．甲型车比乙型车多购买20辆
B．甲型车比乙型车每辆贵20万元
C．甲型车比乙型车少购买20辆
D．甲型车比乙型车每辆便宜20万元
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD的度数为（　　）
A．37° B．74° C．96° D．106°
二、多选题（本大题共4小题，共20分；在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分。）
（多选）9．如图，点C、O、B在同一条直线上，∠AOB＝90°，∠1＝∠3，则下列结论正确的是（　　）
A．∠AOC＝90° B．OD⊥OE C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠4
（多选）10．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a﹣2＝a4
B．（﹣2t） （3t+t2﹣1）＝﹣6t2﹣2t3+2t
C．（﹣2xy3）2＝4x2y6
D．（a﹣b） （a+b）＝a2﹣bc
（多选）11．下面提供了四位同学解方程组时的部分解答过程，你认为正确的是（　　）
A．②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③，由③得y＝2x，再代入①或②中得到一元一次方程求解
B．①+②，得9x+9y＝54③，③×﹣①得到一元一次方程求解
C．①÷2并移项得x＝9+，代入②得到一元一次方程求解
D．②×5﹣①x4得到一元一次方程求解
（多选）12．如图，已知AM∥BN，DB截AM、BN于点A、B，则下列结论正确的是（　　）
A．若AN平分∠BAM，则∠BAN＝∠BNA
B．若BM平分∠ABN，则∠DAM＝3∠AMB
C．若AN⊥BM，则BM平分∠ABN
D．若∠ABN＝60°，AN平分∠BAM，则AM平分∠DAN
三、填空题（本大题共6小题，共24分；只要求填写最后结果，每小题填对得4分。）
13．用度、分、秒表示20.23°为 　 　．
14．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 　 　．
15．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 　 　．
16．如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝　 　度．
17．已知4m×8n＝128，且2m÷4n＝1，则m﹣n＝　 　．
18．根据多项式乘法法则可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；…而早在宋朝，数学家杨辉就用右面的结构图形来揭示（a+b）n的系数规律，这个图形被称为“杨辉三角”，请根据前面的几个等式的规律写出（a+b）5＝　 　．
四、解答题（本题共7小题，满分74分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．计算下列各题：
（1）x2 （﹣2xy2）3；
（2）（2m+1） ．
20．解下列方程组：
（1）；
（2）．
21．按下列要求画图并填空．
（1）过点B画直线AC的垂线BD，交直线AC于点D，
（2）过点B画直线AC的平行线BT；
（3）直线AC和直线BT的距离是线段 　 　的长；
（4）若AB平分∠CBT且∠A＝24°，则∠CBD＝　 　．
22．（1）如图，用一方框在月历表中任意框出四个数，将其中最小的数记为a，则其他三个数分别用含a的代
数式表示为 　 　；（按从小到大顺序填写）
（2）若将框出的四个数按照＝xy﹣mz的方式进行计算，当方框在月历表中平移时，所框出的四个数运算结果会随方框位置移动而变化吗？为什么？
23．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）请写出图中除AD和BC之外的平行直线，并说明理由；
（2）结合（1）中所得的结论，判断∠BED与∠ACD的数量关系，并说明理由．
24．现有一块含30°角的直角三角尺AOB，∠AOB是直角，其顶点O在直线l上，请你解决下列问题：
（1）如图1，请直接写出∠1、∠2的数量关系；
（2）如图2，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为C、D，请写出图中分别与∠1、∠2相等的角，并说明理由；
（3）如图3，AC平分∠OAB，将直角三角尺AOB绕着点O旋转，当AC∥1时，请直接写出OB与直线l所成锐角的度数．
25．某体育用品商店购进A、B两种型号的篮球，这两种型号篮球的售价和进价如表所示：若该商店购进20个A型篮球和30个B型篮球需3400元；购进30个A型篮球和40个B型篮球需4800元．
（1）试求A、B两种型号篮球的进价：
（2）为深入开展校园篮球活动，某学校计划从该商场一次性购买A型篮球m个和B型篮球n个，共消费5400元，那么该商店可获利多少元？
（3）为了提高销量，该商店实施：“买篮球送跳绳”的促销活动．套餐1：买1个A型篮球送1根跳绳：套餐2：买3个B型篮球送1根跳绳．已知每根跳绳的成本为10元，某日售卖两种套餐总计盈利600元，那么该日销售的套餐中A、B两种型号的篮球各多少个？
类型 进价（元/个） 售价（元/）
A x 120
B y 90
参考答案
一、单选题（本大题共8小题，共32分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确
1．图中能用一个大写字母表示的角有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据角的表示方法，可得答案．
解：可以只用一个大写字母表示的角有∠A，∠B．
故选：B．
【点评】本题考查了角的概念，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（1米＝106微米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有一定量的有毒物质，对人体健康和空气质量有很大影响．2.5微米用科学记数法可表示为（　　）米．
A．2.5×10﹣6 B．2.5×106 C．2.5×10﹣5 D．2.5×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：2.5微米＝0.000 0025米＝2.5×10﹣6米，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列说法错误的是（　　）
A．一个角的余角一定小于这个角的补角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．两条直线相交所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】由余角，补角的定义，对顶角的定义，垂直的定义，平行公理，即可判断．
解：A、设这个锐角是α，则这个角的余角是90°﹣α，这个角的补角是180°﹣α，90°﹣α＜180°﹣α，因此一个角的余角一定小于这个角的补角，故A不符合题意；
B、有公共顶点的两个角，这两个角的两边不一定互为反向延长线，因此公共顶点的两个角不一定是对顶角，故B符合题意；
C、两条直线相交所得的四个角相等，则这4个角是直角，因此这两条直线一定互相垂直，故C不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查余角，补角的定义，对顶角的定义，垂直的定义，平行公理，掌握以上知识点是解题的关键．
4．如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动．在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）
A．不变 B．变大
C．先变大再变小 D．先变小再变大
【分析】过点A作AH⊥直线l，根据勾股定理表示出AE的长，从而表示出EB的长，在转动过程中，EH先变小再变大，根据AH固定不变，于是AE先变小再变大，从而得出EB先变大再变小．
解：过点A作AH⊥直线l，垂足为H，设AB与直线l交于点E，
∵点A和直线l的位置固定，
∴点A到直线l的距离不变，即AH的长不变，
设直线l下方木条长度为EB，
∴EB＝AB﹣AE，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：，
∴，且AB，AH在转动过程中长度始终不变，
①当木条从点B往H点方向转动时，EH不断减小，
则不断减小，即AE不断减小，
所以EB＝AB﹣AE不断变大；
②当木条从H点往C点方向转动时，EH不断增大，
则不断增大，即AE不断增大，
所以EB＝AB﹣AE不断变小；
综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在转动过程中AB，AH长度始终不变，观察出AE的变化，从而得出EB的变化是解题的关键．
5．如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示（a＞1），则两个长方形面积S甲与S乙的大小关系是（　　）
A．S甲＝S乙 B．S甲＞S乙 C．S甲＜S乙 D．无法确定
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据法则分别计算面积，再进行比较即可．
解：S甲＝（2a+1）（a+7）
＝2a2+14a+a+7
＝2a2+15a+7，
S乙＝（2a+4）（a+3）
＝2a2+6a+4a+12
＝2a2+10a+12，
则S甲﹣S乙＝2a2+15a+7﹣（2a2+10a+12）
＝2a2+15a+7﹣2a2﹣10a﹣12
＝5a﹣5
＝5（a﹣1），
∵a＞1，
∴a﹣1＞0，
∴5（a﹣1）＞0，
∴S甲＞S乙．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要注意语句中的关键字，读懂题意，找到所求的量的表示方法．列代数式五点注意：①仔细辨别词义．②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
6．如图，小刀的刀柄DEFG是一个直角梯形（挖去一个半圆），刀片上下两边AD和BC平行，转动刀片到如图所示的位置，则∠ADE+∠BCE的度数为（　　）
A．60° B．80° C．90° D．120°
【分析】如图，过点O作OP∥AB，则AB∥OP∥CD．所以根据平行线的性质将（∠1+∠2）转化为（∠AOP+∠POC）来解答即可．
解：如图，过点E作EP∥AD，则∠1＝∠DEP．
∵AD∥BC，
∴EP∥BC，
∴∠2＝∠PEC，
∵刀柄外形是一个直角梯形，
∴∠DEP+∠PEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定．平行线性质定理：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．
7．为了节能减排，某公交公司计划购买甲、乙两种型号的新能源公交车，若购买甲型公交车1辆，乙型公交车2辆，共需260万元：若购买甲型公交车2辆，乙型公交车1辆，共需280万元，设适当的未知量可列出方程组．若对该方程组进行变形可得到方程x﹣y＝20，下列对“x﹣y＝20”的意义说法正确的是（　　）
A．甲型车比乙型车多购买20辆
B．甲型车比乙型车每辆贵20万元
C．甲型车比乙型车少购买20辆
D．甲型车比乙型车每辆便宜20万元
【分析】根据所列方程组，可找出“x表示每辆甲型公交车的价格，y表示每辆乙型公交车的价格”，进而可得出“x﹣y＝20”的意义为甲型车比乙型车每辆贵20万元．
解：∵购买甲型公交车1辆，乙型公交车2辆，共需260万元：购买甲型公交车2辆，乙型公交车1辆，共需280万元，且所列方程组为，
∴x表示每辆甲型公交车的价格，y表示每辆乙型公交车的价格，
∴“x﹣y＝20”的意义为甲型车比乙型车每辆贵20万元．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据所列方程组，找出x，y的意义是解题的关键．
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD的度数为（　　）
A．37° B．74° C．96° D．106°
【分析】先根据EF∥GH，得出∠HGC＝∠EFG＝37°，再由矩形的性质得出∠GHD＝143°，然后由折叠的性质得出∠KHG＝∠DHG＝143°，所以∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG．
解：∵EF∥GH，
∴∠HGC＝∠EFG＝37°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠GHD+∠HGC＝180°，
∴∠GHD＝143°，
根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，
∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，由性质得出角度的关系即可解答．
二、多选题（本大题共4小题，共20分；在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分。）
（多选）9．如图，点C、O、B在同一条直线上，∠AOB＝90°，∠1＝∠3，则下列结论正确的是（　　）
A．∠AOC＝90° B．OD⊥OE C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠4
【分析】根据∠AOB＝90°，可得∠AOC＝90°，∠1+∠2＝90°，再根据∠1＝∠3，可得∠2+∠3＝90°，即OD⊥OE，∠1+∠4＝90°，再由∠3+∠4＝90°，即可得∠2＝∠4．
解：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣90°＝90°，故A符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠1＝∠3，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠DOE＝90°，∠1+∠4＝90°，
∴OD⊥OE，故B符合题意，C不符合题意；
∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝∠4，故D符合题意；
故选：ABD．
【点评】本题主要考查垂线，余角和补角，熟练掌握角的互余关系是解题的关键．
（多选）10．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a﹣2＝a4
B．（﹣2t） （3t+t2﹣1）＝﹣6t2﹣2t3+2t
C．（﹣2xy3）2＝4x2y6
D．（a﹣b） （a+b）＝a2﹣bc
【分析】利用同底数幂的除法的法则，单项式乘多项式的法则，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a6÷a﹣2＝a8，故A不符合题意；
B、（﹣2t） （3t+t2﹣1）＝﹣6t2﹣2t3+2t，故B符合题意；
C、（﹣2xy3）2＝4x2y6，故C符合题意；
D、（a﹣b） （a+b）＝a2﹣b2，故D不符合题意；
故选：BC．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（多选）11．下面提供了四位同学解方程组时的部分解答过程，你认为正确的是（　　）
A．②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③，由③得y＝2x，再代入①或②中得到一元一次方程求解
B．①+②，得9x+9y＝54③，③×﹣①得到一元一次方程求解
C．①÷2并移项得x＝9+，代入②得到一元一次方程求解
D．②×5﹣①x4得到一元一次方程求解
【分析】方程组利用代入消元法或加减消元法判断即可．
解：，
A、②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③，由③得y＝x，再代入①或②中得到一元一次方程求解，不符合题意；
B、①+②，得9x+9y＝54③，③×﹣①得到一元一次方程求解，符合题意；
C、①÷2并移项得x＝9﹣，代入②得到一元一次方程求解，不符合题意；
D、②×5﹣①×4得到一元一次方程求解，符合题意．
故选：BD．
【点评】此题考查了二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（多选）12．如图，已知AM∥BN，DB截AM、BN于点A、B，则下列结论正确的是（　　）
A．若AN平分∠BAM，则∠BAN＝∠BNA
B．若BM平分∠ABN，则∠DAM＝3∠AMB
C．若AN⊥BM，则BM平分∠ABN
D．若∠ABN＝60°，AN平分∠BAM，则AM平分∠DAN
【分析】利用平行线的性质，角平分的定义即可得出结论．
解：A．∵AN平分∠BAM，∴∠BAN＝∠MAN，∵AM∥BN，∴∠MAN＝∠ANB，∴∠BAN＝∠BNA，故A选项符合题意；
B．∵BM平分∠ABN，∴∠ABN＝2∠NBM，∵AM∥BN，∴∠DAM＝∠DBN，∠AMB＝∠MBN，∴∠DAM＝2∠AMB，故B选项不符合题意；
C．AN⊥BM，无法得出BM平分∠ABN，故C选项不符合题意；
D．∵AM∥BN，∠ABN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣60°＝120°，∠DAM＝∠DBN＝60°，∵AN平分∠BAM，∴∠MAN＝∠MAB＝×120°＝60°，∴∠DAM＝∠MAN，∴AM平分∠DAN，故D选项符合题意．故选：AD．
【点评】本题主要考查了平行的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
三、填空题（本大题共6小题，共24分；只要求填写最后结果，每小题填对得4分。）
13．用度、分、秒表示20.23°为 　20°13′48″　．
【分析】由度分秒相邻单位间是60进制，即可解决问题．
解：∵0.23°＝0.23×60′＝13.8′，0.8′＝0.8×60″＝48″，
∴20.23°＝20°13′48″．
故答案为：20°13′48″．
【点评】本题考查度分秒的换算，关键是掌握度分秒相邻单位间是60进制．
14．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 　内错角相等，两直线平行　．
【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．
解：∵两个三角尺是完全相同的，
∴∠1＝∠2，
∠1与∠2是内错角，由内错角相等，两直线平行，即可判定m∥l，因此可以画出两条互相平行的直线．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
15．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 　1　．
【分析】先用加减消元法解二元一次方程组，将得到的解代入x+y＝2中，即可求k的值．
解：，
①×5得，5x﹣5y＝5k﹣15③，
②+③，得x＝，
将x＝代入①，得y＝，
∵x+y＝2，
∴+＝2，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键．
16．如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝　100　度．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义，即可得出∠COE的度数，进而得到∠DOE的度数．
解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵OA平分∠COE，
∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
∴∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17．已知4m×8n＝128，且2m÷4n＝1，则m﹣n＝　　．
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂解决此题．
解：∵4m×8n＝128，且2m÷4n＝1，
∴22m 23n＝22m+3n＝27，2m÷22n＝2m﹣2n＝1．
∴2m+3n＝7，m＝2n．
∴4n+3n＝7．
∴n＝1．
∴m＝2n＝2．
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键．
18．根据多项式乘法法则可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；…而早在宋朝，数学家杨辉就用右面的结构图形来揭示（a+b）n的系数规律，这个图形被称为“杨辉三角”，请根据前面的几个等式的规律写出（a+b）5＝　a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5　．
【分析】根据“杨辉三角形”，计算出（a+b）5即可．
解：根据“杨辉三角形”，可知（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【点评】本题考查了完全平方公式，规律型，理解“杨辉三角”中系数的规律是解题的关键．
四、解答题（本题共7小题，满分74分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．计算下列各题：
（1）x2 （﹣2xy2）3；
（2）（2m+1） ．
【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式法则作答．
解：（1）x2 （﹣2xy2）3
＝x2 （﹣8x3y6）
＝﹣8x5y6；
（2）（2m+1）
＝﹣2m3+m2﹣2m﹣m2+m﹣1
＝﹣2m3﹣m﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，积的乘方，单项式乘以单项式等知识点，掌握其法则是解本题的关键．
20．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
解：（1），
①×2+②得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：3﹣y＝﹣1，
解得：y＝4，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②得：8x＝48，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：18+4y＝16，
解得：y＝﹣，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．按下列要求画图并填空．
（1）过点B画直线AC的垂线BD，交直线AC于点D，
（2）过点B画直线AC的平行线BT；
（3）直线AC和直线BT的距离是线段 　BD　的长；
（4）若AB平分∠CBT且∠A＝24°，则∠CBD＝　42°　．
【分析】（1）根据垂线的定义画出图形；
（2）根据平行线的定义画出图形；
（3）根据平行线之间的距离，判断即可；
（4）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解．
解：（1）如图，直线BD即为所求；
（2）如图，直线BT即为所求；
（3）直线AC和直线BT的距离是线段BD的长．
故答案为：BD；
（4）∵AC∥BT，
∴∠A＝∠ABT＝24°，
∵AB平分∠CBT，
∴∠ABC＝∠ABT，
∴∠CBT＝∠BCD＝48°，
∵BD⊥CD，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣48°＝42°．
故答案为：42°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）如图，用一方框在月历表中任意框出四个数，将其中最小的数记为a，则其他三个数分别用含a的代
数式表示为 　a+1，a+7，a+8　；（按从小到大顺序填写）
（2）若将框出的四个数按照＝xy﹣mz的方式进行计算，当方框在月历表中平移时，所框出的四个数运算结果会随方框位置移动而变化吗？为什么？
【分析】（1）根据另3个数与最小的数相隔1，7，8可得相应的代数式；
（2）把（1）得到的四个代数式，根据xy﹣mz计算可得定值为﹣7．
解：（1）由图中可知，将其中最小的数记为a，则其他三个数分别用含a的代数式表示为：a+1，a+7，a+8；
故答案为：a+1，a+7，a+8；
（2）当方框在月历表中平移时，所框出的四个数运算结果是定值，理由如下：
由题意得：a（a+8）﹣（a+1）（a+7）
＝a2+8a﹣a2﹣8a﹣7
＝﹣7，
∴所框出的四个数运算结果是定值﹣7．
【点评】本题考查数字的变化规律；判断出第1至第7列各列数之和中的最大值与最小值是解决本题的易错点；判断出第2列与第3列相邻2列数之差的计算方法是解决本题的关键．
23．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）请写出图中除AD和BC之外的平行直线，并说明理由；
（2）结合（1）中所得的结论，判断∠BED与∠ACD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B+∠BAD＝180°，从而可得∠1+∠BAD＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠DAC＝∠3，从而可得∠2＝∠DAC，最后利用内错角相等，两直线平行可得ED∥AC，即可解答；
（2）利用（2）的结论可得：∠BAC＝∠BED，∠ACD＝∠BAC，然后利用等量代换即可解答．
解：（1）AB∥CD，AC∥DE，
理由：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠1＝∠B，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝∠DAC，
∴ED∥AC；
（2）∠BED＝∠ACD，
理由：∵AC∥ED，
∴∠BAC＝∠BED，
∵AE∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴∠BED＝∠ACD．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．现有一块含30°角的直角三角尺AOB，∠AOB是直角，其顶点O在直线l上，请你解决下列问题：
（1）如图1，请直接写出∠1、∠2的数量关系；
（2）如图2，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为C、D，请写出图中分别与∠1、∠2相等的角，并说明理由；
（3）如图3，AC平分∠OAB，将直角三角尺AOB绕着点O旋转，当AC∥1时，请直接写出OB与直线l所成锐角的度数．
【分析】（1）由平角的定义可得∠1、∠2和∠AOB的和为180°，可求得∠1与∠2的关系，
（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，
（3）由平行线的性质可得∠OAC＝∠1，再利用（1）中的关系可求出∠2的大小即可，
解：（1）∠1+∠2＝90*，理由如下：
∵点O在直线l上，
∴∠1+∠AOB+∠2＝180°，∠AOB＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
故答案为：∠1+∠2＝90°．
（2）∠1＝∠OBD，∠2＝∠OAC，理由如下：
由（1）得∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥l，
∴∠2+∠OBD＝90°，
∵∠1+∠2＝∠2+∠OBD，
∴∠1＝∠OBD，
∵AC⊥l，
∴∠1+∠OAC＝90°，
∵∠1+∠2＝∠2+∠OAC，
∴∠2＝∠OAC．
（3）60°，理由如下：
∵AC平分∠OAB，∠OAB＝60°，
∴∠OAC＝∠OAB＝30°，
∵l∥AC，
∴∠OAC＝∠1，
由（1）可知，∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°
【点评】本题考查了平角的定义及直角三角形的两锐角互余，以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
25．某体育用品商店购进A、B两种型号的篮球，这两种型号篮球的售价和进价如表所示：若该商店购进20个A型篮球和30个B型篮球需3400元；购进30个A型篮球和40个B型篮球需4800元．
（1）试求A、B两种型号篮球的进价：
（2）为深入开展校园篮球活动，某学校计划从该商场一次性购买A型篮球m个和B型篮球n个，共消费5400元，那么该商店可获利多少元？
（3）为了提高销量，该商店实施：“买篮球送跳绳”的促销活动．套餐1：买1个A型篮球送1根跳绳：套餐2：买3个B型篮球送1根跳绳．已知每根跳绳的成本为10元，某日售卖两种套餐总计盈利600元，那么该日销售的套餐中A、B两种型号的篮球各多少个？
类型 进价（元/个） 售价（元/）
A x 120
B y 90
【分析】（1）根据“购进20个A型篮球和30个B型篮球需3400元；购进30个A型篮球和40个B型篮球需4800元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，方程两边同时除以3，即可求出结论；
（3）设该日销售a套套餐1，b套套餐2，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：A型篮球的进价为80元/个，B型篮球的进价为60元/个；
（2）根据题意得：120m+90n＝5400，
∴40m+30n＝1800，
∴（120﹣80）m+（90﹣60）n＝40m+30n＝1800．
答：该商店可获利1800元；
（3）设该日销售a套套餐1，b套套餐2，
根据题意得：（120﹣80﹣10）a+（90×3﹣60×3﹣10）b＝600，
∴a＝20﹣b，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴3b＝3×3＝9或3b＝3×6＝18．
答：该日销售的套餐中A型篮球12个，B型篮球9个或A型篮球4个，B型篮球18个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．

2022-2023山东省潍坊市潍城区、高密市人教版七年级（下）期中数学试卷（含解析）