【同步训练】浙教版2023-2024数学九年级上册第1章二次函数 1.2二次函数的图像（2）（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考）（含解析）

浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.2 二次函数的图像（2）
【知识重点】
二次函数y=a（x-m）2的图像
1．二次函数y= a（x-m）2 的图象是 抛物线 ，它与抛物线y= ax2的 形状 相同，只是 位置 不同；它的对称轴为直线 x=m ， 顶点坐标为 (m,0) ．
2．二次函数y= a（x-m）2的图象可由抛物线y= ax2 平移 得到。当m>0时，抛物线y= ax2向 右 平移m个单位得y= a（x-m）2；当m<0时，抛物线y= ax2向 左 平移-m个单位得y= a（x-m）2 。
二次函数y=a(x-m)2+k的图像
1．二次函数y=a（x-m）2+k的图象是 抛物线 ，它与抛物线y= ax2的 形状 相同，只是 位置 不同；其对称轴为直线 x=m ，顶点坐标为__(m, k) 。
2．二次函数y=a（x-m）2+k，当a>0时，开口向 上 ，有最 小 值为 k ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减少 ，右侧相反；当a <0时，恰好相反。
3．把抛物线y= ax2向左（或右），向上（或下）平移，可得到抛物线y=a（x-m）2+k，其平移方向和距离由 m ，k 值决定．
【经典例题】
【例1】对于函数的图像，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交
【答案】D
【解析】函数的图像是开口向下的抛物线，最大值为0，对称轴为直线，图像与y轴有交点，故答案为：A 、B 、C正确，选项D不正确，符合题意，
故答案为：D.
【例2】下列对于二次函数图象描述中，正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
【答案】B
【解析】A.∵，
∴抛物线开口向下，故答案为：错误，不符合题意；
B. 抛物线的对称轴是y轴，故答案为：正确，符合题意；
C. ∵，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线图象有最高点；
故答案为：错误，不符合题意；
D. ∵开口向下，抛物线的对称轴是y轴，
∴当时，y随着x的增大而减小，
即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，
故答案为：错误，不符合题意.
故答案为：B.
【例3】关于抛物线，下列说法正确的是(　　)
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
【答案】D
【解析】∵抛物线 的对称轴直线是x=-2，二次项系数a=＞0，
∴图象开口向上，
∴当x=-2时，有最小值3.
故答案为：D.
【例4】二次函数的顶点坐标是　 　.
【答案】（-4，6）
【解析】二次函数的顶点坐标是为，
故答案为：.
【例5】指出函数y=的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=？
【答案】解：由y=得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；
∵抛物线y=的顶点坐标是（0，0），
∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1），
∴抛物线y=向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=．
【例6】抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），且经过点（2，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向上平移3个单位，向左平移2个单位，直接写出平移后的抛物线解析式．
【答案】（1）解：设该抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2﹣1（a≠0），
把（2，0）代入，得
0=a（2﹣3）2﹣1，
解得a=1．
所以该抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，所以将（1）中抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣3+2）2﹣1+3=（x﹣1）2+2，即y=（x﹣1）2+2
【基础训练】
1．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为y=-(x+1)2-3.
故答案为：C.
2．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】A、二次函数y=-（x+2）2-3中，二次项系数a=-1＜0，∴函数图象的开口向下，故此选项正确，不符合题意；
B、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，故此选项错误，符合题意；
C、二次函数y=-（x+2）2-3中，顶点坐标为（-2，-3），在第三象限，且函数图象的开口向下，所以抛物线与x轴没有交点，故此选项正确，不符合题意；
D、二次函数y=-（x+2）2-3中，对称轴直线是x=-2，∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
3．二次函数的图象可由下列哪个函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】二次函数y=x2-1的图象向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到y=(x+1)2-1+2，即为y=(x+1)2+1.
故答案为：B.
4．在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中错误的是（　　）
A．开口方向相同； B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同．
【答案】D
【解析】把抛物线向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为0，一个为-3；
故答案为：D．
5．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】将，代入，
得：，，
∴．
故答案为：A．
6．抛物线向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【解析】 将抛物线向左平移1个单位后抛物线为 ；
故答案为： .
7．将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【解析】 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为 ： ，
故答案为：.
8．在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是　 　.
【答案】
【解析】将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即.
故答案是∶.
9．用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.
【答案】解：∵ ，
∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13.
10．已知抛物线的顶点为 ，且经过点 ，试确定该抛物线的函数表达式．
【答案】解： 抛物线的顶点为 ， 可设函数表达式为 ，
抛物线经过点 ， ， ，
所求抛物线的函数表达式为 ．
11．二次函数y＝－3x2平移后得到得新函数图象与y轴交点纵坐标为3，对称轴为直线x＝2，求这个新函数的解析式．
【答案】解：设新的函数解析式为： ，
∵平移后与y轴交点纵坐标为3，
∴c=3，
∵对称轴为直线x＝2，
∴ ，
∵a=-3，
∴b=12，
∴新函数解析式：
12．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
【答案】解：如图，
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【培优训练】
13．已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】∵抛物线y=（x-1）2-2，
∴该抛物线的对称轴直线是x=1，抛物线开口方向向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
A、如a＜0，b＜0，则b＜a＜c，故此选项错误，不符合题意；
B、如a＞0，b＜0，则b＜c＜a，故此选项错误，不符合题意；
C、如a＜0，b＞0，则a＜c＜b，故此选项正确，符合题意；
D、如a＞0，b＞0，则c＜a＜b，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
14．设二次函数y=ax2+c(a，c是常数，a<0)，已知函数的图象经过点(-2，p)，(，0)，(4，q)，设方程ax2+c+2=0的正实数根为m， (　　)
A．若p>1，q<-1，则2<m1，q<-1，则<m<4．
C．若p>3，q<- 3，则2<m3，q<-3，则<m<4
【答案】D
【解析】∵ ax2+c+2=0，
ax2+c=-2，
∵a＜0，抛物线的开口向下，关于y轴对称，
∴点 (，0)关于y轴的对称点为 (，0)，点(-2，p)关于y轴的对称点为（2，p），
∵方程ax2+c+2=0的正实数根为m，
∴二次函数y=ax2+c的图象与直线y=-2的右侧的交点的横坐标为m，
∴当-2＜q＜-1时，m＞4，故A，B不符合题意；
当p＞3，q＜-3时，<m<4，故C不符合题意；D符合题意.
故答案为：D
15． 已知点，，都在抛物线上，当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线，
抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故答案为：C.
16．在平面直角坐标系中，点、在抛物线上．当时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图像的最高点的纵坐标为3，则m的值为　 　．
【答案】
【解析】根据抛物线的解析式为，可得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2），
①当m<m+1<1时，，不符合题意；
②当m<1<m+1时， 抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图像的最高点的纵坐标不可能为3，不符合题意；
③当1<m<m+1时，函数值y随自变量x的增大而增大，所以当x=m+1时，函数值最大为3，即3=（m+1-1）2-2，解得m=±，
因为m>1，所以m=.
故答案为：.
17．以原点为中心，把抛物线的顶点顺时针旋转，得到的点的坐标为　 　．
【答案】(4，-3)
【解析】由抛物线可知顶点坐标为，所以该顶点关于原点顺时针旋转如图所示：
分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为点C、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点；
故答案为．
18．已知二次函数的图像与x轴交于点，则关于x的一元二次方程的解为　 　.
【答案】，
【解析】∵原抛物线与x轴交于，故其对称轴为直线，
∴抛物线即为，其对称轴为直线，
∴可以由前一个抛物线向左平移2个单位得到，相应地，把原抛物线与x轴的交点向左平移2个单位，分别得，
∴它所对应的一元二次方程的根为和.
故答案为：，.
19．已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是　 　．（用“<”表示）
【答案】
【解析】二次函数的图象的对称轴为直线x=2，
因为点到直线的距离最小，点到直线的距离最大，且抛物线的开口向上，
所以．
故答案为：．
20．已知下列函数①；②；③．其中图象通过平移可以得到函数的图象的是　 　．（填序号）
【答案】②
【解析】，
①的图象不能通过平移可以得到函数的图象，故①不符合题意；
②的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位可以得到函数的图象，故②符合题意；
③的图象不能通过平移可以得到函数的图象，故③不符合题意；
故答案为：②
21．已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
【答案】解：小明说法正确；理由如下：
因为
所以顶点是，
所以
所以，
∴顶点在直线上．
故小明说法正确．
22．如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点B.
（1）求h的值及点B的坐标.
（2）将该抛物线向右平移个单位长度后，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，若，求m的值.
【答案】（1）解：将代入抛物线中，
得：，解得：，
即：抛物线为：，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵抛物线向右平移个单位长度，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，
∴平移后抛物线，，
当时，，则
∵，
∴，整理得
解得：或（舍去）
∴.
23．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点．
（1）求二次函数的表达式，并画出图象；
（2）二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？若相交，求出它们的交点坐标：
（3）若二次函数的图象经过平移后过原点，可以怎样平移？
【答案】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴此二次函数的表达式为，即；
当时，，则抛物线与y轴交于，又抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线还经过点；
当时，由得，，则抛物线与x轴交于和，
画出该二次函数图象如图：
（2）解：由得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与一次函数的图象相交；
解方程得：，
当时，；当时，，
所以交点坐标为和；
（3）解：可将二次函数的图象向左平移1个单位长度或者向右平移2个单位长度得到的二次函数的图象经过原点
∵抛物线与x轴交于和，
∴可将二次函数的图象向左平移1个单位长度或者向右平移2个单位长度得到的二次函数的图象经过原点．
24．二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换.
（1）二次函数的顶点关于原点的对称点为　 　，这个抛物线的2阶变换的解析式为　 　；
（2）若二次函数M的5阶变换的关系式为.
①二次函数M的解析式为 ▲ ；
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标.
【答案】（1）（3，2）；
（2）解：①；
②令，
解得或0，
∴，
设直线的解析式为，
把和的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
如图，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点，则点，
∴，
∴当时，最小，最小值为，
∴当时，最小，此时，
∴.
【解析】（1）∵二次函数的顶点坐标为，
则该点关于原点的对称点为，
∴这个抛物线的2阶变换的表达式为，
故答案为：（3，2），；
（2）①∵，
∴，
∴的顶点坐标为，
∴二次函数M的顶点坐标为，
∴二次函数M的解析式为；
故答案为：；
【直击中考】
25．关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5
D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；
顶点坐标为（1，5），故选项B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故选项C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故选项D正确.
故答案为：D.
26．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故答案为：B
27．二次函数y=x 的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【解析】A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．
D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．
故答案为： C．
28．设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，(　　)
A．若h=4，则a0
C．若h=6，则a0
【答案】C
【解析】函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a*0)，对称轴是直线x=h，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时：
若a<0，
若a>0， >h时，满足x=8取到最大值y=8，即h<
故答案为：C
29．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（　　）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【解析】y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
30．在函数 中，当x＞1时，y随x的增大而 　 　.（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】由题意可知： 函数 ，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为 ，
∴当 时，y随的增大而增大，
故答案为：增大.
()