2023年山东省青岛市莱西市中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省青岛市莱西市中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2. 的相反数是( )
A. B. C. D.
3. 下列所示的图案分别是四个品牌汽车的车标，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是( )
A. 袋子一定有三个白球
B. 袋子中白球占小球总数的十分之三
C. 再摸三次球，一定有一次是白球
D. 再摸次，摸出白球的次数会接近次
5. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移个单位长度得到，再作与关于轴对称的，则点的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
6. 如图，、、都是的半径，若是锐角，且，则下列结论正确的是个( )
．
A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形纸片中、，，将该纸片翻折使点落在边的中点处，折为，点、分别在边、上，则的长为( )
A. B. C. D.
8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；若为任意实数，则；；；若，且，其中，正确的个数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 据报道，春节期间微信红包收发高达次，则用科学记数法表示为______ ．
10. 计算： ______ ．
11. 如图，块相同的长方形卡片拼成一个大长方形，设长方形卡片的长和宽分别为和，则依题意，列方程组______ ．
12. 端午小长假小明统计了同组同学学习时长的数据并利用数据编制了思考小问题：已知学习时长数据单位：小时，，，，的众数等于中位数，则这组数据的方差为______ ．
13. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心、为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积是______．
14. 如图，等腰直角三角形，，，是上的两点，且，过，作，分别垂直，，垂足为，，交于点，连接，，其中四边形是正方形；≌；；当时，；其中，正确结论有______ 填序号
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
如图，在四边形中，，，求作一点，使得点到、两点距离相等且满足要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
16. 本小题分
计算：
化简：；
如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
17. 本小题分
如今，“垃圾分类”已逐渐推广，如图，垃圾一般可分为：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其它垃圾，甲拿了一袋可回收垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的个垃圾桶，用列表或两树形图的方法求甲、乙两人至少有一人扔对垃圾的概率．
18. 本小题分
某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度微克毫升与服药时间之间的函数关系如图所示当时，与成反比例．
根据图象求出血液中药物浓度下降阶段关于的函数表达式；
问：血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为多少小时？
19. 本小题分
某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度：，米，米，市政规定广告牌的高度不得大于米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参照数据：，，，，
20. 本小题分
奋进学校号召为困难学生家庭捐款，九年级班对此次捐款活动进行抽样调查，得到一些捐款数据，将数据整理成如图所示的统计图表图中信息不完整已知、两组捐款人数的比为：，请结合以上信息答案下列问题．
组别 捐款额元 入数
______ ，本次调查的样本容量是______ ；
补全“捐款人数分组统计图”；
若记组捐款的平均数为，组捐款的平均数为，组捐款的平均数为，组捐款的平均数为，组捐款的平均数为，若一个学校共有人参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额为多少．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：，两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．
求点的“倾斜系数”的值；
若点的“倾斜系数”，且，求的长；
如图，边长为的正方形沿直线：运动，是正方形上任意一点，且点的“倾斜系数”，请直接写出的取值范围．
22. 本小题分
某商店购进、两种商品，购买个商品比购买个商品多花元，并且花费元购买商品和花费元购买商品的数量相等．
求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
商店准备购进、两种商品共个，若商品的数量不少于商品数量的倍，那么本次进货商店花费成本最低为多少元？
23. 本小题分
如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点作，，垂足分别为、．
求证：；
若______时，四边形是正方形，并说明理由．
24. 本小题分
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高皮为米，表中记录了与的五组数据：
米
米
在如图网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
水柱最高点与水管的水平距离为米，则 ______ ，并求与函数表达式；
公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由．
25. 本小题分
如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是，是过点的直线，分别交、于点、，且在运动过程中始终保持，连接、、，交于点，两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题：
证明：是上的不动点，并确定其位置；
设五边形的面积为，求关于的函数关系式；
是否存在某一时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从上往下看，易得一个长方形．
故选D．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2.【答案】
【解析】解：，
，
的相反数是．
故选：．
先根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，再根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
3.【答案】
【解析】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在附近，
白球出现的概率为，
再摸次，摸出白球的次数会接近次，正确，其他错误．
故选D．
观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在某一常数附近，可以用此常数表示白球出现的概率，从而确定正确的选项．
本题考查了利用频率估计概率的知识，观察随着实验次数的增多而逐渐稳定在某个常数附近即可．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．
首先利用平移的性质得到，进而利用关于轴对称点的性质得到，即可得出答案．
【解答】
解：如图所示：点的对应点的坐标是：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，
，
，故正确，
，
，
，
故错误，
，，
，
，
，故正确．
故选：．
首先取的中点，连接，，由，易得，继而证得，又由圆周角定理，可得，．
此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】
【解析】解：过点作于，如图所示：
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，
，
是中点，
，
在中，，，，
，，
由折叠的性质得：，
在中，，
由勾股定理得：
，
解得：；
故选：．
过点作于，根据直角三角形的性质求出、的长，由折叠的性质得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了折叠变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质以及勾股定理等知识；关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
8.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，即，所以正确；
抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为，
，即，所以错误；
抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，所以错误；
，，
，即，所以正确；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，所以正确．
综上所述，正确的有共个．
故选：．
根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，即可判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以，即可判断；把代入可对进行判断；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故答案为：．
根据给定的图即可建立等量关系．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
12.【答案】或
【解析】解：若，则这组数据为，，，，，其众数为，中位数为，不符合题意；
若，则这组数据为，，，，，其众数为，中位数为，符合题意；
这组数据的平均数为，
其方差为；
若，则这组数据为，，，，，其众数为，中位数为，符合题意；
这组数据的平均数为，
其方差为；
若，则这组数据为，，，，，其众数为，中位数为，不符合题意；
综上，这组数据的方差为或．
先根据这组数据的众数等于中位数得出的值，再求出这组数据的平均数，最后利用方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差、中位数和众数，解题的关键是根据众数等于中位数确定的值，并熟练掌握方差的定义和计算公式．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于点．
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为．
先根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出平分，求出，即可求出扇形的面积，然后求出、的长，得出三角形的面积，阴影部分的面积即为三角形的面积和扇形的面积之和．
本题考查了扇形面积与三角形的面积，熟练运用特殊直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，，
四边形为矩形．
为等腰直角三角形，
，．
在和中，
，
≌，
，．
在和中，
，
≌，
．
矩形为正方形，
的结论正确；
为等腰直角三角形，
，．
，
．
在和中，
，
≌，
的结论正确；
，，是上的任意两点，
，
不一定成立，
不正确；
，，
，
，
∽，
，
．
的结论正确．
综上，正确结论有：．
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用矩形的判定定理可得四边形为矩形，再利用正方形的判定定理解答即可得出的结论正确；利用全等三角形的判定定理解答即可得出的结论正确；利用，是上的任意两点，与不一定恒等，结合勾股定理即可得出的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质解答即可得出的结论正确．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：如图，点为所作．

【解析】作的平分线与线段的垂直平分线交于，则点到和的距离相等，而，于是根据三角形面积公式，可判断．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
16.【答案】解：
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
的取值范围是且，
【解析】根据分式混合运算的法则计算即可；
根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，，再计算即可．
本题考查了分式混合运算，根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，注意方程若为一元二次方程，则．
17.【答案】解：记可回收物桶为，厨余垃圾桶为，有害垃圾桶为，其他垃圾桶为．
由表可知共有种等可能结果，其中甲、乙两人至少有一人扔对垃圾的有种结果，
甲、乙两人至少有一人扔对垃圾的概率为．
【解析】首先利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：当时，设直线解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故直线解析式为：，
当时，设反比例函数解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故反比例函数解析式为：；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，
下降阶段的函数关系式为．
当，则，
解得：，
当，则，
解得：，
小时，
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时．
【解析】分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
利用分别得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
19.【答案】解：该公司的广告牌符合要求，
理由：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，
山坡的坡度：，
，
在中，，
，
米，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
米米，
该公司的广告牌符合要求．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，再根据已知可得：在中，，从而可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得米，米，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
本次调查样本的容量是：，
故答案为：，；
组的人数为，
组的人数为，
组的人数为，
补全统计图如下：
组对应百分比为，
组对应的百分比为，
抽查的人的平均捐款数为元，
则估计此次活动可以筹得善款的金额为元．
答：估计此次活动可以筹得善款的金额为元．
由组人数为且、两组捐款人数的比为：可得的值，用、组人数和除以其所占百分比可得总人数；
先求出、、组人数，继而可补全图形；
先求出抽查的人平均捐款数，再乘以总人数可得．
此题考查的是条形统计图的综合运用，加权平均数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21.【答案】解：由题意得：，，
故；
，则或，
当时，由，则，
解得：，则，
即点；
当时，
同理可得，点，
则；
设点，则点、、的坐标分别为、、，
当的“倾斜系数”时，临界点为点、，
当点和点重合时，即，则，
此时，；
当点和点重合时，即，则，
此时，；
故．
【解析】由题意得：，，即可求解；
，则或，再分别求解即可；
当点和点重合时，即，则，此时，；当点和点重合时，即，则，此时，，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、新定义等，其中、，要注意分类求解，避免遗漏．
22.【答案】解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买一个商品需要元，购买一个商品需要元；
设购买商品个，则购买商品个，
依题意得：，
解得：，
设进货成本为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
答：本次进货商店花费成本最低为元．
【解析】设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据花费元购买商品和花费元购买商品的数量相等，列出分式方程，解解方程即可；
设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的倍，列出一元一次不等式，解得，再设进货成本为元，则，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
23.【答案】
【解析】证明：对角线平分，
，
在和中，
，
≌，
；
当时，四边形是正方形，
理由如下：，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
矩形是正方形，
故答案为：．
根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明≌，由全等三角形的性质即可得到：；
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
24.【答案】
【解析】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
由图可得函数顶点为，
水柱最高点距离湖面的高度为米，
，
故答案为：；
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到约米才能符合要求．
建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
设函数表达式为，先由图得到函数顶点为，再将代入计算即可；
根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
25.【答案】证明：由题意可知：，，
在矩形中，
，，，，
在中，，
，
又，
在中，，
，即，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
位置与无关，且与距离为．
解：过点作，交于点，交于点，
，
∽，且相似比为：，
，
，，
，则，
：，
：，
，
，
，
：：，
，
，
，，则，
，
，
．
解：当时，点在的垂直平分线上，
过点作，垂足为，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
又，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
当时，即，
解得，，
不存在这样的时刻，使得点在的垂直平分线上．
【解析】表示出，，证出∽，求得，即可证明点的位置与无关，且与距离为；
过点作，交于点，交于点，先求出，再根据高相等的两个三角形的面积等于底边长的比，求出，同理求出，再求出，利用，即可求出关于的函数关系式；
由题意可知当时，点在的垂直平分线上，过点作，垂足为，表示出，，建立方程，解得，，即可证明不存在这样的时刻，使得点在的垂直平分线上．
本题为相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，利用代数式表示出相关线段的长度及图形的面积是解答本题的关键．
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2023年山东省青岛市莱西市中考数学二模试卷（含解析）