2023年广西柳州市城中区中考数学四模试卷（含解析）

2023年广西柳州市城中区中考数学四模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数，，，中，最大的数是( )
A. B. C. D.
2. 下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 激昂奋进新时代，推进中国式现代化，年全国两会公布了年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为，，，，单位：万亿，这五个数据的中位数是( )
A. B. C. D.
5. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
6. 某个物体的三视图形状、大小相同，则这个物体可能是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球
7. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 必经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 两个分支关于原点成中心对称
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
8. 在函数中，自变量的取值范围是______ ．
9. 因式分解：______．
10. 正方形网格中，如图放置，则的值为______．
11. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______．
12. 在个同学中，至少有二个同学同月份生日的概率是______ ．
13. 如图，直线为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为______
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
15. 本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答：
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．
16. 本小题分
本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
学校参加本次测试的人数有 人，参加“排球垫球”测试的人数有 人，“篮球运球”的中位数落在 等级；
今年参加体育中考的人数约为万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由；
学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
17. 本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；
以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；
直接写出的面积，及，的坐标．
18. 本小题分
“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】下表是实验记录的圆柱体容器液面高度厘米与时间小时的数据：
时间小时
圆柱体容器液面高度厘米
在如图所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午：，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是几点？
19. 本小题分
某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高元，用元购进甲品牌洗衣液的数量是用元购进乙品牌洗衣液数量的销售时，甲品牌洗衣液的售价为元瓶，乙品牌洗衣液的售价为元瓶．
求两种品牌洗衣液的进价；
若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
20. 本小题分
如图，点是以为直径的上一点，点是的延长线上一点，在上取一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若点是的中点，，，求的长．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
求抛物线的函数表达式；
当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据正数大于，大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】
解：，
四个实数中，最大的实数是．
故选B．

2.【答案】
【解析】解：，、选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】
【分析】
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】
解：将这组数据从小到大排列为，，，，，
这组数据的中位数为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：用科学记数法可以表示得：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
6.【答案】
【解析】解：、圆柱的主视图、左视图、俯视图分别是长方形、长方形、圆，故A错误；
B、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆及中间一个点，故B错误；
C、三棱柱的主视图、左视图、俯视图分别是矩形、矩形、三角形，故C错误；
D、球体的三视图都是圆，故D正确．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，据此可得一个物体的三视图都相同的物体．
本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．注意球体的三视图均为圆．
7.【答案】
【解析】解：、把代入得：左边右边，故本选项错误；
B、，图象在第一、三象限，故本选项错误；
C、沿轴对折不重合，故本选项错误；
D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；
故选：．
把代入得到左边右边；，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得，．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于可知：，解得的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为．
10.【答案】
【解析】
【分析】
根据正切定义，进行计算即可．
此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
【解答】
解：如图，过点作于点，
由图可知，，
，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数是，
则，
解得：．
则这个多边形的边数是．
故答案为：．
边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
考查了多边形的内角和，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解即可．
12.【答案】
【解析】解：一年有个月份，
在个同学中，至少有二个同学同月份生日是必然事件，
在个同学中，至少有二个同学同月份生日的概率是．
故答案为：．
个同学中至少有两个同学的生日在同一个月是必然事件，据此可求概率．
本题考查了概率求法，事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，必然事件发生的概率为，即必然事件；不可能事件发生的概率为，即不可能事件；如果为不确定事件随机事件，那么．
13.【答案】，
【解析】解：直线为，点，轴，
当时，，
即，
，
，，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
同理可得，，，，
点的坐标为，
故答案为：，．
依据直线为，点，轴，可得，同理可得，，，，依据规律可得点的坐标为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
14.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：解不等式，得，
故答案为：．
解不等式，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，
系数化为得，，
故答案为：．
把不等式和的解集在数轴上表示出来如图所示：
．
根据中解集，可知不等式组的解集为，
故答案为：．
解不等式，填空即可；
解不等式，填空即可；
根据不等式的解集，再数轴上表示出即可；
根据数轴上的解集的公共部分，确定不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确利用数轴确定不等式组的解集．
16.【答案】 良好
【解析】解：参加“篮球运球”测试的人数有人，
学校参加本次测试的人数有人．
参加“排球垫球”测试的人数有人．
“篮球运球”的个数据按从小到大排列后，第个数据落在“良好”等级，
“篮球运球”的中位数落在良好等级．
故答案为：；；良好．
能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数．
万人，
今年全市选择“篮球运球”的考生大约会有万人．
设两名男生和两名女生分别记为，，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽取到一名男生和一名女生的结果有：，，，，，，，，共种，
恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为．
求出“篮球运球”的学生人数，用“篮球运球”的学生人数除以其所占的百分比可得参加本次测试的人数；根据扇形统计图求出“排球垫球”的百分比，再乘以参加本次测试的人数可得参加“排球垫球”测试的人数；根据中位数的定义可得答案．
根据用样本估计总体，用万乘以扇形统计图中“篮球运球”的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及用样本估计总体是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
的面积；
的坐标为；的坐标为．
【解析】利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
延长到使，延长到使，从而得到；
利用三角形面积公式的面积，然后利用、中所画图形写出，的坐标．
本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
18.【答案】解：描出各点，并连接，如图所示：
由图象可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与之间的函数表达式为；
当时，
，
解得，
，
即圆柱体容器液面高度达到厘米时是上午：．
【解析】根据表格中的数据，可以在图所示的直角坐标系中描出各点，并用光滑的线连接起来；
根据中画出的图象，可知该函数为一次函数，然后根据待定系数法求出函数解析式即可；
将代入中的解析式，求出相应的的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：设甲品牌洗衣液每瓶的进价是元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是元．
设可以购买甲品牌洗衣液瓶，则可以购买瓶乙品牌洗衣液，设销售利润为元，
依题意得：，
解得：．
依题意得：，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，．
瓶，
答：超市应购进甲品牌洗衣液瓶，乙品牌洗衣液瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是元．
【解析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
设甲品牌洗衣液每瓶的进价是元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是元，根据数量总价单价，结合用元购进的甲品牌洗衣液的数量是乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设可以购买甲品牌洗衣液瓶，则可以购买瓶乙品牌洗衣液，设销售利润为元，根据总价单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可得出结论．
20.【答案】证明：连接，如图所示，
，为的直径，
，，
，，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
是的切线；
解：由知，是的切线，
，
，，，
，
即，
解得，
，
，
点为的中点，，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
即的长是．
【解析】要证明是的切线，只要证明即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到，从而可以证明结论成立；
根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得和的长，从而可以得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：将、代入，
得，
，
；
过点作轴的垂线交直线于点，
，
当时，，
，
设直线的解析为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，
此时；
、，
，
抛物线沿射线方向平移个单位，
抛物线沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
当、为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当、为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当、为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或
【解析】将、代入，即可求解；
过点作轴的垂线交直线于点，设，则，由，则，即可求解；
求出平移后的抛物线解析式，设，，分三种情况讨论：当、为平行四边形的对角线时；当、为平行四边形的对角线时；当、为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，分别利用中点坐标公式求出点坐标即可．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线分线段成比例的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
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