2023年湖南省娄底市新化县中考数学三模试卷（含解析）

2023年湖南省娄底市新化县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算中，正确的是( )
A. B. C. D.
3. 在中国共产党第二十次全国代表大会开幕会上，给出了这样的一组数据：基本养老保险覆盖人数已达亿，推动实现全体老年人享有基本养老服务，将数据亿用科学记数法表示，其结果是( )
A. B. C. D.
4. 某班名同学米跑的训练成绩分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7. 矩形各角的角平分线交成的四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
9. 当时，代数式的值是( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线和与轴分别交于点，点，则解集为( )
A. B. C. 或 D.
11. 一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板踏板质量忽略不计的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为，其图象如图所示；图的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为安，该读数可以换算为人的质量，电流表量程为安温馨提示：导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式，则下面结论错误的为( )
A. 用含的代数式表示为
B. 电子体重秤可称的最大质量为千克
C. 当时，若电源电压为伏，则定值电阻最小为欧
D. 当时，若定值电阻为欧，则电源电压最大为伏
12. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角有下列四个结论：；点在线段上；当时，平分；若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的倍其中正确的结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知，是方程的两个实数根，且，则 ______ ．
14. 如图，是一款手推车的平面示意图，其中，，则 ______ 度
15. 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最
终停留在黑色区域的概率是______ ．
16. 已知点为直线与双曲线的交点，则的值等于______．
17. 如图，在 中，，与它的边，相切，射线交边于点，当，时，的长等于______ ．
18. 规定在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：若与互相垂直，且，，则现有与互相垂直，且，，则锐角______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的正整数．
21. 本小题分
端午节是中华民族的传统节目，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表每组包含最小值，不含最大值：
成绩 频数 频率
请根据上述统计图表，解答下列问题：
共抽取了______名学生进行调查，______；
补全频数分布直方图；
如果成绩分及以上者为“优秀”，请你估计全校名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？
22. 本小题分
如图是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图量得托板长，支撑板长，底座长托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动当，，求点到直线的距离参考数据：，，，，结果保留一位小数．
23. 本小题分
一方有难，八方支援郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州调查得知，辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件；辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件．
求辆大货车和辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
现有件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
24. 本小题分
如图，是的直径，延长到点，使，是上一点，，交于点，连结．
如图，当时，求证：是的切线；
如图，连接，设，，求的值．
25. 本小题分
已知四边形是矩形，连接．
如图，的平分线交于，交的延长线于点的平分线交于点，交的延长线于点，连接．
求证：；
求证：四边形为菱形；
在的条件下，如图，连接交于点，交于点，若，求的值．
26. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．
求该二次函数的解析式及点的坐标；
如图，点为抛物线段一动点，于点，轴交于点，当的长度最大时，求点的坐标．
点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
先将亿化为原数，再用科学记数法表示即可．
本题考查用科学记数法表示绝对值大于的数，掌握形式为，其中是关键．
4.【答案】
【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
把这些数从小到大排列为，，，，，，，，
中位数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】
【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
6.【答案】
【解析】解：，
解得，
所以解集为，
在数轴上表示为：．
故选：．
先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
本题考查了不等式组的解法，掌握将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点是关键．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，
四边形是矩形，
，
、、、分别平分、、、，
，
，，，
四边形是矩形，
在和中，
≌，
，
，
，
，
矩形是正方形，
故选：．
根据题意画出图形，由矩形得出，由、、、分别平分、、、知，从而得，，，从而可得四边形是矩形，再证≌得，由知，从而得出，据此即可说明四边形是正方形．
本题主要考查矩形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．
8.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图所示：
，
在中，，
点到的距离为．
故选：．
过点作于点，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是掌握．
根据可得，再根据绝对值的性质去绝对值符号，然后再合并同类项即可．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
根据两条直线与轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．
【解答】
解：直线和与轴分别交于点，点，
解集为，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：、根据题意可知，，
解得，
故A正确，不符合题意；
B、由，得随的增大而增大，
，
当时，的最大值为，
故B正确，不符合题意；
C、当时，时，
，
，
，
解得，
故C错误，符合题意；
D、当时，，
，
，
，
随的增大而增大，
，
当时，增大，最大值为，
故D正确．不符合题意．
故选：．
根据提示信息，，且串联电阻总电阻为，代入即可判断；由和，由反比例函数的性质即可判断；根据可求出，再根据求出，可判断；根据可求出，再根据，由函数的性质可判断．
本题主要考查反比例函数的相关应用，结合物理知识，弄清楚题目中各个量之间的关系，是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，是对角线，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故正确；
、都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
，即点在线段上，
故正确；
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
、分别平分、，
故正确；
如图，连接交于点，
，
当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，
点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，
，且点与点的运动时间相同，
，
故错误；
故选：．
由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：，从而可判定；由∽可得，由正方形的性质可证明≌，可得，即有，再由可得，从而、分别平分、，即可判定；连接交于点，由知，点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，即可判断，由知，点的运动速度是点的运动速度的倍，即可判断，因而可确定答案．
本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键．确定点的运动路径是本题的难点所在．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，再利用可求出，则可计算出，然后计算代数式的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据图示，黑色区域的面积等于平行四边形面积的，
小球最终停留在黑色区域的概率是：．
故答案为：．
根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．
此题主要考查了几何概率问题，解题的关键是掌握：概率黑色区域的面积与总面积之比．
16.【答案】
【解析】解：点为直线与双曲线的交点，
，，
，，
．
故答案是：．
将点分别代入两函数解析式得到：，，进而得到，将其整体代入求值即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，整体代入的思想，难度适中，关键是得到，的值．
17.【答案】
【解析】解：如图，过分别作于，于，
与它的边，相切，
，
平分，
，
四边形为 ，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
如图，过分别作于，于，利用切线的性质证明平分，然后利用平行线的性质可以证明，最后利用等腰三角形的判定即可求解．
此题主要考查了切线的性质，同时也利用了平行四边形的性质及等腰三角形的判定，有一定的综合性．
18.【答案】
【解析】解：与互相垂直，
，
即，
为锐角，
，
解得．
故答案为：．
由与互相垂直，可得，即，进而可得，解得．
本题考查平面向量、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的计算是解答本题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】根据特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值性质，零指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数运算的相关法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20.【答案】解：原式
，
满足条件的正整数有、、，
，，
和，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：； ．
人，补全频数分布直方图如图所示：
人，
答：全校名学生中，获得“优秀”等次的学生约有人．
【解析】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
由统计图表可知，的学生有人，占调查学生人数的，则共调查了人，则；
求出的值，即可补全条形统计图；
样本估计总体，样本中优秀占，即，因此估计总体人的是优秀的人数．
22.【答案】解：如图，过作，交的延长线于点，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
四边形是矩形，，
由题意可知，，
，，
在中，，
，
又，
，
，，
，
．
．
在中，，
，
答：点到直线的距离约为．
【解析】过作，过点作，过点作，构造出两个直角三角形和一个矩形，再利用三角函数解直角三角形，利用矩形的性质转换线段之间的数量关系从而解决问题．
本题考查了三角函数的实际应用，根据题意构造直角三角形，会利用三角函数解直角三角形是解决本题的关键．
23.【答案】解：设辆小货车一次可以满载运输件物资，辆大货车一次可以满载运输件物资
由题意可得：，
解得：，
答：辆小货车一次可以满载运输件物资，辆大货车一次可以满载运输件物资．
解：设租用小货车辆，大货车辆，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有种租车方案，
方案：租用辆小货车，辆大货车；
方案：租用辆小货车，辆大货车；
方案：租用辆小货车，辆大货车．
【解析】设辆小货车一次可以满载运输件物资，辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件；辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件”列关于，的二元一次方程组求解即可；
设租用小货车辆，大货车辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输件物质，列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键．
24.【答案】证明：如图，
；，，
，
，
，
，
，
是的切线，是半径，
解：如图，连接，
，
，
是直径，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，即可证明；
连接，由解直角三角形得出，，由圆周角定理得出，进而得出，，进一步得出，由平行线分线段成比例定理得出，由，得出，继而求出．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握切线的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
；
由知，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
由知，，
，
平分，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
点是矩形对角线与的交点，
，
，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
由知，四边形是菱形，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
【解析】先判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再判断出，，得出，进而得出，即可得出，再判断出≌，得出，即可得出结论；
先判断出是的中位线，得出，进而得出四边形是平行四边形，得出，进而得出，即可得出，最后用勾股定理得出，即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的判断方法是解本题的关键．
26.【答案】解：的图象与轴交于，，
，
解得，
，
当时，，
．
设轴于点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
，
，
当时，最大，
点的坐标为．
设，则，
如图，点在第三象限，轴于点，轴于点，则，
，，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
，
解得，不符合题意，舍去，
；
如图，点在第三象限，于点，轴于点交于点，
轴，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，四边形是正方形，
，
解得，不符合题意，舍去，
；
如图，点与点重合，交抛物线于点，轴交直线于点，
，，
，
，
作于点，延长到点，使，连接、，
，
，
，
与互相垂直平分，且，
四边形是正方形，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
综上所述，点的坐标为或或．
【解析】把，代入，列方程组求出、的值即得到该二次函数的解析式，再求出当时的值，即得到点的坐标；
设轴于点，，根据题意可知是等腰直角三角形，则，求出直线的函数解析式，求出用含的代数式表示的式子，再根据二次函数的性质求出当的长度最大时点的坐标即可；
设，则，按三种情况分类讨论，一是点在第三象限，且以、为邻边，二是点在第三象限，且以为对角线，三是点在第二象限，且以为对角线，分别列方程求出的值并且求出点的坐标即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、正方形的判定与性质、有关动点问题的求解等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
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2023年湖南省娄底市新化县中考数学三模试卷（含解析）