2023年山东省德州市夏津县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省德州市夏津县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各对数互为倒数的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列几何体中，俯视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
5. 新冠病毒的直径大小在纳米左右，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播．已知纳米米，用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，一个含角的直角三角板的两个顶点分别落在一把直尺的两边上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7. 我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，，，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，列出符合题意的二元一次方程组：根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为( )
A. 甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B. 甜果七个四文钱，苦果九个十一文
C. 甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D. 甜果四个七文钱，苦果十一个九文
8. 如图，一块含角的直角三角板的最短边长为，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
9. 已知关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
10. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，
；
；
由点、、、构成的四边形是菱形；
．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 写出一个比大且比小的无理数：______ ．
14. 某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设计、现场展示的综合成绩按照：：比例确定某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识分，创新设计分，现场展示分，则该同学的综合成绩是______ 分
15. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ．
16. 如图，在正方形中，，、、、分别为、、、的中点，则图中阴影部分图形的周长之和为______．
17. 定义新运算“”，规定：，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．
18. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：；
解方程：．
20. 本小题分
为增强环保意识，某校举行了主题为“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩满分分，分及分以上为及格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：七年级名学生的测试成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、分及以上人数所占百分比如表所示：八年级名学生的测试成绩条形统计图如图：
年级 平均数 众数 中位数 分及以上人数所占百分比
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
在上述表格中： ______ ， ______ ， ______ ；
八年级测试成绩的前四名的同学分别是甲、乙、丙、丁，随机抽取名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
21. 本小题分
设函数，函数是常数，，．
若函数和函数的图象交于点，点，
求函数，的表达式；
当时，比较与的大小直接写出结果．
若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．
22. 本小题分
已知某商品的进价为每件元，我班数学兴趣小组经过市场调查，整理出该商品在第天的售价与销量的相关信息如下表：
第天
日销售单价元千克
日销售量千克
第几天该商品的销售单价是元？
在这天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
23. 本小题分
如图，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．
请用圆规和无刻度直尺在图中确定劣弧的中点；
在图中，连接交于点，连接，求证；
如图，点是半圆的中点，若的直径，求和的长．
24. 本小题分
如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳后恰好落在人梯的顶端处，其身体看成一点的路径是一条抛物线．
现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米．
米
米
请你解决以下问题：
在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
求起跳点距离地面的高度；
在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点的水平距离才能成功？
25. 本小题分
在矩形中，点为射线上一动点，连接．
当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．
如图，若，求的度数；
如图，当，且时，求的长．
在所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
根据倒数的定义可知，乘积是的两个数互为倒数，据此求解即可．
此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．
2.【答案】
【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：选项A中，，故选项A错误，该选项不符合题意；
选项B中，，二次根式非负，故选项B错误，该选项不符合题意；
选项C中，故选项C错误，该选项不符合题意；
选项D中，负数的立方根是负数，正确，该选项符合题意．
故选：．
按照计算规则判断选项正误即可．
本题考查的奇数次幂，算术平方根，有理数的乘方，立方根，按照计算规则正确的计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、长方体俯视图是矩形，故此选项不合题意；
B、圆锥俯视图是带圆心的圆，故此选项不合题意；
C、四棱锥的俯视图是画有对角线的四边形，故此选项不合题意；
D、三棱柱俯视图是三角形，故此选项符合题意．
故选：．
俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到棱都应表现在三视图中．
5.【答案】
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：科学记数法一般形式为，其中，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，由题意得，，，
，
，
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的特点，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱，
故选：．
根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：
斜边为：，
，
，
．
故选：．
根据直角三角板可求出斜边长，从而可求圆锥的母线，由直角边可求出底面圆的周长，从而可求解．
本题考查了旋转体与原图形之间的关系，圆锥的侧面积公式，掌握二者之间的关系和公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
方程两边同乘以，得，
，
解得：，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：且，
故选：．
根据分式方程的解答得到，再根据分式方程的解为正数即可解答．
本题考查了分式方程的解法，解一元一次不等式组，理解分式方程的最简公分母不能为是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图，
它是一个轴对称图形，
，
，
，
在中，
，
．
房顶离地面的高度，
故选：．
过点作于点，利用直角三角形的边角关系求得，用即可表示出房顶离地面的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得的长是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：延长，取点，使得，连接，如图，
，四边形是矩形，
四边形和四边形是矩形，
，，，
≌，
，
，
点，分别是，上的动点，
故当，，三点共线时，的值最小，且的值等于的值，
在中，，
故选：．
延长，取点，使得，连接，根据全等三角形的判定得到≌，得到，故当，，三点共线时，的值最小，即为的值．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出辅助线，构建使得≌是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
平行四边形是菱形，故正确；
连接，如图：
是等边三角形，平分，平分，
到三边的距离相等，
，
，故正确；
四边形是菱形，平行四边形是菱形，
，
故正确．
综上所述：正确的是，
故选：．
由证明≌，得出，证出是的中位线，得出，正确；
先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，得出四边形是菱形，正确；
连接，根据是等边三角形，平分，平分，可得到三边的距离相等，所以，正确；
连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则，正确；即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：请写出一个比大且比小的无理数：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
首先根据：；，可得：一个比大且比小的无理数的平方可以是，这个无理数可以是答案不唯一，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是可以先求出这个无理数的平方的大小．
14.【答案】
【解析】解：该同学的综合成绩是：分，
故答案为：．
计算该同学各项成绩的加权平均数，即可求解．
此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占比例的含义，以及求加权平均数的方法．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】
【解析】解：设正方形的中心为，如图，
四边形是正方形，、、、分别为、、、的中点，
四边形，，，为正方形．
，
．
，，，都是半径为，圆心角等于的圆弧，
图中阴影部分图形的周长中曲线部分的和为半径为的圆的周长．
中阴影部分图形的周长之和为．
故答案为：．
利用整体的思想可知，图中阴影部分图形的周长中曲线部分的和为半径为的圆的周长，直线部分的和为正方形的周长，将两部分相加即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，整体的思想．利用正方形的性质得到阴影部分为四个相同的图形组成是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：根据新定义关于的不等式组可化为：，
解不等式可得：，
解不等式可得：，
因为该不等式组的解集为，
，解得：．
故答案为：．
先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定的取值范围即可．
本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
18.【答案】
【解析】解：，
当时，，
当时，
故A，，
则，
，
，
，
，
，
则，
轴，
，
，
则，
同理：
，
，
，
故：，
故答案为：．
先根据的特殊直角三角形，如，，，求出点，点的纵坐标，发现规律，即可．
本题考查解的特殊直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
，
，
，
或，
．
【解析】先将负整数幂，三角函数，绝对值，次幂化简，再进行计算；
用因式分解法求解即可．
本题主要考查了特殊角度的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握各个特殊角度的三角函数值，以及解一元二次方程的方法和步骤．
20.【答案】
【解析】解：七年级名学生的测试成绩中，得分出现的次数最多，故，
八年级名学生的测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中最中间位同学的分数为和分，故；
位同学中，成绩在分及以上的人数有人，故；
故答案为：，，；
画出树状图如下所示：
共有种等可能的结果数，其中必有甲同学参加比赛的结果数为种，
必有甲同学参加比赛的概率为．
根据众数、中位数定义及条形统计图中的数据即可求解；
画出树状图得出所有等可能的情况数，找出一定有甲同学参加的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件发生的概率为熟知这些知识点是解题的关键．
21.【答案】解：把点代入，
，
解得：，
函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
函数的表达式为；
如图，
当时，；
由平移，可得点坐标为，
，
解得：，
的值为．
【解析】利用待定系数法求函数解析式；
利用函数图像分析比较；
根据平移确定点的坐标，然后利用函数图像上点的坐标特征代入求解．
本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图像性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
22.【答案】解：当时，；
当时，，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第天或天该商品的销售单价是元．
设每天获得的利润为元，
当时，，
即，
，
当时，取得最大值，最大值为；
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
，
在这天中，第天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】根据该商品的销售单价是元，可求出的值，此题得解；
设每天获得的利润为元，分及两种情况找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质及反比例函数的性质，可求出当及时的最大值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用以及反比例的应用，分及两种情况，找出关于的函数关系式是解题的关键．
23.【答案】解：如图所示，点为所作点：
证明：点是劣弧的中点，
，
，
，
∽
，
解：连结，
点是的中点，
，
是的直径，
，
为等腰直角三角形，
，
由得∽，，即，
，
，
解得或负值舍去，
．
【解析】作线段的垂直平分线与的交点即为点；
根据，证得，进而证明∽，对应线段成比例，从而推出结论；
连接，因为为半圆中点，则为等腰直角三角形，已知斜边可求出的长，可证明∽，得到，求解关于的方程即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理和相似三角形的性质是求解的关键．
24.【答案】解：建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接，如图：
结合表中所给的数据或所画的图象可知：
当时，取得最大值，
即演员身体距离地面的最大高度为米；
结合表中所给的数据或所画的图象可知：
此抛物线的对称轴是，顶点坐标为，
设此抛物线为
，
把代入，得：
，
解得：，
此抛物线为，
当时，，
即起跳点距离地面的高度为米；
在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，
由已知表格中的对应数据可知：时，，
此次表演不成功，
当时，
，
解得：，，
要调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功．
【解析】本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
建立适当坐标系，用描点、连线做出函数图象；
结合表中数据和函数图象直接得出结论；
先用待定系数法求出函数解析式，再令，即可得出结论；
先把时代入函数解析式求出，得出此次表演不成功；再把代入函数解析式求出的值即可．
25.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
是等边三角形，
，
；
由折叠的性质得：，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
∽，
，
，
设，则，
，
在中，，
射影定理，
即，
解得：负值已舍去，
，
，
，
即的长为；
当点，，三点共线时，如图，
由可知，，
四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
≌，
，
，
．
【解析】由矩形的性质和锐角三角函数定义得，再由折叠的性质得，则是等边三角形，即可得出结论；
由折叠的性质得，，则，再证∽，得，设，则，，然后由射影定理得，即，求出，即可解决问题；
证≌，得，再由勾股定理得，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、射影定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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2023年山东省德州市夏津县中考数学二模试卷（含解析）