第09讲 整式的规律探索
【人教版】
·模块一 与数有关的规律探索
·模块二 与式有关的规律探索
·模块三 与图形排列有关的规律探索
·模块四 课后作业
【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，则第100个三角形数记为______．
【答案】5050
【分析】根据数字的变化规律发现第n个三角形数为，然后将代入求出结果即可．
【详解】解：观察三角形数发现规律：
第一个三角形数记为；
第二个三角形数记为；
第三个三角形数记为；
…
发现规律：
第n个三角形数记为，
∴把代入得：．
故答案为：5050．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律得出．
【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析前三个正方形，发现第一个数为：，第二个数为：，第三个数为第二个数加1，第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1，然后代入求解即可．
【详解】解：分析正方形中的四个数：
第一个数为：，
∴第⑨个正方形的第一个数；
第二个数为：，
∴第⑨个正方形的第二个数；
第三个数为第二个数加1，即，
第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1即
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系是关键．
【例3】电子青蛙在数轴上的某点处，第一步从向右跳1个单位到，第二步从向左跳2个单位到，第三步从向右跳3个单位到，第四步从向左跳四个单位到，以此类推，按以上规律跳了50步时，电子青蛙在数轴上点所表示的数恰好是10，则电子青蛙的初始点位置所表示的数字是______，点所表示的数是______（用含n的代数式表示，n是非负整数）．
【答案】 35
【分析】根据题意列出算式，然后对算式进行整理，进而求解即可．
【详解】解：设表示的数为a，
由题意得，即，
解得：，
即所表示的数字是35，
∴
故答案为：35；．
【点睛】此题考查数轴、有理数的加减，整式的加减，根据题意列出算式，找出简便的计算方法是解题的关键．
【变式1】观察下面的三行单项式
、……
、……
、……
根据你发现的规律：
(1)第①行第n个单项式为______
(2)第②行第n个单项式为______
(3)第③行第n个单项式为______
(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是 ；
（2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是；
（3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是 ；
（4）先求出A，再将 x值代入计算即可．
【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知：
系数依次，次数依次，
∴第n个单项式为；
故答案为：；
（2）观察第②行的单项式可知：
第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1），
∴第n个单项式为；
故答案为：；
（3）观察第③行单项式可知：
在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反，
（1）的系数，次数可得（3）系数的绝对值和次数，
∴第n个单项式为．
故答案为：．
（4），
．
答：当时，的值为．
【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键．
【变式2】已知一列数m，，，，，，…，按照这个规律写下去，第9个数是______．
【答案】
【分析】由题意知从第3个数开始都是前面两个数的和，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：从第3个数开始都是前面两个数的和，
∴第7个数是+=；
第8个数是+=；
第9个数是+=；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查合并同类项及代数式规律问题，解题的关键是找准题干中代数式的规律．
【变式3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则x的值是（ ）
A．307 B．392 C．406 D．458
【答案】C
【分析】观察方格中的四个数的变化规律，可得：，，只需求出a的值即可求出x的值．
【详解】解：根据题意可得，
第1个图形中，方格中的右上方的数为：，
第2个图形中，方格中的右上方的数为：，
第3个图形中，方格中的右上方的数为：，
第4个图形中，方格中的右上方的数为：，
……，
第n个图形中，方格中的右上方的数为：，
当时，，
∴，，
∴．
∴x的值是406．
故选：C．
【点睛】本题考查了数的变化，根据数的变化找出方格中四个数的关系，并根据数的变化规律求值，是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
【例1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
；；；......
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求的值.
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可写出第四个式子；
（2）先类比（1）的规律将原式变形，再计算即可．
【详解】解：（1）第4个式子： ；
（2）
=
=
=
=
= ．
【点睛】本题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律是解题的关键．
【例2】观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【答案】．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵，
，
，
…
∴第个等式为：
故答案是：．
【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
【例3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数n的个数 和（S）
1
(1)这个规律，当时，和为____________；
(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和____________；（用含有n的式子表示）
(3)应用上述公式计算：
①；
②．
【答案】(1)42；
(2)；
(3)①10100；②12550．
【分析】（1）根据规律当时，表示从2开始，6个连续偶数相加，进行计算即可；
（2）根据前面几项的规律，归纳猜想：从2开始，个连续偶数相加的和为；
（3）①根据（2）中结论，表示时的它们的和；②所求式子可表示为前150项连续偶数的和减去前100项连续偶数的和，进行计算即可．
【详解】（1）解：当时，和为：；
故答案为：42；
（2）解：从2开始，n个连续偶数相加，它们的和为：
；
故答案为：；
（3）解：①式子，从2开始，有100个连续偶数相加，
；
②，
．
【点睛】此题考查了整式的求和规律探索，熟练掌握运用归纳法得出一般性结论，然后运用得到的结论解决一些简单的问题，是解答此题的关键．
【变式1】观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____．
【答案】：n2+n＝n×（n+1）．
【分析】根据算式可发现一个数的平方加上它本身，等于这个数与这个数加1的积．
【详解】解：观察各式可知，第几个算式就是几的平方加几，等于等于这个数与这个数加1的积，
所以，第n个等式为：n2+n＝n×（n+1），
故答案为：n2+n＝n×（n+1）．
【点睛】本题考查了用代数式表示规律，解题关键是准确分析题意，找到规律．
【变式2】如图，
(1)根据图示规律，完成填空；
(2)通过计算说明“ ”成立的理由．
【答案】(1)24；；；
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，观察图示，得到规律即可求解；
（2）利用整式的加减法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，……
∴①处为24；③处为；
∵，……
∴②处为；④处为；
故答案为：24；；；
（2）解：理由如下：
．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，整式的加减混合运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【变式3】若规定运算符号“▲”满足下列各式：
▲
▲
▲
▲
▲
…
根据以上规律，求解下列各题：
（1）▲ ；
（2）若，求▲的值．
【答案】（1）；（2）21
【分析】（1）根据已知的等式即可求解；
（2）根据题意把▲化简，再代入即可求解．
【详解】（1）由已知的等式可得：▲ ；
故答案为：；
（2）▲=3-2=6m+3n+8m-10n=．
当时．原式．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的加减运算法则．
【例1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第4个图形中三角形的个数比圆的个数多_______个．第n个图形中三角形的个数比圆的个数多____________个．（由含 n 的代数式表示）
【答案】 9
【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值．
【详解】解：根据题意有，
第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：；
第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：；
第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：；
第4个图形，圆的个数为：4；正三角形的个数为：；
，
第个图形，圆的个数为：；正三角形的个数为：；
第4个图形中三角形的个数比圆的个数多个．
，
第个图形中三角形的个数比圆的个数多个．
故答案为：①9，②．
【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第1个图案有3颗五角星，第2个图案有7颗五角星，第3个图案有11颗五角星，第4个图案有15颗五角星……依此规律，第个图案有___________颗五角星．
【答案】
【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为，当时，求出五角形个数即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可知：
第1个图形有3个五角星，个数为；
第2个图形有7个五角星，个数为；
第3个图形有11个五角形，个数为；
第4个图形有15个五角形，个数为；
第个图形五角形个数为；
当时，五角形个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律是解决问题的关键．
【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，第个图案需要_________根火柴棒，第2022个图案需要_________根火柴棒．
【答案】
【分析】根据图形和数字规律、合并同类项的性质，计算得第n个图案的火柴棒数量，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第1个图案的火柴棒有：根
第2个图案的火柴棒有：根
第3个图案的火柴棒有：根
…
第n个图案的火柴棒有：根，即根
∴第2022个图案的火柴棒有：根
故答案为：①，②14155．
【点睛】本题考查了数字和图形规律、合并同类项、代数式的知识；解题的关键是找到数字和图形规律，从而完成求解．
【变式1】如图是一组用“●”组成的图形，第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，根据这样的规律，第150个图形中“●”的个数是___________个．
【答案】448
【分析】根据第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，得出第n个图形由个“●”组成，将代入求出结果即可．
【详解】解：∵第1个图形由1个“●”组成，
第2个图形由4个“●”组成，
第3个图形由7个“●”组成，
第4个图形由10个“●”组成，
…，
∴第n个图形由个“●”组成，
∴第150个图形中“●”的个数为（个）．
故答案为：448．
【点睛】本题主要考查了规律探究，解题的关键是根据题意归纳出第n个图形由个“●”组成．
【变式2】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第20个图形有小钢珠 _____颗．
【答案】210
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律计算即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，，
第3个图中有6个小球，，
第4个图中有10个小球，，
……
照此规律，第n个图形有个小球，
当时，
小球个数为
故答案为：210．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有个小球是解题的关键．
【变式3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去．
(1)第5个图案有 ___________个三角形；
(2)第个图案有 ___________个三角形；(用含n的式子表示)
(3)第个图案有几个三角形？
【答案】(1)16
(2)
(3)6067
【分析】设摆成第 (为正整数)个图案需要个三角形．
（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值；
（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出；
（3）代入即可求出结论．
【详解】（1）解：设摆成第(为正整数)个图案需要个三角形．
∵，
∴，
∴．
故答案为：16；
（2）解：由（1）可知：．
故答案为：；
（3）当时，，
∴摆成第个图案需要个三角形．
【点睛】此题主要考查规律型：图形的变化规律，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．
1．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为，右边三角形上的数字为，下面三角形上的数字为，先把代入求出、、的值，再进一步求出的值．
【详解】解：通过观察可得规律： 左边三角形上的数字为，
右边三角形上的数字为，
下面三角形上的数字为，
∵，
∴，，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决本题的关键．
2．根据图中数字的规律，则的值是______．
【答案】
【分析】根据前三个图，得到规律：第二行左边的数比第一行数的平方加，第二行右边的数第二行左边的数第一行的数第一行的数；则，，即可．
【详解】根据题意，可得：
∵，；
，；
，；
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是由图形得到规律，根据规律进行求解．
3．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第个图案需根火柴， 第个图案需根火柴， ， 依此规律， 第个图案需___________根火柴棒， 第个图案需___________火柴棒．
【答案】
【分析】根据第个图案需根火柴：，第个图案需根火柴： ，第个图案需根火柴：，得出规律：第个图案需根火柴，再把和分别代入即可求出答案．
【详解】解：第个图案需根火柴：，
第个图案需根火柴： ，
第个图案需根火柴：，
……
则第个图案需火柴的根数为：，
∴第个图案需火柴的根数为：（根），
第个图案需火柴的根数为：（根）．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．
4．有一组单项式依次为，根据它们的规律，请写出第8个单项式________．
【答案】
【分析】不难看出，单项式的系数部分是，字母的指数部分是，据此可解答．
【详解】，
，
,
，
第个单项式为：，
∴第8个单项式为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
5．观察下列多项式：，，，，……按此规律，则第个多项式是____________．
【答案】
【分析】由所给的式子可得，分母为3的倍数，分子中a的系数为，然后加上，即可求解．
【详解】根据题目中显示的规律， 第1项为，第2项为，第3项为，则第项为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
6．观察则有；，则有；，则有；按此规律接续写出两个式子________．
【答案】92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612
【分析】认真观察这样的三个数实际是一组勾股数，再举两组勾股数写成这种形式即可．
【详解】解：接续两个式子为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．
故答案为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．
【点睛】此题考查了学生熟记勾股数的程度以及观察总结能力．
7．用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ ……
火柴棒根数 5 9 ______ ______ ______ ……
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)13，17，21
(2)
(3)61
【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；
（2）由（1）进行总结即可；
（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．
【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，
第2个图形的火柴棒根数为：，
第3个图形的火柴棒根数为：，
第4个图形的火柴棒根数为：，
第5个图形的火柴棒根数为：，
故答案为：13，17，21；
（2）解：由（1）得：搭第个图形需要火柴棒根数为：．
答：第个图形需要火柴棒根数为：；
（3）解：当时，，
所以搭第15个图形需要61根火柴棒．
【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．
8．观察下列等式．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式为________．
(2)猜想第n个等式为________（用含n的式子表示）．
(3)观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；…当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4047
【分析】（1）根据规律直接写出即可；
（2）根据规律直接写出即可；
（3）分别求出当时，a和b的值，再代入求解即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
（3）根据图形规律可知，
当时，，，
所以，
即的值为4047．
【点睛】本题为数式规律题，解题关键是能发现规律并能用字母表示其中的规律，考查了学生数形结合的能力．
9．定义一种新运算，规律如下：
2 3＝2×5﹣3＝7；
3 （﹣1）＝3×5+1＝16；
（﹣4） （﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．
（1）请你想一想：a b＝ ．
（2）请计算：（﹣2） 8＝ ．
（3）试说明：当x＝y时，x y＝y x．
【答案】（1）5a﹣b；（2）-18；（3）见解析
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据（1）得出的结论求解即可；
（3）利用题中的新定义化简等式左右两边，根据x＝y即可得证．
【详解】解：（1）∵，，，
∴
故答案为：；
（2）由（1）得
故答案为：﹣18；
（3）由（1）得
当x＝y时，，
，
∴．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，合并同类项，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．请观察下列算式，找出规律并填空
(1)①，②，③，④，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______．
(2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足，求的值．
【答案】(1)；；；；
(2)
【分析】（1）根据所给的算式，可找出规律，即可得出结果；
（2）利用绝对值的非负性求得a、b，再根据得到的规律进行运算求值．
【详解】（1）解：根据规律得：
故答案为：；；；；
（2）∵，
∴，
．
【点睛】本题主要是寻找规律及非负数得性质，再根据有理数的混合运算计算，根据题意找出相应规律是解题关键．
11．观察以下等式：
；
根据以上规律，解决下列问题：
(1) ；
(2)计算（结果用含的代数式表示）．
【答案】(1)440
(2)
【分析】（1）根据已知等式，将每一项进行改写，再求和即可得；
（2）参照（1），将每一项进行改写，再求和即可得．
【详解】（1）解：
，
故答案为：440．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的加减，观察已知等式，正确发现一般规律是解题关键．
12．用火柴棒按图中的方式搭图形：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 17 a
按图示规律填空:
(1)a=_______．
(2)按种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_______（用含n的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用2021根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据所给图形可得a的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）根据规律式中可求值．
【详解】（1）由图①②③④可得图⑤为：17+4=21
故
故答案为： 21；
（2）由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为，
故答案为：；
（3）∵
即第505个图形需要的火柴棒根数为2021根
∴能正好搭一个这样的图形．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
第09讲 整式的规律探索
【人教版】
·模块一 与数有关的规律探索
·模块二 与式有关的规律探索
·模块三 与图形排列有关的规律探索
·模块四 课后作业
【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，则第100个三角形数记为______．
【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】电子青蛙在数轴上的某点处，第一步从向右跳1个单位到，第二步从向左跳2个单位到，第三步从向右跳3个单位到，第四步从向左跳四个单位到，以此类推，按以上规律跳了50步时，电子青蛙在数轴上点所表示的数恰好是10，则电子青蛙的初始点位置所表示的数字是______，点所表示的数是______（用含n的代数式表示，n是非负整数）．
【变式1】观察下面的三行单项式
、……
、……
、……
根据你发现的规律：
(1)第①行第n个单项式为______
(2)第②行第n个单项式为______
(3)第③行第n个单项式为______
(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值．
【变式2】已知一列数m，，，，，，…，按照这个规律写下去，第9个数是______．
【变式3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则x的值是（ ）
A．307 B．392 C．406 D．458
【例1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
；；；......
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求的值.
【例2】观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【例3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数n的个数 和（S）
1
(1)这个规律，当时，和为____________；
(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和____________；（用含有n的式子表示）
(3)应用上述公式计算：
①；
②．
【变式1】观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____．
【变式2】如图，
(1)根据图示规律，完成填空；
(2)通过计算说明“ ”成立的理由．
【变式3】若规定运算符号“▲”满足下列各式：
▲
▲
▲
▲
▲
…
根据以上规律，求解下列各题：
（1）▲ ；
（2）若，求▲的值．
【例1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第4个图形中三角形的个数比圆的个数多_______个．第n个图形中三角形的个数比圆的个数多____________个．（由含 n 的代数式表示）
【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第1个图案有3颗五角星，第2个图案有7颗五角星，第3个图案有11颗五角星，第4个图案有15颗五角星……依此规律，第个图案有___________颗五角星．
【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，第个图案需要_________根火柴棒，第2022个图案需要_________根火柴棒．
【变式1】如图是一组用“●”组成的图形，第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，根据这样的规律，第150个图形中“●”的个数是___________个．
【变式3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去．
(1)第5个图案有 ___________个三角形；
(2)第个图案有 ___________个三角形；(用含n的式子表示)
(3)第个图案有几个三角形？
1．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，的值是（ ）
A． B． C． D．
2．根据图中数字的规律，则的值是______．
3．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第个图案需根火柴， 第个图案需根火柴， ， 依此规律， 第个图案需___________根火柴棒， 第个图案需___________火柴棒．
4．有一组单项式依次为，根据它们的规律，请写出第8个单项式________．
5．观察下列多项式：，，，，……按此规律，则第个多项式是____________．
6．观察则有；，则有；，则有；按此规律接续写出两个式子________．
7．用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ ……
火柴棒根数 5 9 ______ ______ ______ ……
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？
8．观察下列等式．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式为________．
(2)猜想第n个等式为________（用含n的式子表示）．
(3)观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；…当时，求的值．
9．定义一种新运算，规律如下：
2 3＝2×5﹣3＝7；
3 （﹣1）＝3×5+1＝16；
（﹣4） （﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．
（1）请你想一想：a b＝ ．
（2）请计算：（﹣2） 8＝ ．
（3）试说明：当x＝y时，x y＝y x．
10．请观察下列算式，找出规律并填空
(1)①，②，③，④，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______．
(2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足，求的值．
11．观察以下等式：
；
根据以上规律，解决下列问题：
(1) ；
(2)计算（结果用含的代数式表示）．
12．用火柴棒按图中的方式搭图形：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 17 a
按图示规律填空:
(1)a=_______．
(2)按种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_______（用含n的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用2021根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
【人教版新七年级数学暑假辅导课（自学）必备】第09讲 整式的规律探索(原卷版+解析版)
评论已关闭！