2023年河南省信阳市罗山县定远初级中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省信阳市罗山县定远初级中学中考数学三模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．4的平方根是（　　）
A． 2 B．2 C．±2 D．16
2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．以下问题，不适合采用全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
4．下列计算，正确的是（　　）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．若点（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函数y＝图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（　　）
A．5000（1+x）2＝22500
B．5000（1﹣x）3＝22500
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），按以下步骤作图：①分别以点A，O为圆心，OA长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点B，连接AB，OB；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在AB右侧交于点P，连接OP，交AB于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（，3）
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之“，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果体重减少3kg记作﹣3kg，那么体重增加5kg，则记作 　 　kg．
12．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，则DF的值是 　 　．
13．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，至少让一个小灯泡发光的概率是 　 　．
14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算．
（2）解分式方程：．
17．（9分）某篮球训练营在一次投篮训练中，A组的20名运动员均参加训练，训练方式为每人定点投篮10次，以命中次数作为训练成绩．据统计，此次投篮训练的成绩如表：
命中次数（次） 4 5 6 7 8 9
人数（人） 2 4 5 6 2 1
（1）已知这20名运动员此次训练成绩的平均数是6.25、中位数是b、众数是c，直接写出b、c的值；
（2）若A组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是 　 　．（填“平均数”、“众数”、“中位数”）
（3）已知B组的20名运动员在本次训练中的成绩统计如表：
平均数 中位数 众数
6.5 6.5 7
你认为哪组运动员本次的训练成绩更好？为什么？
18．（9分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点P作切线PB、PC，交⊙O于点B和点C，连接CA、CO和CD．
（1）求证CA∥PO．
（2）填空：
①当∠PCD＝　 　°时，四边形CAOD为菱形；
②当∠PCD＝　 　°时，四边形COBP为正方形．
20．（9分）某学习小组在数学活动课上设计了一个问题情境．
已知林茂的家、体育场、文具店在同一条直线上，林茂从家匀速跑步15min到体育场，在体育场锻炼了一阵后又匀速走到文具店买笔，然后再匀速走回家．给出的图象反映了这个过程中林茂离家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：
①体育场到文具店的距离为 　 　km；
②林茂从文具店到家的行进速度为 　 　km/min；
③当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间为 　 　min；
（2）当15≤x≤45时，请求出y关于x的函数解析式．
21．（9分）如图，抛物线y＝ax2+2x﹣3a与y轴交于点A，当x＝1时，函数y有最大值，点B（4，4），点B关于原点的对称点为B'，直线BB'与抛物线交于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线和直线BB'的上方一动点，若抛物线在直线BB'上方的部分与直线BP有公共点，求点P纵坐标y的取值范围．
22．（10分）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝6cm，AB＝8cm．P是线段AB上一动点，取BC的中点D，连接PC，PD．
小刚根据学习函数的经验，对线段AP，PD，PC的长度之间的关系进行探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整：
（1）观察计算：根据点P在线段AB上的不同位置，通过取点，画图和测量，得到了AP，PD，PC的长度（单位：cm）的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9
AP 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
PD 6.4 5.5 4.6 3.8 a 2.5 2.2 2.5 3.0
PC 6.0 5.4 4.9 4.6 4.5 4.6 4.9 5.4 6.0
（2）操作发现：
①在AP，PD，PC的长度这三个量中，确定 　 　的长度为自变量，　 　的长度和 　 　的长度分别都为这个自变量的函数．
②当P为AB的中点时，PD的长是一个固定的值．请求出表中a的值为 　 　．
（3）描点画图：在同一平面直角坐标系xOy中，根据（1）表格中的数据，画出所确定的函数图象．
（4）解决问题：直接写出：当△PCD为等腰三角形时，线段PD的长度的近似值．（结果保留一位小数）
23．（10分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
2023年河南省信阳市罗山县定远初级中学中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．4的平方根是（　　）
A． 2 B．2 C．±2 D．16
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根为±2，
故选：C．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意；
②、是中心对称图形，故本选项符合题意；
③、是中心对称图形，故本选项符合题意；
④、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．以下问题，不适合采用全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，应当全面调查，故本选项不合题意；
B、旅客上飞机前的安检，应当采用全面调查，故本选项不合题意；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试，应当全面调查，故本选项不合题意；
D、了解全市中小学生每天的零花钱．，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
4．下列计算，正确的是（　　）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据去括号法则判断即可；选项C根据完全平方公式判断即可；选项D根据平方差公式判断即可．
【解答】解：A．m+m＝2m，故本选项不合题意；
B．2（m﹣n）＝2m﹣2n，故本选项不合题意；
C．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本选项不合题意；
D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，去括号法则，完全平方公式以及平方差公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是1＜x≤3，
在数轴上表示为：．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．若点（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函数y＝图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】先判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵0＜2＜3，
∴点（2，y2），（3，y3）位于第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∵﹣6＜0，
∴点（﹣6，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论．
【解答】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：
则这个几何体的左视图的面积为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查三视图的知识，根据俯视图作出左视图是解题的关键．
8．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（　　）
A．5000（1+x）2＝22500
B．5000（1﹣x）3＝22500
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
【分析】根据题意分别表示出2月5日和2月6日的销量，进而相加得出等式即可．
【解答】解：根据题意可得：
2月5日的销量为：5000（1+x），
2月6日的销量为：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出2月6日的销量是解题关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），按以下步骤作图：①分别以点A，O为圆心，OA长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点B，连接AB，OB；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在AB右侧交于点P，连接OP，交AB于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（，3）
【分析】利用作法得到OB＝AB＝OA＝4，PB＝PA，则可判断△OAB为等边三角形，所以∠BAO＝60°，再判断OP垂直平分AB得到AC＝AB＝2，过O点作OH⊥OA于H，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出AH＝1，CH＝，所以OH＝3，从而得到C点坐标．
【解答】解：由作法得OB＝AB＝OA＝4，PB＝PA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵OB＝OA，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，
∴AC＝AB＝2，
过O点作OH⊥OA于H，如图，
在Rt△ACH中，∵AH＝AC＝1，
∴CH＝AH＝，
∴OH＝OA﹣AH＝3，
∴C点坐标为（3，）．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质．
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之“，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果体重减少3kg记作﹣3kg，那么体重增加5kg，则记作 　+5　kg．
【分析】增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解．
【解答】解：如果体重减少3kg记作﹣3kg，那么体重增加5kg，则记作+5kg．
故答案为：+5．
【点评】本题考查了学生对正负数意义理解与掌握，用正负数表示两种具有相反意义的量．
12．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，则DF的值是 　6　．
【分析】根据平行线分线段成比例得，即可得出DF值．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴即，
∴DF＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，至少让一个小灯泡发光的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，至少让一个小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有4种，
∴至少让一个小灯泡发光的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是　8﹣π　．
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝，
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
＝×5×2+×2×3+﹣
＝8﹣π，
故答案为：8﹣π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　．
【分析】过点D作DF∥AE，根据平行线分线段成比例定理可得则＝＝，根据已知＝，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，即可求出此时△ABO的最大面积．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算．
（2）解分式方程：．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣2
＝+2﹣2
＝2﹣；
（2）去分母得：x﹣2＝4（x﹣1），
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝．
【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
17．（9分）某篮球训练营在一次投篮训练中，A组的20名运动员均参加训练，训练方式为每人定点投篮10次，以命中次数作为训练成绩．据统计，此次投篮训练的成绩如表：
命中次数（次） 4 5 6 7 8 9
人数（人） 2 4 5 6 2 1
（1）已知这20名运动员此次训练成绩的平均数是6.25、中位数是b、众数是c，直接写出b、c的值；
（2）若A组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是 　中位数　．（填“平均数”、“众数”、“中位数”）
（3）已知B组的20名运动员在本次训练中的成绩统计如表：
平均数 中位数 众数
6.5 6.5 7
你认为哪组运动员本次的训练成绩更好？为什么？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义分别求解；
（2）根据中位数、众数、平均数的定义解答即可；
（3）根据两组成绩的众数，中位数和平均数解答即可．
【解答】解：（1）这20名运动员此次训练成绩从小到大排列，排在最中间的两个数分别为6、6，故中位数b＝＝6，
∵7出现的次数最多，故众数c＝7；
（2）若A组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是中位数；
故答案为：中位数；
（3）B组成绩更好；理由：两组成绩的众数均相同，但B组的平均数、中位数较大，说明B组运动员的平均成绩及中等偏上的成绩更好．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，用到的知识点是：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数；平均数＝总数÷个数；需注意一组数据的众数可能不止1个，也可能没有众数．要学会用适当的统计量分析问题．
18．（9分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点P作切线PB、PC，交⊙O于点B和点C，连接CA、CO和CD．
（1）求证CA∥PO．
（2）填空：
①当∠PCD＝　30　°时，四边形CAOD为菱形；
②当∠PCD＝　22.5　°时，四边形COBP为正方形．
【分析】（1）由切线的性质得出PC＝PB，∠PCO＝∠PBO＝90°，证明Rt△PCO≌Rt△PBO（HL），由全等三角形的性质得出∠POC＝∠POB，证出∠A＝∠POB，则可得出结论；
（2）①证明△OCD为等边三角形，得出∠COD＝60°，同理证出△OAC为等边三角形，得出AC＝OA＝OA＝OC＝CD＝OD，根据菱形的判定可得出结论；
②证出四边形COBP为矩形，根据正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵PB，PC为⊙O的切线，
∴PC＝PB，∠PCO＝∠PBO＝90°，
∴Rt△PCO≌Rt△PBO（HL），
∴∠POC＝∠POB，
又∵AO＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COB＝∠A+∠ACO，
∴∠A＝∠POB，
∴CA∥PO；
（2）解：①当∠PCD＝30°时，四边形CAOD为菱形，
∵∠PCD＝30°，∠PCO＝90°，
∴∠OCD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
又∵AC∥OP，
∴∠ACO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴AC＝OA＝OA＝OC＝CD＝OD，
∴四边形CAOD为菱形．
故答案为：30；
②当∠PCD＝22.5°时，四边形COBP为正方形，
∵∠PCD＝22.5°，∠PCO＝90°，
∴∠DCO＝67.5°，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，
∴∠COD＝45°，
∴∠POB＝45°，
∴∠COB＝90°，
∵∠PCO＝∠PBO＝90°，
∴四边形COBP为矩形，
∵OC＝OB，
∴四边形COBP为正方形．
故答案为：22.5．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
20．（9分）某学习小组在数学活动课上设计了一个问题情境．
已知林茂的家、体育场、文具店在同一条直线上，林茂从家匀速跑步15min到体育场，在体育场锻炼了一阵后又匀速走到文具店买笔，然后再匀速走回家．给出的图象反映了这个过程中林茂离家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：
①体育场到文具店的距离为 　1　km；
②林茂从文具店到家的行进速度为 　　km/min；
③当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间为 　12min或37.5　min；
（2）当15≤x≤45时，请求出y关于x的函数解析式．
【分析】（1）①根据图象中的数据，可以计算出体育场到文具店的距离；
②根据图象中的数据，可以计算出林茂从文具店到家的行进速度；
③根据图象中的数据，可以计算出当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间；
（2）根据图象中的数据，可以计算出当15≤x≤45时，y关于x的函数解析式．
【解答】解：（1）由图象可得，
①体育场到文具店的距离为：2.5﹣1.5＝1（km），
故答案为：1；
②林茂从文具店到家的行进速度为：1.5÷（90﹣65）＝（km/min），
故答案为：；
③当0＜x＜15时，林茂的速度为：2.5÷15＝（km/min），
2÷＝12（min）；
当30＜x＜45时，林茂的速度为：（2.5﹣1.5）÷（45﹣30）＝（km/min），
30+（2.5﹣2）÷＝37.5（min）；
由上可得：当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间为12min或37.5min，
故答案为：12min或37.5；
（2）由图象可得，
当15≤x＜30时，y＝2.5；
当30≤x≤45时，设y关于x的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（30，2.5），（45，1.5）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当30≤x≤45时，y关于x的函数解析式是y＝﹣x+4.5；
由上可得，当15≤x≤45时，y关于x的函数解析式是y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
21．（9分）如图，抛物线y＝ax2+2x﹣3a与y轴交于点A，当x＝1时，函数y有最大值，点B（4，4），点B关于原点的对称点为B'，直线BB'与抛物线交于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线和直线BB'的上方一动点，若抛物线在直线BB'上方的部分与直线BP有公共点，求点P纵坐标y的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1求出a的值，代入解析式即可；
（2）先确定直线BB'的解析式为y＝x，然后联立抛物线和直线的解析式求出点M的坐标，
【解答】解：（1）∵当x＝1时，函数y有最大值，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵B（4，4），点B关于原点的对称点为B'，
∴点B'的坐标为（﹣4，﹣4），
∵直线BB'经过原点，
设直线BB'的解析式为y＝kx，
∵B（4，4），
∴4k＝4，
解得k＝1，
∴直线BB'的解析式为y＝x，
∵直线BB'与抛物线交于点M，
∴，
解得，，
∴点M的坐标为，
∵当x＝1时，抛物线y有最大值4，
∴符合要求的点P的纵坐标的最小值应大于，
综上所述：．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（10分）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝6cm，AB＝8cm．P是线段AB上一动点，取BC的中点D，连接PC，PD．
小刚根据学习函数的经验，对线段AP，PD，PC的长度之间的关系进行探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整：
（1）观察计算：根据点P在线段AB上的不同位置，通过取点，画图和测量，得到了AP，PD，PC的长度（单位：cm）的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9
AP 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
PD 6.4 5.5 4.6 3.8 a 2.5 2.2 2.5 3.0
PC 6.0 5.4 4.9 4.6 4.5 4.6 4.9 5.4 6.0
（2）操作发现：
①在AP，PD，PC的长度这三个量中，确定 　AP　的长度为自变量，　PD　的长度和 　PC　的长度分别都为这个自变量的函数．
②当P为AB的中点时，PD的长是一个固定的值．请求出表中a的值为 　3　．
（3）描点画图：在同一平面直角坐标系xOy中，根据（1）表格中的数据，画出所确定的函数图象．
（4）解决问题：直接写出：当△PCD为等腰三角形时，线段PD的长度的近似值．（结果保留一位小数）
【分析】（2）①根据变量的定义即可求解；
②等腰三角形底边上的中线即为底边的高，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（3）依据表格中的数据描点、连线即可；
（3）分情况并结合图形进行求解即可．
【解答】解：（2）①根据变量的定义：AP的长度为自变量，PD的长度和 PC的长度分别都为这个自变量的函数．
故答案为：AP，PD，PC；
②∵点P为AB的中点，CA＝CB，
∴CP⊥AB，
∵点D是BC的中点，
在Rt△CPB中，PD＝BC＝3，
故答案为：3．
（3）函数图象如图所示：
（4）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝3cm，
若△PCD是等腰三角形，有以下两种情况：
当PD＝CD时，PD＝3cm，
当PC＝PD时，观察（3）中图象可知，PD≈5.2cm，
故线段PD的长约为5.2cm或3cm．
【点评】本题考查了动点函数图象问题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
23．（10分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

2023年河南省信阳市罗山县定远初级中学中考数学三模试卷（含解析）