2023年江苏省宿迁市三校联考中考数学模拟试卷（含解析）

2023年江苏省宿迁市三校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 人体最小的细胞是血小板，个血小板紧密排成一直线长约，数据用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的( )
A. B. C. D.
5. 下列事件是必然事件的是( )
A. 没有水分，种子发芽
B. 如果、都是实数，那么
C. 打开电视，正在播广告
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
6. 一次函数中，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，已知四边形中，，，，，点、分别是边、上的两个动点，且，过点作于，连接，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10. 比较大小：______填“”、“”或“”．
11. 因式分解______．
12. 一年一度的学校体检到了，已测人身高分别为单位：，，，，，这组数据的中位数是______ ．
13. 如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的度数为______
14. 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“头牛、只羊共值金两．头牛、只羊共值金两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得头牛和只羊共值金______两．
15. 圆锥的侧面积是，底面半径是，则圆锥的母线长为______ ．
16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______ ．
17. 如图，为双曲线上的一点，轴，垂足为，交双曲线于，轴，垂足为，交双曲线于，连接，则的面积是______．
18. 如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点，使，则的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
已知：如图，在 中，点、分别在、上，且平分，求证：四边形是菱形．
22. 本小题分
年春节档上映了部观众较为喜爱的电影：流浪地球，满江红，无名甲、乙两人分别从中任意选择一部观看．
甲选择满江红电影是______ 事件填“不可能”或“必然”或“随机”；
求甲、乙两人选择同一部电影的概率请用画树状图或列表的方法给出分析过程．
23. 本小题分
中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图如图请根据以上信息，解答下列问题．
本次调查所得数据的众数是______ ，中位数是______ ；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______ 度；
请将条形统计图补充完整；
若该校共有名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人？
24. 本小题分
如图所示，九班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树、之间的距离，他们在河边与平行的直线上取相距的、两点，测得，，．
求河的宽度；
求古树、之间的距离．结果保留根号
25. 本小题分
如图，在中，，点是上一点，以为直径的和相切于点．
求证：平分；
若，，求的长．
26. 本小题分
丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量件与销售单价元件满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元件
每天销售数量件
直接写出与的函数关系式；
若每天销售所得利润为元，那么销售单价应定为多少元？
当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
27. 本小题分
如图，在矩形中，，点，分别在边，上均不与端点重合，且，以和为邻边作矩形，连接，．
【问题发现】
如图，当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
如图，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
在的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．
28. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，且，连接．
求抛物线的解析式；
动点和动点同时出发，点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值及此时点的坐标；
点是抛物线上一点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
运用科学记数法的表示形式为即可求出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】
【解析】解：、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果、都是实数，那么，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数，当时，随的增大而增大．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可求出的取值范围．
【解答】
解：一次函数，函数值随自变量的增大而增大，
，解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，平分，
，
，
为的中点，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质得出，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接交于点，
，
，，
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
取的中点，连接、，
则，
过点作于，
，
，
，
的最小值，
故选：．
连接交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，取的中点，连接、，求出和，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：，
，
；
故答案为：．
根据即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较．关键是得出，题目比较基础，难度适中．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：数据从小到大的顺序排列为，，，，，
这组数据的中位数是．
故答案为：．
中位数是将学校体检五人的身高按大小顺序排列后，处在最中间的一个数．
本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据切线的性质，结合等腰三角形的性质，即可求得的度数．
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
14.【答案】
【解析】解：设每头牛两，每只羊两，
根据题意，可得，
，
，
头牛和只羊共值金两，
故答案为：．
设每头牛两，每只羊两，根据头牛、只羊共值金两．头牛、只羊共值金两，列二元一次方程组，两方程相加可得，进一步求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：底面半径是，则扇形的弧长是．
设母线长是，则，
解得：．
故答案是：．
底面半径是，则扇形的弧长是，根据扇形的面积公式即可求得扇形的半径，即圆锥的母线长．
正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
故答案为：且．
先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
17.【答案】
【解析】解：设，则，，
，，
，
故答案为：．
设，求得、的坐标，进而求得、，最后根据三角形的面积公式求得结果．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，关键用点的横坐标表示与．
18.【答案】
【解析】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点使，连接，．
和都是等腰直角三角形，
，，
，即，
∽，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
是等腰直角三角形，，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
以为斜边作等腰直角三角形，延长至点使，连接，利用等腰直角三角形的性质得出∽，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形中位线的性质求出，由是等腰直角三角形，，得出垂直平分，进而求出，继而利用三角形的三边关系即可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的三边关系是解决问题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：
，
把代入．
【解析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
【解析】先证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得，可得结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
22.【答案】随机
【解析】解：甲选择满江红电影是随机事件．
故答案为：随机．
流浪地球，满江红，无名分别用、、表示，画树状图得：
共有种等可能的结果，其中甲、乙人选择同部电影的情况有种，
甲、乙人选择同部电影的概率为．
根据事件的分类进行判断即可求解．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
根据画树状图法求概率即可求解．
本题考查了事件的分类，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：本次调查的人数：人，
读部的人数：人，
本次调查所得数据的众数是，
中位数：，
故答案为：，；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：；
由知，读部的人数：人，
补全条形统计图如图所示：
人，
答：估计该校四大名著一部没有读过的学生约有人．
根据读部的人数和所占百分比，可以求出本次调查的人数，再算出读部的人数，然后即可得到众数和中位数；
用乘以读部所占的百分比即可得到答案；
根据中读部的人数，可以将条形统计图补充完整；
用全校人数乘以一部没有读过的百分比即可求得答案．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，用样本的百分比估计总体，圆心角度数等，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
24.【答案】解：过点作，垂足为，
设米，
米，
米，
，，
，
在中，米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
河的宽度为米；
过点作，垂足为，
则米，，
，
，
在中，米，
米，
古树、之间的距离为米．
【解析】过点作，垂足为，设米，则米，先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，米，，先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】证明：连接，
是的切线，
，，
，
，
，
，
，
平分．
解：作于．
平分，，，
，
在中，，
，，
∽，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】连接，首先证明，推出，由，推出，由此推出；
作于首先证明，在中，求出，由∽，推出，求出、，由≌，推出即可解决问题．
本题考查切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：设每天的销售数量件与销售单价元件之间的关系式为，
把，代入得：
，
解得，
；
根据题意得：，
解得，，
规定销售单价不低于成本且不高于元，
，
答：销售单价应定为元；
设每天获利元，
，
，对称轴是直线，
而，
时，取最大值，最大值是元，
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润，元．
【解析】设每天的销售数量件与销售单价元件之间的关系式为，用待定系数法可得；
根据题意得，解方程并由销售单价不低于成本且不高于元，可得销售单价应定为元；
设每天获利元，，由二次函数性质可得当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润，元．
本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
27.【答案】
【解析】解：当时，，，
，
，
四边形和四边形都是矩形，且，，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，，
，
、、三点在同一条直线上，
，，
，，
，
故答案为：，．
发生变化，，
理由：如图，连接，当时，则，，
，
，
，
∽，
，，
，，
，
∽，
，
，
．
，，
，，，
，
如图，，，三点共线，且点在线段上，
，
，
；
如图，，，三点共线，且点在线段的延长线上，
，
，
，
综上所述，线段的长是或．
当时，，，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，，
所以，于是得到问题的答案；
先证明∽，得，，则，，即可证明∽，再根据勾股定理求得，则，所以；
分两种情况，一是，，三点共线，且点在线段上，由勾股定理求得，则；二是，，三点共线，且点在线段的延长线上，由勾股定理求得，则．
此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：抛物线交轴于点，
点，
，
，
，，
点，点，
将点，点坐标代入解析式，可得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
如图，过点作于，
，
，
，
，
点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，
，，
，，
，
当时，的最大值为，
，
，
点的坐标为；
如图，当点在的下方时，设与轴的交点为，
，，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：舍去或，
故点；
当点在的上方时，设与轴的交点为，
，，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：舍去或，
故点；
综上所述：点的坐标为或
【解析】先求出点，点坐标，利用待定系数法可求解析式；
先求出与的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，先求出的解析式，联立方程组可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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2023年江苏省宿迁市三校联考中考数学模拟试卷（含解析）