题型专练：解答题 八年级下册数学期末专项训练 湘教版（含答案）

题型专练：解答题 八年级下册数学期末专项训练 湘教版（含答案）
1．已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N．
（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系；
（2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；
（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系．
2．对于正数x，用符号[x]表示x的整数部分，例如：[0.1]＝0，[2.5]＝2，[3]＝3．点A(a，b)在第一象限内，以A为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直，其中垂直于y轴的边长为a，垂直于x轴的边长为[b]+1，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A的伴随域．例如，点(3，)的伴随域是一个以(3，)为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6．根据上面的定义，回答下列问题：
(1)在图2所示的坐标系中画出点(4，)的伴随域，该伴随域的面积是 ；
(2)点P(4，)，Q(a，)（a＞0）的伴随域重叠部分面积为4，求a的值；（写出解题过程）
(3)已知点B(m，n)（m＞0）在直线y＝x+1上，且点B的伴随域的面积S满足5＜S＜7，那么m的取值范围是 ．（直接写出结果）
3．如图，和都是等三边三角形，连接，以，为邻边作平行四边形，连接．
（1）如图①，当点在上时，求证：；
（2）将图①中的绕点逆时针旋转，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）若，，将绕点逆时针旋转一周，当，，三点共线时，直接写出的长．
4．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF2+BF2=2AC2．
5．如图，三角形在平面直角坐标系中，三角形是三角形经过平移得到的，三角形中任意一点平移后的对应点为．
(1)请画出三角形；
(2)请分别写出点、、的对应点、、的坐标．
6．（1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，
①的度数为 ；
②猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接BE．
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系为________．（不用证明，直接写出结果即可）
7．下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：
时间(分) 1 2 3 4 5 6 7
电话费(元) 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
(1)如果用x表示时间，y表示电话费，上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数，请用式子表示它们的关系；
(2)随x的变化，y的变化趋势是什么？
(3)丽丽打了5分钟电话，那么电话费需付多少元？
(4)你能帮丽丽预测一下，如果打10分钟的电话，需付多少元话费？
8．如图，在直角坐标系中，，点B是y轴上一动点，以为对角线作平行四边形．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点，记平行四边形的面积为S，求S与的函数关系式；
（3）当点在轴上运动，能否使得平行四边形是菱形？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由．
9．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
10．请说出下列函数中k和b的值：
(1)y＝60x.　　　
(2)y＝3000－300x.
(3)y＝9＋8x.　　　
(4)y＝－3(2＋x)－7.
11．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题：
(1)请将下表补充完整：
碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 …
高度y（cm） 4 5.2 7.6 …
(2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式________；当碗的数量为10个时，碗的高度是________cm；
(3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量．
12．如图，平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中B点坐标为(－1，－1)．
(1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出；
(2)求的面积．
13．如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．
(1)作出尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
(2)若，，求的面积．
14．如图1，在△ABC纸片中，∠ABC＝90°，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在AB边上且OP⊥AB，折痕为OM．
（1）若BC=8，BP=4，求OP的长；
（2）请在图2中探究思考，能否用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕？（不需要写出作法，但要保留作图痕迹）
15．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
(1)求证：BE垂直平分CD；
(2)若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形．
16．如图，邳州电讯公司要修建一座信号发射塔G，按设计要求，发射塔到两城镇P、Q的距离相等，并且到两条公路、的距离也相等，请你帮助设计员在图中画出发射塔G的位置（使用尺规作图，保留作图瓶迹）．
17．星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走.如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小颖家与学校的距离是 米；
（2）表示的实际意义是 ；
（3）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？
（4）买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米/分？
18．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图，画出△ABC关于边AC的对称图形，点B的对称点记为D，并证明作图后所得的四边形ADCB为正方形．
（2）若点Q是（1）所画图形对角线AC上一点，求证BQ＝DQ．
（3）如图2，若点P是边AD上一动点，PN⊥AD交AC于点N，线段CN的中点为M，连接BP、BM、DM，设BP：DM＝k，试探究k是否为一个定值，并证明你的结论．
19．我国农村实行“村村通”惠民工程以后，A、B、C三个村庄都已互通了公路．若连接三个村庄的公路刚好围成一个直角三角形（如图），现在要修一个汽车站P，使其到三条公路的距离相等．已知连接三个村庄的公路长分别为5，12，13．（单位km ）
(1)请用尺规作图设计出汽车站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)汽车站位置设计方案的数学依据是 ；
(3)汽车站P到公路BC的距离为 km ．
20．平行四边形的三个顶点坐标分别是（1，1），（5，1），（2，4），请你在平面直角坐标系中画出这三个点，根据这三个点的位置画出以他们为顶点的平行四边形，并直接写出第四个点的坐标.
21．【感知】如图1，已知四边形中，．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．聪明的李明同学在小卡片上给出了正确的解法：
证明：连接，取的中点O，连结、，∵，O是的中点，∴，，∴，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．
【拓展】如图，在正方形中，，点F是中点，点E是边上一点，于点P．（注：下述证明过程中可直接使用李明的结论）
(1)如图2，当点P在线段上时，证明：；
(2)如图3，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N、M．求的最小值．
22．“中国海带之乡”霞浦县今年又迎来一个丰收年．海带养殖专业村为保障养殖户收益，联系了村海带加工厂，收购养殖户每天收割的鲜海带．该加工厂主要以加工干海带和盐渍海带两种方式处理每天收购的30吨鲜海带，工厂现有12名工人，每位工人在同一天中只能选择一种加工方式．若生产干海带，每人每天可加工2吨鲜海带，每吨可获利250元；若加工盐渍海带，每人每天可加工0.6吨鲜海带，每吨可获利600元；每天加工不完的鲜海带直接续给鲍鱼养殖场作饲料．若安排所有的工人都加工干海带，则加工厂当天可获利6300元．
(1)求加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利多少元；
(2)根据市场销售情况，该加工厂决定生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍．问加工厂如何安排工人，可使每天生产的利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，小滨同学尝试用尺规作图的方法在给定的平行四边形中作菱形．以点A，C为圆心，以适当长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交于点E，O，F．

(1)根据作图痕迹，判断四边形是否是菱形，并说明理由．
(2)若，求四边形的面积．
24．已知，如图，在中，是边上的一点，且，于点，交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，并加以证明．
25．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？译文：有一个边长为 10 尺的正方形水池正中间长有一棵芦苇，高出水面 1 尺，把芦苇拉向岸边，刚好到岸.问：池水有多深？芦苇有多高？
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参考答案：
1．（1）BM+NC=MN，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN，证明见解析．
【分析】（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN；
（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．
【详解】解（1）BM、NC、MN之间的数量关系：BM+NC=MN．
证明如下：
∵BD=DC，DM=DN，
∴∠BDC=∠DCB=，△MDN为等边三角形，
∴MN=MD=DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDM =∠CDN=，
∴,
∴BM+NC=MN．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1．
∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，
（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．
与（2）同理可证△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，
与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N，
∴NC-BM=MN．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
2．(1)画图见解析，16
(2)或
(3)
【分析】（1）分析点（4，）的伴随域定义，即点（4，）为所画矩形的对角线交点，继而求出矩形边长分别为4，4，画出图形即可解决问题； （2）分两种情况，重叠部分在（1）中矩形的左边或者右边，分别构建方程即可解决问题；
（3）利用特殊值法，推出平行于y轴的矩形的边长为3，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：根据点（4，）的伴随域定义，其中垂直于y轴的边长为4，垂直于x轴的边长为[]+1=4，
∴点（4，）的伴随域是一个以点（4，）为对角线交点，长为4，宽为4的矩形所覆盖的区域，如图所示：
∴该矩形区域的面积为，
故答案为：16；
（2）点P(4，)，Q(a，)（a＞0）的伴随域重叠部分面积为4，且垂直于x轴的边长为[]+1=4，
∴点P(4，)，Q(a，)（a＞0）伴随域重叠部分面积也为1个矩形，且垂直于y轴的边长为1，
①当点在点的左边时，，与点的距离为2，
∴
②当点在点的右边时，，如图，
∴
∴
综上所述，或
（3）解：点B(m，n)（m＞0）在直线y＝x+1上，
∴，
∴点的伴随域是一个以点（，）为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，
∴
当时，
当时，
∴，不符合题意，
当时，
当时，
又点B的伴随域的面积S满足5＜S＜7，
所以
当时，∴，符合题意，此时
故答案为
【点睛】本题考查了几何新定义，坐标与图形，一元一次不等式组的应用，一次函数，矩形的性质等，解题的关键是理解题意，学会分类讨论的思想解决问题．
3．（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或．
【分析】（1）根据等边三角形的性质及平行四边形的性质可得AF=CD，AB=DF，∠DFE=∠ABF，利用SAS可证明△ABF≌△DFE，根据全等三角形的性质可得DE=AF，进而可得结论；
（2）如图，设DF与BC交于点G，由平行线的性质可得∠DGC=∠ACB=60°，利用三角形内角和定理得∠DFE+∠FBC=60°，根据角的和差关系可得∠ABF=∠DFE，利用SAS可证明△ABF≌△DFE，进而可得结论；
（3）由（2）的结论可证明△CDE是等边三角形，分点D在BE延长线上和点D在EB延长线上两种情况，根据等边三角形的性质，利用勾股定理可求出DE的长，进而求出BD的长即可．
【详解】（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴∠BFE=60°，BF=EF，∠ABF=∠ACB=60°，AB=AC，
∵四边形ACDF为平行四边形，
∴AF=CD，AC=DF，AC∥DF，
∴∠DFC=∠ACB=60°，AB=DF，
∴∠DFE=180°-∠BFE-∠DFC=60°=∠ABF，
在△ABF和△DFE中，，
∴△ABF≌△DFE(SAS)，
∴DE=AF，
∴DE=CD．
（2）成立，理由如下：
如图，设DF与BC交于点G，
∵AC∥DF，
∴∠DGC=∠ACB=60°，
∴∠FGB=60°，
∵∠FBC+∠BFE+∠DFE+∠FGB=180°，∠BFE=60°，
∴∠DFE+∠FBC=60°，
∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠ABF=∠DFE
在△ABF和△DFE中，，
∴△ABF≌△DFE(SAS)，
∴DE=AF，
∵AF=CD，
∴DE=CD．
（3）①如图，当点D在BE延长线上时，连接CE，过点C作CH⊥BD于H，
由（2）可知△ABF≌△DFE(SAS)，
∴∠BAF=∠FDE，
∵四边形ACDF为平行四边形，
∴∠FAC=∠FDC，
∴∠BAF+∠FAC=∠FDE+∠FDC，即∠BAC=∠CDE=60°，
由（2）可知DE=DC，
∴△DCE是等边三角形，
∴EH=DE，CH=DE，
∵BC2=BH2+CH2，BC=AB=8，BE=BF=4，
∴（DE+4）2+（DE）2=82，即DE2+4DE-48=0，
解得：DE=-2（负值舍去），
∴BD=BE+DE=+2．
②当点D在EB延长线上时，连接CE，作CQ⊥BD于Q，
由（2）可知△ABF≌△DFE(SAS)，
∴∠BAF=∠FDE，
∵四边形ACDF为平行四边形，
∴∠FAC=∠FDC，
∴∠BAF+∠FAC=∠FDE+∠FDC，即∠BAC=∠CDE=60°，
由（2）可知DE=DC，
∴△DCE是等边三角形，
∴EQ=DE，CQ=DE，
∵BC2=BQ2+CQ2，BC=AB=8，BE=BF=4，
∴（DE-4）2+（DE）2=82，即DE2-4DE-48=0，
解得：DE=+2（负值舍去），
∴BD=DE-BE=-2．
综上所述：BD长为或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4．（1）∠AEB=25°；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，由SAS得出△BAF≌△CAF，从而得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根据全等得出BF=CF，由已知得到∠CFG=∠EAG=90°，由勾股定理得出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°；
（2）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中
，
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等，能正确和熟练地应用这些知识解决问题是关键.
5．(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）根据平移规律画出三角形A'B'C'即可．
（2）根据坐标系可得答案．
（1）
解：三角形如图所示
（2）
点、、的对应点、、的坐标分别为，，，
【点睛】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，掌握平移的性质是解题的关键．
6．（1）①；②；（2）①；②
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质计算即可；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质计算即可．
②由是高线可得，由可得，进而可求出结论．
【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：；
②，
证明：∵，
∴；
（2）解：①∵和均为等腰直角三角形，
∴，，即
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
②是高线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
7．(1)电话费与时间之间的关系，时间是自变量，y是x的函数，y＝0.6x　(2)上升　(3)3.0元　(4)6.0元
【分析】（1）观察表中的数据可得反映了电话费与时间之间的关系，根据函数的定义可知，时间是自变量，电话费是因变量，y是x的函数，函数关系式为y＝0.6x；
（2）由图表数据可知电话费的变化趋势；
（3）由图表数据即可得出打5分钟电话，需要的电话费；
（4）从表格中自变量x与因变量y之间的变化可看出，当通话时间每增加1分钟，相应话费增加0.6元，所以当通话时间达10分钟时，其电话费应是6元．
【详解】解：（1）上表反映了通话时间与电话费之间的变化关系，其中通话时间是自变量，y是x的函数，函数关系式为y＝0.6x；
（2）当通话时间x增大时，电话费y也因而增大；
（3）丽丽打电话用了5分钟，由表可看出，她需付3元话费；
（4）从表格中自变量x与因变量y之间的变化可看出，当通话时间每增加1分钟，相应话费增加0.6元，所以当通话时间达10分钟时，其电话费应是6元．
【点睛】从表格中获取有用信息是解答这类题的关键．信息除了用表格方式表示外，还有可能以关系式、图像等形式提供，应注意分清自变量与因变量各是什么，以便准确描述出变量的变化规律或变化趋势．
8．（1）；（2）；；（3）能，
【分析】（1）根据OA、OC的长度结合图形可得出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点B的坐标可得出BC的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S关于m的函数关系式；
（3）根据菱形的性质，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）∵OA＝3，OC＝4，
∴A（﹣3，0）、C（0，4）．
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣3，0）、C（0，4）代入y＝kx+b中，
得：，
解得：，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+4．
（2）∵C(0，4) B (0，m)
当点B在C点下方时
BC=4-m，
∴S=BC OA=3(4-m)=-3m+12（m＜4）．
当B点在C点上方时
BC=m-4，
∴S=BC OA=3(m-4)=3m-12（m>4）．
(3)能，当四边形ABCD是菱形时，AB＝BC
在RtΔAOB中 AB2＝OA2+OB2＝32+m2，
∴32+m2＝（4﹣m）2
解得：m＝，
∴B（0，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）学会构建方程解决问题．
9．（1）见解析；（2）CE=1
【分析】（1）连接PA、PB，根据角平分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AEP≌Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．(1)k＝60，b＝0(2)k＝－300，b＝3000(3)k＝8，b＝9(4)k＝－3，b＝－13.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）∵，
∴，.
11．(1)6.4，8.8；
(2)，14.8；
(3)这摞碗的数量为15个．
【分析】（1）根据表格先得出每增加1，就增加1.2，然后利用规律计算；
（2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得，然后把代入函数关系式中求解；
（3）把代入函数关系式即可解答．
（1）
解：，
，
，
故答案为：6.4，8.8；
（2）
解：由题意得：
，
整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：，
当时，，
当碗的数量为10个时，碗的高度是，
故答案为：，14.8；
（3）
解：当时，，
解得：，
这摞碗的数量为15个．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是准确熟练地进行计算出增加一个碗的高度．
12．(1)画图见解析；
(2)．
【分析】（1）先找出A点和B点坐标，利用点的坐标平移规律写出点A′、B′、C′的坐标，然后描点连线得到；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到的面积．
【详解】（1）解：由图可得：，；
经过平移后，，；
如图，为所作；
（2）解：如图 ∶
的面积．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作，在上截取，作，在上截取，连接，则即为所作；
（2）由旋转可得，过点D作于点F，然后利用含30度的直角三角形求出，进而可以求的面积．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）根据题意可知：，，，
过点作于点，
，
，
∴，
的面积．
【点睛】本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
14．（1）5；（2）能，见解析
【分析】（1）连接PM，根据折叠可得 ，从而得到PM=CM，，然后设点M到OP的距离为h1，点O到CM的距离为h2，PM=CM=x，则BM=8-x，可得到h1= h2，再在 中，由勾股定理可得CM=5，利用，即可求解；
（2）作∠ACB的角平分线EC交AB于点E，，作线段CE的垂直平分线交AC于点O，AB于点M，则直线OM即为所求折痕．
【详解】解：（1）如图，连接PM，
根据题意得： ，
∴PM=CM，，
∵BC=8，
设点M到OP的距离为h1，点O到CM的距离为h2，PM=CM=x，则BM=8-x，
∵OP⊥AB，∠ABC＝90°，
∴∠APO=∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴h1= h2，
在 中，BP=4，由勾股定理得：PM2=BP2+BM2，
即 ，解得： ，
∴CM=5，
∵，h1= h2，
∴ ，
即 ，
解得：OP=5；
（2）能，作∠ACB的角平分线EC交AB于点E，，作线段CE的垂直平分线交AC于点O，AB于点M，则直线OM即为所求折痕，
如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——折叠，勾股定理，尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD；
（2）证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°，
∴∠DBE=30°，
∵BD=BC，BE垂直平分CD，
∴∠CBE=∠DBE=30°，
∴∠CBD=60°，
∴△CBD是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
16．见解析
【分析】只需要作出线段的垂直平分线与直线、夹角的角平分线的交点即可得到答案．
【详解】解∶如图所示，点G即为所求；
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，尺规作图—作角平分线和作线段垂直平分线，熟知线段垂直平分线的性质，角平分线的性质是解题的关键．
17．（1）2600；（2）小颖在文具用品店停留了10分钟；（3）小颖本次在从学校回家的整个过程中，走的路程是3400米；（4）小颖从文具用品店回到家步行的速度是90米/分.
【分析】（1）根据函数图象，可知小颖家与学校的距离是2600米；
（2）由函数图象可知，20～30分钟的路程没变，所以表示的实际意义是小颖在文具用品店停留了10分钟；
（3）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程为.
（4）用小颖从文具用品店回到家的路程除以所用时间即可.
【详解】（1）根据函数图象，可知小颖家与学校的距离是2600米;
（2）表示的实际意义是小颖在文具用品店停留了10分钟；
（3）（米）
小颖本次在从学校回家的整个过程中，走的路程是3400米．
（4）（米/分）
小颖从文具用品店回到家步行的速度是90米/分．
【点睛】考查一次函数的应用，读懂函数的图象，明确每一段图象所表示的实际意义是解题的关键．
18．（1）作图见解答；证明见解答；（2）证明见解答；（3）k=，是一个定值．
【分析】（1）分别以A、C为圆心AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD即可，首先证明四边形ABCD是菱形，再根据∠ABC=90°，可得结论；
（2）连接BQ，DQ，根据四边形ABCD是正方形，证明△BAQ≌△DAQ（SAS），即可得出结论；
（3）连接PM．作MEAD于E，交BC于F．只要证明MP=MD=BM，△BPM是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）正方形ABCD如图所示．
证明：∵△ABC，△ADC关于AC对称，
∴AB=AD，CB=CD，
∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）如图，点Q是AC上一点，连接BQ，DQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAQ=∠DAQ=45°，
在△BAQ和△DAQ中，
∴△BAQ≌△DAQ（SAS），
∴BQ=DQ；
（3）连接PM．作ME⊥AD于E，交BC于F．
∵PN⊥AD，四边形ABCD是正方形，
∴∠APN=∠ADC=90°，
∴PNMECD，
∵MN=CM，
∴PE=ED，
∵ME⊥PD，
∴MP=MD，
∴∠EMP=∠EMD=∠CDM，
∵CM=CM，∠MCB=∠MCD，CB=CD，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM=DM=MP，∠CBM=∠CDM=∠PME，
∵ADBC，ME⊥AD，
∴MF⊥BC，
∴∠BFM=90°，
∴∠CBM+∠BMF=90°，
∴∠EMP+∠BMF=90°，
∴∠BMP=90°，
∴△BMP是等腰直角三角形，
∴PB：DM=PB：BM=．
故k=，是一个定值．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)见解析
(2)角平分线上的点到角的两边距离相等
(3)2
【分析】（1）分别作的角平分线，交于点，点即为所求；
（2）根据角平分线的性质即可求解；
（3）过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥CB于点F，PG⊥AB于点G．连接PB．先证明是直角三角形，进而根据等面积法即可求解．
（1）
如图，点P即为所求；
（2）
汽车站位置设计方案的数学依据是：角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
（3）
过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥CB于点F，PG⊥AB于点G．连接PB．
∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵S△ABC= AC BC= AB PE+ AB PG+ BC PF，PE=PF=PG，
∴PE==2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．图见解析，第四点的坐标是（-2,4）（6,4）（4，-2）
【详解】分析：根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质解答即可.
详解：
如图所示：
①BC为对角线时，第四点的坐标为（6，4）；
②AC为对角线时，第四点的坐标为（-2，4）；
③AB为对角线时，第四点的坐标为（4，-2）.
综上，第四个顶点的坐标为（6,4）或（-2,4）或（4，-2）.
点睛：用到的知识点为：平行于x轴的直线上的点的横坐标相等；平行四边形的对边平行且相等，可利用平移的性质得到平行于x轴的一边为平行四边形的对角线时第四个点．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点P作于点M，于点N，根据正方形的性质可得，，根据角平分线的性质可得，根据正方形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定可得，即可求证；
（2）连接，取的中点O，连接，，过点O作于点K，于点T，根据正方形的性质可得，，，根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据三角形中位线的判定和性质可得，。根据矩形的判定和性质可得，，求得，根据勾股定理可得，根据三角形的三边关系可得，即可求得．
【详解】（1）（1）如图，
∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴
∵
∴四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于点K，于点T
∵四边形是正方形，，点F是中点
∴， ，
∴
∵，，点O是的中点
∴
∵，
∴
∴
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴
∵
∴
∵在中，
∴的最小值为
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四点共圆，正方形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．(1)鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利50元
(2)安排8人生产干海带，4人生产盐渍海带，可使得每天生产的利润最大，最大利润是6020元
【分析】（1）首先由题意可求得全部工人每天可加工的干海带的数量及作为鲍鱼饲料的鲜海带的数量，设直接卖给鲍鱼养殖场作饲料每吨可获利m元，根据题意列出一元一次方程即可求得结果；
（2）设安排x人加工干海带，每天的生产利润为y元，根据题意列表，由列表及题意得到y关于x的一次函数解析式，并确定x的取值范围，最后即可求得最大利润及工人安排情况．
【详解】（1）（1）12名工人每天可加工干海带12×2＝24吨＜30吨．
∴鲍鱼饲料为：．
设直接卖给鲍鱼养殖场作饲料每吨可获利m元，根据题意，得．
解得．
答：鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利50元．
（2）设安排x人加工干海带，每天的生产利润为y元，根据题意列表如下：
干海带 盐渍海带 鲍鱼饲料
安排人数 x 0
鲜海带重量（单位：吨） 2x
利润（单位：元）
根据题意，得
∴．
由．解得．
∵x≥0，
∴．
∵，
∴y值随x值的增大而增大．
∴当x取最大值8时，利润y有最大值，．
则（人）．
答：安排8人生产干海带，4人生产盐渍海带，可使得每天生产的利润最大，最大利润是6020元．
【点睛】本题是函数与方程的综合，考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，解一元一次不等式，一次函数的性质等知识，正确理解题意，根据关系式列出方程及一次函数关系式是解题的关键，注意所得函数自变量的取值范围．
23．(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据基本作图和线段垂直平分线的性质得到，然后证明出四边形是平行四边形，进而可得到平行四边形是菱形；
（2）首先根据题意得到，然后利用勾股定理求出，然后证明出四边形是平行四边形，得到，最后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】（1）由题意可得，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴，
∴菱形的面积为．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．添加的条件：，证明见解析.
【分析】对角线互相平分且相等可得其为平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得其为菱形．
【详解】解：添加的条件：，
理由：∵，，
∴，又，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，得出四边形DMCF为平行四边形是解题关键．
25．池水有12尺深，芦苇有13尺高.
【分析】设水池深x尺．根据勾股定理即可得出结论．
【详解】设水池深x尺．根据题意得：
x2+（）2=（ x+1） 2
解得：x=12
x+1=12+1=13．
答：池水有12尺深，芦苇有13尺高．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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题型专练：解答题 八年级下册数学期末专项训练 湘教版（含答案）