2023年黑龙江省绥化市肇东重点中学中考数学四模试卷（含解析）

2023年黑龙江省绥化市肇东重点中学中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列整数中，与最接近的是( )
A. B. C. D.
2. 下列判断：
一个数的平方根等于它本身，这个数是和；
实数包括无理数和有理数；
的算术平方根是；
无理数是带根号的数．
正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 已知：点与点关于轴对称，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 七年级班甲、乙两个小组的名同学身高单位：厘米如下：
甲组
乙组
以下叙述错误的是( )
A. 甲组同学身高的众数是 B. 乙组同学身高的中位数是
C. 甲组同学身高的平均数是 D. 两组相比，乙组同学身高的方差大
5. 如图所示的几何体的从左面看到的图形为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知，下列结论中成立的是( )
A. B.
C. D. 如果，那么
7. 某市年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率设年均增长率为，可列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 将一副三角尺在中，，，在中，，如图摆放，点为的中点，交于点，经过点，将绕点顺时针方向旋转角得到，交于点，交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 已知二次函数的与的部分对应值如表：
下列结论正确的是( )
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线
C. 当时，
D. 若，是抛物线上两点，则
10. 如图，的半径于点，连结并延长交于点，连结若，，则为( )
A.
B.
C.
D.
11. 观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、若，用含的式子表示这组数的和是( )
A. B. C. D.
12. 如图，在正方形中，点是边的中点，、为其对角线，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于点，下列结论正确的有：( )
，，若四边形的面积为，则该正方形的面积为，．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
13. 在函数中，自变量的取值范围是______．
14. 一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球个，黄球个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是______ ．
15. 分解因式______．
16. 已知关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______ ．
17. 方程的两根为，，且，则______．
18. 如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为______．
19. 当时，一次函数的图象一定经过第______象限．
20. 三个顶点坐标分别为，，，以原点位似中心，将缩小后得到的与的对应边的比为：，这时点的对应点的坐标为______ ．
21. 如图，、两点在反比例函数的图象上，、两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值为______．
22. 等边的边长为，在边上取点，使，连接，以为一边作等边，则线段的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 本小题分
如图，已知是锐角三角形．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，则的半径为______．
24. 本小题分
团结奋战，众志成城，大兴安岭组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发沿同一路线赶往肇东大兴安岭距肇东的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达肇东加油、休息时间忽略不计甲、乙两车离肇东的路程与所用时间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
甲车改变速度前的速度是______ ，乙车行驶______ 到达肇东；
求甲车改变速度后离大兴安岭的路程与所用时间之间的函数解析式，不用写出自变量的取值范围；
甲车到肇东时，乙车距肇东的路程还有______ ；出发时，甲、乙两车第一次相距．
25. 本小题分
如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度米，货厢底面距地面的高度米，坡面与地面的夹角，木箱的长为米，高和宽都是米．通过计算判断：当，木箱底部顶点与坡面底部点重合时，木箱上部顶点会不会触碰到汽车货厢顶部．
26. 本小题分
如图，已知正方形，点是边上一点，将沿直线折叠，点落在处，连接并延长，与的平分线相交于点，与，分别相交于点，，连接．
求证：；
当点在边上端点除外运动时，求的大小？
若，，求点到直线的距离．
27. 本小题分
如图，已知内接于，直径交于点，连接，过点作，垂足为过点作的切线，交的延长线于点．
若，求的度数；
若，求证：；
在的条件下，连接，设的面积为，的面积为，若，求的值．
28. 本小题分
抛物线为常数，且与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
若点的横坐标为，抛物线的对称轴为．
求该抛物线的函数表达式；
如图，在直线上方的抛物线上取点，连接，交于点，若，求点的坐标．
如图，当时，过点作的平行线，与轴交于点，将抛物线在直线上方的图象沿折叠，若折叠后的图象图中虚线部分与直线有且只有一个公共点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
与最接近的是．
故选：．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：一个数的平方根等于它本身，这个数是，错误；
实数包括无理数和有理数，正确；
的算术平方根是，正确；
无理数是带根号的数，错误，例如．
故选：．
直接利用平方根的性质，实数的概念，算术平方根的概念及无理数的概念分别分析得出答案．
此题主要考查了实数，正确掌握实数的相关知识是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，，
，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，关键是掌握关于轴的点的坐标坐标特点．
4.【答案】
【解析】【试题解析】
解：、甲组同学身高的众数是，此选项正确；
B、乙组同学身高的中位数是，此选项正确；
C、甲组同学身高的平均数是，此选项正确；
D、甲组的方差为，乙组的方差为，甲组的方差大，此选项错误；
故选：．
根据众数、中位数和平均数及方差的定义逐一判断可得．
本题主要考查众数、中位数和平均数及方差，掌握众数、中位数和平均数及方差的定义和计算公式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：从这个几何体的左面看，所得到的图形是长方形，能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此，选项D的图形，符合题意，
故选：．
左视图就是从几何体的左侧看，所得到的图形，实际上就是从左面“正投影”所得到的图形，
本题考查几何体的三视图，理解三视图的意义是正确判断的前提，在画视图时注意“看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线表示”．
6.【答案】
【解析】解：、则，故原题说法错误，不符合题意；
B、则，故原题说法错误，不符合题意；
C、则，故原题说法正确，符合题意；
D、如果，那，故原题说法错误，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】
【解析】解：设该市总面积为，该市这两年自然保护区的年均增长率为，根据题意得
，
即．
故选：．
年年底保护区的覆盖率为，年为，再由“年年底自然保护区覆盖率达到”可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8.【答案】
【解析】解：点为斜边的中点，
，
，，
，
，
，
，
绕点顺时针方向旋转，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
先根据直角三角形斜边上的中线性质得，则，，由于，可利用直角三角形两锐角互余得，再根据旋转的性质得，于是可判断，得到，然后在中利用正切的定义得到，于是可得的值．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
9.【答案】
【解析】解：由表格可得，
该抛物线的对称轴为直线，故选项B正确；
该抛物线的开口向上，故选项A错误；
当时，，故选项C错误；
由二次函数图象具有对称性可知，若，是抛物线上两点，则或，故选项D错误；
故选：．
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作交的延长线于，设．
，
，
在中，，
，
解得，
，，
，，，
≌，
，，，
，
，
故选：．
如图，过点作交的延长线于，设利用勾股定理求出，，利用全等三角形的性质证明，，求出即可解决问题．
本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：因为；
；
；
所以，
所以
，
因为，
所以，
所以原式．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：连接．
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，故正确，
设，则，，
，，
，即，故正确，
连接，根据对称性可知，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，故错误，
，，
，
，
，
，
，故正确，
故选：．
利用四点共圆证明即可．
设，求出，即可解决问题．
由相似三角形的性质求出，，通过计算正方形的面积为．
证明，利用相似三角形的性质证明即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于解答即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】解：设口袋中蓝球的个数有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解
则随机摸出一个球是蓝球的概率是：．
故答案为：．
先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】
【解答】
解：．
【分析】
直接利用完全平方公式分解即可．
本题考查用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方公式分解因式．
16.【答案】
【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
由于不等式组有解，则必定有整数解，
，
三个整数解不可能是，，．
若三个整数解为，，，则，此不等式组无解；
若三个整数解为，，，则，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
17.【答案】
【解析】解：方程的两根为，，
，
，
由题意得：；，
，
，
，，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出及的值，代入所求代数式得出的值，再看的值是否满足中的取值范围即可．
本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程中，
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
，．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
半圆分别与，相切于点，．
，，
，
，
，
的长为，
，
，
，
连接，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
连接、，根据半圆分别与，相切于点，可得，，由，可得，得，再根据的长为，可得，连接，根据中，，，可得，进而可求图中阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．
19.【答案】一、四
【解析】解：，
、异号．
当，时，图象经过第一、三、四象限；
当，时，图象经过第一、二、四象限；
综上，一次函数的图象一定经过第一、四象限．
故答案为：一、四．
由于，先根据有理数相乘，同号得正，异号得负，分情况讨论；再结合以下性质分析即可：一次函数中，时，图象上升，时，图象下降，是图象与轴的交点，，图象交轴于正半轴，，图象交轴于负半轴．
本题考查了一次函数的性质，分类讨论并明确一次函数中和的不同取值与函数图象所处位置的关系是解题的关键．
20.【答案】或
【解析】解：，，，
以点为位似中心，相似比为：，
将缩小，则点的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
根据相似比为：可得：、、三点坐标分别乘以或即可算出它的对应顶点的坐标．
此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．
21.【答案】
【解析】解：连接、、、，如图：
由反比例函数的性质可知，，
，
，
，
，
由两式解得，
则．
故答案为．
由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
当在的上方时，如图，
，，
，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
当在的下方时，如图，连接，过作于，
同理得：≌，
，，
，
，
中，，
，，
中，，
由勾股定理得：，
综上所述，则线段的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：
当在的上方时，如图，证明≌，则；
当在的下方时，如图，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，同理得：≌，则，，得到的，根据性质求得，，最后利用勾股定理可得结论．
本题考查了三角形全等的性质和判定、勾股定理、等边三角形，采用分类讨论的思想，利用等边三角形的性质证明三角形全等是关键．
23.【答案】解：如图，直线，即为所求；
．
【解析】
【分析】
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
作线段的垂直平分线交于，交于，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作即可；
过点作于设，利用面积法构建方程求解即可．
【解答】
解：见答案；
如图，过点作于．
设，
，，垂直平分线段，
，
，
，
，
解得．
故答案为．
24.【答案】
【解析】解：甲车改变速度前的速度为：，乙车达绥芬河是时间为：，
故答案为：；；
乙车速度为，
甲车到达绥芬河的时间为：，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：，
将和代入得：，
解得，
，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数解析式为；
甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：，
，
即出发时，甲、乙两车第一次相距．
故答案为：；．
结合图象，根据“速度路程时间”即可得出甲车改变速度前的速度；根据“时间路程速度”即可得出乙车行驶的时间；
根据题意求出甲车到达绥芬河的时间，再根据待定系数法解答即可；
根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程；根据“路程差速度差时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距行驶的时间．
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答本题的关键．
25.【答案】解：米，，
米，
米，
米，
米，
作于点，作于点，
，，
∽∽，≌，
，米，
即
解得：
，
木箱上部顶点不会触碰到汽车货厢顶部．
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出的长度，再与比较大小即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
26.【答案】证明：将沿直线折叠，点落在处，
，，关于对称，
，
，
平分，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
；
如图，连接，，，交于点，
由可知，，
，，
，，
又，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
的度数不变．
，
的长为点到直线的距离，
由知，
，
，
，
又，
∽，
，，
，，
由知，，
，，
．
即点到直线的距离为．
【解析】由折叠的性质得出，，关于对称，证出，由等腰直角三角形的性质得出答案；
连接，，，交于点，由可知，，得出，证出点，，，四点共圆，则可得出结论．
由勾股定理求出，证明∽，得出比例线段，，可求出，的长，则可求出答案．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27.【答案】解：连接，如图，
为切线，
，
，
为直径，
，
而，，
，
；
证明：连接，如图，
，
，
，
，
而，
，
；
解：，，
∽，
，
，设，，
则，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
．
【解析】连接，如图，利用切线性质和圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据圆周角定理得到的度数；
连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，，再利用圆周角定理得到，然后根据三角形内角和可判断；
先证明∽得到，设，，则，，，则利用三角形面积公式得到，则可设，则，利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的性质．
28.【答案】解：抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线的解析式为，
点的横坐标为，
，
，
，
抛物线的解析式为；
抛物线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
或，
，，
直线的解析式为，
设点，点，
如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
∽，
，
，
，
，
，，，，
，
或，
或；
如图，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
或，
，，
令，则，
，
直线的解析式为，
作直线关于直线的对称直线，交轴于，
，，
，
直线的解析式为，
联立化简得，，
折叠后的图象图中虚线部分与直线有且只有一个公共点，
与抛物线在直线上方的图象只有一个公共点，
，
舍或．
即满足条件的的值为．
【解析】利用对称轴求出的值，再利用点的坐标求出的值，即可得出结论；
过点作轴于，过点作轴于，判断出两三角形相似，得出，进而得出，即可得出结论；
先作出直线关于直线的对称直线，求出直线的解析式，进而求出直线的解析式，再判断出直线与抛物线在上方的图象只有一个公共点，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，对称性，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
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2023年黑龙江省绥化市肇东重点中学中考数学四模试卷（含解析）