【人教版新七年级数学暑假辅导课（自学）必备】第01讲 有理数与数轴(原卷版+解析版)

第01讲 有理数与数轴
【人教版】
·模块一 正数和负数
·模块二 有理数的定义及分类
·模块三 数轴
·模块四 课后作业
1．用正负数表示相反意义的量：
我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．
【例】以上几个例子分别记为：和，元和元，米和米.
2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零；
3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、．
【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；
②数0既不是正数也不是负数．
【考点1 正数与负数的概念】
【例1.1】对于下列各数：，其中负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据负数的定义进行判断即可．
【详解】解：负数有：，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查负数的定义，解题的关键是掌握小于0的数是负数，其中0既不是正数也不是负数．
【例1.2】下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可．
【详解】（1）正数前加上一个负号就是负数，说法正确；
（2）不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数；
（3）只有带“”号的数才是正数，说法错误，如+（-2）是负数；
（4）既不是正数也不是负数，说法正确．
综合上述可得：说法正确有（1）、（4），共计2个．
故选：B．
【点睛】考查了正数与负数：像0.1、1、2、3…这样的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，既不是正数也不是负数．
【变式1.1】将下列各数填入相应的大括号内：
，，，，，，，，．
(1)正数：；
(2)负数：；
(3)既不是正数也不是负数：
【答案】(1)， ， ，；
(2)， ，，；
(3)0
【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合．
（1）正数{， ， ，…}；
故答案为：， ， ，；
（2）负数{， ，，…}；
故答案为：， ，，；
（3）既不是正数也不是负数：{ 0 }；
故答案为：0；
【点睛】本题考查了有理数，利用了有理数的分类．
【变式1.2】在、4.6、、、0、、、中，正数有________________________，负数有________________________．
【答案】 4.6、、 、、、
【分析】根据正数与负数的定义（正数就是大于0的数，负数就是小于0的数）即可得．
【详解】解：正数有4.6、、，
负数有、、、，
故答案为：4.6、、；、、、．
【点睛】本题考查了正数与负数，熟记正数与负数的定义是解题关键．
【考点2 具有相反意义的量及表示方法】
【例2.1】如果收入100元记作元，那么支出80元，记作（ ）
A．20元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】用正数和负数可以表示一对相反的量，如果收入记作正，那么支出记作负．
【详解】解：若收入100元记作元，
则支出80元，记作元，
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数的应用，用正数和负数表示一对相反的量是解题关键．
【例2.2】下面的四个选项表示的是检验4个工件时的记录，超过标准质量的记作正数，不足标准质量的记作负数，其中最接近质量标准的工件是（ ）
A． B． C．0.5 D．1.5
【答案】B
【分析】根据正负数的实际应用，作出判断即可．
【详解】解：最接近质量标准的工件是不足标准质量的工件，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是理解题意．
【变式2.1】2019年女排世界杯共12支队伍参赛.东道主日本11场比赛中6胜5负若记为+6，-5，那么夺得本届世界杯冠军的中国女排11战全胜可记为_____.
【答案】+11
【分析】根据胜记为+，负记为-即可求解.
【详解】解：因为胜记为+，所以中国女排11战全胜可记为+11.
故答案是：+11.
【点睛】本题考查了用正负表示具有相反意义的量，明确表示方法是关键.
【变式2.2】在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作0．某人在星期一到星期日这一周内的体温测量结果分别为37.1℃、36.7℃、37.2℃、37℃、36.4℃、36.5℃、36.6℃．试着参照检查人员的方法在表格内用正、负数表示这个人在这周内每天的体温．
【答案】列表见解析．
【分析】根据题意将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数即可．
【详解】列表如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
体温（℃） 0
【点睛】此题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【变式2.3】用正、负数表示下列语句中的数据：
（1）节约水，浪费水；
（2）向油罐车里注入汽油，放出汽油；
（3）南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，最低气温曾达到零下88.3℃．
【答案】（1）节约水记作；浪费水记作；（2）向油罐车里注入汽油记作；放出汽油记作；（3）南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，记作℃；最低气温曾达到零下88.3℃，记作℃．
【分析】用正负数可以表示具有相反意义的量，令其中一个量用正数表示，则它的相反意义的量用负数表示.
【详解】（1）若规定节约水为正，浪费水为负，则节约水记作；浪费水记作．
（2）若规定向油罐车里注入汽油为正，放出汽油为负，则向油罐车里注入汽油记作；放出汽油记作．
（3）若规定零上为正，零下为负，则南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，记作-56℃；最低气温曾达到零下88.3℃，记作℃．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
1．有理数：整数与分数统称为有理数．
2．有理数的分类：
（1）有理数按性质分类：
（2）有理数按符号分类
（3）小数的分类
【注】注意以下几个概念的区分：
非负数：正数和零；非正数：负数和零；
非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；
非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．
【考点1 有理数的概念及分类】
【例1.1】下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数不是整数就是分数．
B．正整数和负整数统称整数．
C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数．
D．0是最小的整数．
【答案】A
【分析】依据有理数的概念和分类进行回答即可．
【详解】解：A．一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故此选项符合题意；
B．正整数和负整数和0统称为整数，原说法错误，故此选项不符合题意；
C．正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．没有最小的整数，0是最小的自然数，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的概念和分类，掌握相关知识是解题的关键．
【例1.2】下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据有理数的概念解答即可．
【详解】解：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数有0，，101001001，，4.2，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
【例1.3】下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算得出答案即可；
【详解】根据计算可分析出A、C、D不能化成有限小数，B项；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分数化小数的计算，准确计算是解题的关键．
【变式1.1】在有理数中，整数一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：属于整数，
整数一共有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．
【变式1.2】在，，，，0，中，属于负分数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，进行判断即可．
【详解】解：在，，，，0，中，属于负分数的有：，共2个，
故选C．
【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握负分数的定义，是解题的关键．
【变式1.3】在有理数，，0，，5中，分数有 __________，非负整数有 __________．
【答案】 ，﹣1.2 0，5
【分析】根据有理数的分类进行填空即可．
【详解】分数有：，；
非负整数有：0，5．
故答案为：，；0，5．
【点睛】本题考查的是有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数是解题的关键．
【考点2 数的集合】
【例2.1】所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，图中阴影部分也表示一个集合，则这个集合包含的有理数可以是（ ）
A．0 B． C． D．5
【答案】B
【分析】直接利用负整数的定义分析得出答案．
【详解】解：阴影部分表示负整数，选项中只有符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数，正确把握相关定义是解题关键．
【例2.2】（1）如图，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．
3.5，，0，，，3，，．
（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示______的集合．
【答案】（1）见解析；（2）负分数
【分析】（1）根据负数和分数的概念即可得出答案；
（2）根据负数和分数的概念即可得出答案．
【详解】（1）负数为：，，，；
分数为：3.5，，，；
既是负数又是分数的为：，；
（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示负分数．
【点睛】本题考查了分数和负数的概念，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
【变式2.1】-8不属于下列集合中的（ ）
A．整数集合 B．负数集合 C．有理数集合 D．非负数集合
【答案】D
【分析】根据有理数的定义和分类解答即可．
【详解】解：﹣8是有理数，也是整数和负数，但不属于非负数．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的概念与分类，属于应知应会题型，掌握有理数的概念是关键．
【变式2.2】将下列各数填入所属的集合中：
0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5
正数集合：{__________________ …}；
整数集合：{__________________ …}；
分数集合：{__________________ …}；
负整数集合：{__________________ …}；
正分数集合：{__________________ …}
【答案】见解析
【分析】根据正数、整数、分数的概念，即可得出答案．
【详解】正数集合：；
整数集合：；
分数集合：；
负整数集合：；
正分数集合：；
【点睛】本题考查了正数、整数、分数的概念，掌握以上内容是解题的关键．
1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；
①原点：表示数0的点；
②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；
③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.
2．数轴的画法
（1）画一条水平直线；
（2）在这条直线上取一点作为原点；
（3）一般用箭头表示正方向；
（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．
【例】一个标准的数轴：
【注】画数轴的常见错误：
①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；
②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；
③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．
一些错误的数轴示例：
错误类型 错误示例
三要素缺失
单位长度不统一
方向不统一
3．数轴与有理数的关系
①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如．
②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；
③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数．
【考点1 数轴的概念与画法】
【例1.1】下列所示的数轴中，画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，即可解答．
【详解】解：A、没有正方向，故错误，不合题意；
B、单位长度不一致，故错误，不合题意；
C、符合数轴的定义，故正确，符合题意；
D、负数排列顺序不正确，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键．
【例1.2】下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
【答案】D
【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④
【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；
②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误；
③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．
【变式1.1】数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个______数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个_______数．
【答案】 负 正
【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可．
【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数，
故答案为：负；正
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征．
【变式1.2】一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是______．
【答案】
【分析】根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数．
【详解】解：因为墨迹最左端的实数是，最右端的实数是10.5，
根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是，最右侧的整数是，
所以遮盖住的整数共有个．
故答案是：．
【点睛】本题考查了数轴的有关内容，要求掌握在数轴上的基本运算．解决此题的关键是数轴上实数排列的特点．另外容易疏忽的是整数．
【考点2 用数轴上的点表示有理数】
【例2.1】如图所示，在数轴上，点表示原点，则点表示的数可能为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据点在数轴上的位置即可进行解答．
【详解】解：在原点的左边，
表示的数为负数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示未知数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点，原点左边表示负数，原点右边表示正数，原点表示0．
【例2.2】从原点向左个单位长度的点表示的数是____________.
【答案】
【分析】根据数轴的性质即可得．
【详解】解：从原点向左个单位长度的点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
【例2.3】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为2，则翻转5次后，数轴上表示5的点是（　　）
A．点C B．点D C．点A D．点B
【答案】B
【分析】根据题意可以发现每翻转四次为一个循环，可以得到翻转表示5时对应的字母．
【详解】解：∵由题意可得，每翻转四次为一个循环，对应的是CBAD，
∴5÷4＝1…1
∴翻转5次时对应的点表示的数是6，
∴数轴上数5对应的点是D．
故选B．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是找出问题中的规律，根据发现的规律可以推测出数轴上数5所对应的点．
【变式2.1】如图，数轴上点Q所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴上Q点的位置确定Q的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可．
【详解】解：由图可知：点Q在的右边，0的左边，
∴点Q表示的数大于，小于0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是数轴的特点，能根据数轴的特点确定出Q的取值范围是解答此题的关键．
【变式2.2】画出数轴，在数轴上表示下列各数．
，，，0，2.5
【答案】数轴见解析【分析】任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，据此在数轴上表示出这些数．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数．
【考点3 数轴上两点间的距离】
【例3.1】如图，点A表示的数是﹣3，则点A到原点的距离是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【答案】A
【分析】根据数轴上点的表示解答即可．
【详解】解：∵点A表示的数为﹣3，
∴点A到原点的距离为3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴上数的表示，准确分析判断是解题的关键．
【例3.2】在数轴上距离原点4个单位长度的点有_____个，它们所表示的数是_____．
【答案】 2 4或
【分析】根据数轴上点的特征，分在原点的左右两边两种情况解答．
【详解】解：若在原点的左边，距离原点4个单位长度的点表示的数是，
若在原点的右边，距离原点4个单位长度的点表示的数是4，
∴距离原点4个单位长度的点有2个，所表示的数是4或．
故答案为∶2；4或．
【点睛】本题考查了数轴的知识，注意分所求的点在原点的左、右两边两种情况讨论．
【例3.3】如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是____．
【答案】1或-7
【分析】先根据点A所表示的数，再分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点B表示的数．
【详解】解：∵点表示-3，
∴从点出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点，则点表示的数是．
∴从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是．
【点睛】此题考查了数轴，解题的关键根据题意列出式子，再根据有理数的加减法法则进行计算，要考虑两种情况，不要漏掉．
【变式3.1】在数轴上，将表示4的点沿数轴向左移动______个单位长度得到的点表示的数是2．
【答案】2
【分析】根据题意列出算式即可得出答案．
【详解】解:4-2=2
故答案为:2
【点睛】本题考查了数轴的应用，关键是能根据题意列出算式．
【变式3.2】在一条东西方向的跑道上，中间有一旗杆，小亮从旗杆处向东跑60米，接着又向西跑40米，此时小亮的位置是在旗杆以东还是旗杆以西？他距离旗杆多少米？
【答案】小亮此时的位置在旗杆以东；距离旗杆20米．
【分析】可以画出数轴，以旗杆为原点，正东方向为正方向，取10米为单位长度，按照要求画出图，即可解决．
【详解】解：如图，规定从旗杆开始向东为正，向西为负．
∵小亮从旗杆处向东跑60米，可记为米，向西跑40米，可记为米
∴+60-40=+20（米）
∴小亮此时的位置在旗杆以东，距离旗杆20米．
【点睛】本题主要考查了数轴，熟知数轴的定义和三要素是解决本题的关键．
1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．
【详解】没有最小的整数，故①错误；
有理数包括正数、0、负数，故②错误；
非负数就是正数和0，故③正确；
整数和分数统称有理数，故④正确；
故选：C
【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．
2．在数中，负分数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数．
【详解】解：在数中，负分数有，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误．
3．如果电梯上升8层记作层，那么下降2层记作______层．
【答案】
【分析】具有相反意义的量，就是规定一个为正，另一个即为负，加上符号即可．
【详解】解：根据题意，上升8层记作层，
则下降2层记作．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反意义的量，掌握规定一个量为正数，则另一个相反意义的量就是负数是关键．
4．在数轴上距原点7个单位的点表示的数是______.
【答案】/7或/或7
【分析】根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可．
【详解】解：设该点表示的数为：，由数轴上两点间的距离公式可得：
，即：，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离公式．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
5．杜甫出生于公元712年，表示为年，则孔子出生于公元前551年，表示为_____年．
【答案】
【分析】根据年表示李白出生于公元712年，可以表示出孔子出生于公元前551年，从而可以解答本题．
【详解】∵用年表示李白出生于公元712年，
∴孔子出生于公元前551年表示为：年，
故答案为．
【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于掌握正数和负数的实际意义．
6．长为2021个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__个整数点．
【答案】2022
【分析】当木条从整数点开始覆盖时，覆盖的整数点最多．
【详解】解：由数轴上一个单位长度有两个整数点，可得：
当木条的端点放在数轴的整数点上时，此时最多可以覆盖住比木条长度多一个整数点，
则可得：2021+1=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了数轴的知识，牢固掌握数轴相关概念是解题的关键．
7．在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______.
【答案】或1
【分析】根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案．
【详解】解：表示左边的点，比小2的数时，这个数是；
表示右边的点，比大2的数时，这个数是；
故答案为或1．
【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，解题的关键是分类讨论．
8．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有_______个．
【答案】4
【分析】根据“比0小的分数为负分数，小数可以化为分数”即可得出答案．
【详解】解：负分数有：，，，，共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义．
9．在分数，，，中，不能化成有限小数的是____________．
【答案】，
【分析】分数化成有限小数指的是分子能整除分母，由此即可求解．
【详解】解：，是无限循环小数，，是无限循环小数，
∴不能化成有限小数的是，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查分数与小数的转化，理解有限小数，无限小数的概念是解题的关键．
10．在，，，，，，，中，非负数的个数为______．
【答案】
【分析】根据非负数包括正数和判断即可．
【详解】解：在，，，，，，，中，非负数有，，，，，，共个．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键．
11．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是______．
【答案】
【分析】由数轴的概念，即可解决问题．
【详解】解：∵点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，
∴点表示的数是，
∴将点向右移动个单位长度后表示的数是，
∴再向左移动个单位长度后点表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素．
12．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度．
【答案】
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可．
【详解】解：
；
故答案为．
【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．
13．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中，
(1)最高分是多少？
(2)最低分是多少？
【答案】(1)92分
(2)70分
【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案；
（2）根据正负数的意义，可得答案；
【详解】（1）最高分是分；
（2）最低分是分；
【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键．
14．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，
(1)正数集合：{________________ …}；
(2)负数集合：{________________…}；
(3)整数集合：{________________…}；
(4)分数集合：{________________…}；
【答案】(1)2，，
(2)，，
(3)2，
(4)，
【分析】根据有理数的分类方法求解即可．
【详解】（1）解：正数有：2，，，
故答案为：2，，；
（2）解：负数有：，，；
故答案为：，，；
（3）解：整数有：2，；
故答案为：2，；
（4）解：分数有：，；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．
15．已知下列有理数：－4，2，－3.5，0，－2，3，－0.5
（1）在数轴上标出这些有理数表示的点；
（2）设表示－0.5的点为A，那么与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是多少？
【答案】（1）答案见解析；（2）3.5或 4.5．
【分析】（1）根据所给有理数画出数轴标出各数据即可．
（2）直接利用数轴结合与A点的距离相差4个单位长度，即可得出答案．
【详解】（1）如图所示：
；
（2）设表示 0.5的点为A，
则与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是： 0.5+4=3.5或 0.5 4= 4.5.
【点睛】本题考查数轴，根据题意正确的在数轴上表示出各数据是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第01讲 有理数与数轴
【人教版】
·模块一 正数和负数
·模块二 有理数的定义及分类
·模块三 数轴
·模块四 课后作业
1．用正负数表示相反意义的量：
我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．
【例】以上几个例子分别记为：和，元和元，米和米.
2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零；
3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、．
【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；
②数0既不是正数也不是负数．
【考点1 正数与负数的概念】
【例1.1】对于下列各数：，其中负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例1.2】下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1.1】将下列各数填入相应的大括号内：
，，，，，，，，．
(1)正数：；
(2)负数：；
(3)既不是正数也不是负数：
【变式1.2】在、4.6、、、0、、、中，正数有________________________，负数有________________________．
【考点2 具有相反意义的量及表示方法】
【例2.1】如果收入100元记作元，那么支出80元，记作（ ）
A．20元 B．元 C．元 D．元
【例2.2】下面的四个选项表示的是检验4个工件时的记录，超过标准质量的记作正数，不足标准质量的记作负数，其中最接近质量标准的工件是（ ）
A． B． C．0.5 D．1.5
【变式2.1】2019年女排世界杯共12支队伍参赛.东道主日本11场比赛中6胜5负若记为+6，-5，那么夺得本届世界杯冠军的中国女排11战全胜可记为_____.
【变式2.2】在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作0．某人在星期一到星期日这一周内的体温测量结果分别为37.1℃、36.7℃、37.2℃、37℃、36.4℃、36.5℃、36.6℃．试着参照检查人员的方法在表格内用正、负数表示这个人在这周内每天的体温．
【变式2.3】用正、负数表示下列语句中的数据：
（1）节约水，浪费水；
（2）向油罐车里注入汽油，放出汽油；
（3）南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，最低气温曾达到零下88.3℃．
1．有理数：整数与分数统称为有理数．
2．有理数的分类：
（1）有理数按性质分类：
（2）有理数按符号分类
（3）小数的分类
【注】注意以下几个概念的区分：
非负数：正数和零；非正数：负数和零；
非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；
非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．
【考点1 有理数的概念及分类】
【例1.1】下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数不是整数就是分数．
B．正整数和负整数统称整数．
C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数．
D．0是最小的整数．
【例1.2】下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【例1.3】下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】在有理数中，整数一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1.2】在，，，，0，中，属于负分数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1.3】在有理数，，0，，5中，分数有 __________，非负整数有 __________．
【考点2 数的集合】
【例2.1】所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，图中阴影部分也表示一个集合，则这个集合包含的有理数可以是（ ）
A．0 B． C． D．5
【例2.2】（1）如图，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．
3.5，，0，，，3，，．
（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示______的集合．
【变式2.1】-8不属于下列集合中的（ ）
A．整数集合 B．负数集合 C．有理数集合 D．非负数集合
【变式2.2】将下列各数填入所属的集合中：
0，，，，，3.5，0.6，，10，，，6.5
正数集合：{__________________ …}；
整数集合：{__________________ …}；
分数集合：{__________________ …}；
负整数集合：{__________________ …}
正分数集合：{__________________ …}
1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；
①原点：表示数0的点；
②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；
③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.
2．数轴的画法
（1）画一条水平直线；
（2）在这条直线上取一点作为原点；
（3）一般用箭头表示正方向；
（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．
【例】一个标准的数轴：
【注】画数轴的常见错误：
①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；
②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；
③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．
一些错误的数轴示例：
错误类型 错误示例
三要素缺失
单位长度不统一
方向不统一
3．数轴与有理数的关系
①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如．
②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；
③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数．
【考点1 数轴的概念与画法】
【例1.1】下列所示的数轴中，画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
【变式1.1】数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个______数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个_______数．
【变式1.2】一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是______．
【考点2 用数轴上的点表示有理数】
【例2.1】如图所示，在数轴上，点表示原点，则点表示的数可能为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
【例2.2】从原点向左个单位长度的点表示的数是____________.
【例2.3】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为2，则翻转5次后，数轴上表示5的点是（　　）
A．点C B．点D C．点A D．点B
【变式2.1】如图，数轴上点Q所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】画出数轴，在数轴上表示下列各数．
，，，0，2.5
【考点3 数轴上两点间的距离】
【例3.1】如图，点A表示的数是﹣3，则点A到原点的距离是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【例3.2】在数轴上距离原点4个单位长度的点有_____个，它们所表示的数是_____．
【例3.3】如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是____．
【变式3.1】在数轴上，将表示4的点沿数轴向左移动______个单位长度得到的点表示的数是2．
【变式3.2】在一条东西方向的跑道上，中间有一旗杆，小亮从旗杆处向东跑60米，接着又向西跑40米，此时小亮的位置是在旗杆以东还是旗杆以西？他距离旗杆多少米？
1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在数中，负分数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如果电梯上升8层记作层，那么下降2层记作______层．
4．在数轴上距原点7个单位的点表示的数是______.
5．杜甫出生于公元712年，表示为年，则孔子出生于公元前551年，表示为_____年．
6．长为2021个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__个整数点．
7．在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______.
8．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有_______个．
9．在分数，，，中，不能化成有限小数的是____________．
10．在，，，，，，，中，非负数的个数为______．
11．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是______．
12．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度．
13．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中，
(1)最高分是多少？
(2)最低分是多少？
14．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，
(1)正数集合：{________________ …}；
(2)负数集合：{________________…}；
(3)整数集合：{________________…}；
(4)分数集合：{________________…}；
15．已知下列有理数：－4，2，－3.5，0，－2，3，－0.5
（1）在数轴上标出这些有理数表示的点；
（2）设表示－0.5的点为A，那么与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是多少？
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【人教版新七年级数学暑假辅导课（自学）必备】第01讲 有理数与数轴(原卷版+解析版)