2022-2023湖北省襄阳市枣阳市六校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市枣阳市六校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，若，，则的长可能是( )
A. B. C. D.
2. 如图，直线经过点，当时，的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在菱形中，对角线，菱形的面积为，则菱形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图单位：，等腰直角以的速度沿直线向正方形移动，直到与重合，当运动时间为时，与正方形重叠部分的面积为，下列图象中能反映与的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，，点是延长线上一动点，边与点，边与点，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，点为正方形的对角线上的一点，连接，过点作交于点，交对角线于点，且点为的中点，若正方形的边长为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图在 中，，，点关于的对称点为，连接交于点，点为的中点，连接，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是______ ．
12. 一次函数的图象经过定点，则点的坐标是______ ．
13. 两个形状大小相同的菱形在矩形内按如图所示方式摆放，若菱形的边长为，，且，则的长为______ ．
14. 卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，，，三个小组中积分方差最小的是______ 组
组 积分 组 积分 组 积分
荷兰 英格兰 阿根廷
塞内加尔 美国 波兰
厄瓜多尔 伊朗 墨西哥
卡塔尔 威尔士 沙特阿拉伯
15. 如图，四边形中，，，，，则线段的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
求证：平行且等于；
求证：四边形是矩形；
若，，，求的长．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，与直线：交于点，．
求直线的解析式；
连接、，若直线上存在一点，使得，求点的坐标；
将直线向下平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为直线上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，点是轴上方一个动点．
求直线的函数表达式；
若点在线段上，且，求点的坐标；
当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动点的运动速度始终为每秒个单位长度，运动的总时间为秒，请直接写出的最小值．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点当时，；当时，．
求，的关系式用含的代数式表示；
若．
求直线的解析式；
若直线：与直线相交，且两条直线所夹的锐角为，求的值．
22. 本小题分
在一条笔直的公路上有，两地小佳骑自行车从地到地，中途休息了一段时间后以原速继续行驶到地；在小佳出发的同时小伟骑摩托车从地到地，到达地后立即按原路原速返回，结果两人同时到地如图是小佳和小伟两人离地的距离单位：与小伟行驶时间单位：之间的函数图象．
求小佳骑自行车的速度；
求小佳离地的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若两人之间的距离不超过时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间的取值范围．
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，四边形是平行四边形，边与轴交于点．
求点的坐标；
如图，过作的垂线交轴负半轴于点，，设点的横坐标为，长为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，连接、、，当以，，的长为三边长构成的三角形面积是时，在上取中点，在上取点，将射线绕点顺时针旋转交轴正半轴于点，连接，若的周长为，直线经过点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点，
，，
，，
，，
，，
，
，
在、、、四个数值中，可能等于，
故选：．
由平行四边形的性质得，，根据三角形的三边关系得，则，于是可得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，由平行四边形的性质求得，，再根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：直线的图象如图所示：
直线与直线交于点，
根据图象可知，时，的取值范围是，
故选：．
先画出直线的图象，再结合图象即可确定取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：把代入得，，
因为直线经过第一、二、三象限，
所以，，即，
所以的范围为，
因为，
所以的范围为．
故选：．
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围．
本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用表示出的值．
4.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】
【解析】解：连接交于，
四边形是菱形，对角线，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
菱形的周长，
故选：．
连接交于，由菱形的性质得，再由，求得，则，再由，根据勾股定理求得，即可求得菱形的周长为，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、菱形的面积和周长、勾股定理等知识，根据菱形的面积为且对角线的长为求出另一条对角线的长是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，当时，重叠部分为三角形，面积，
如图，当时，重叠部分为梯形，面积，
图象为两段二次函数图象，
纵观各选项，只有选项符合．
故选：．
分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可
本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过点作，
，，
，，
，
，
，
连接，取的中点，连接，，
，
点，，，四点共圆，点为圆心，
，
，
，
，
，
当最小时，最小，
设，
，
，，
，
，
，
，
当时，即时，有最小值，
此时，
，
，
，
故选：．
过点作，根据已知条件求出的长度，再根据，得出点，，，四点共圆，从而把的最小转化为的最小，然后通过设未知数的方法，求出的二次函数表达式，利用公式时取得最小值，通过取最小值时，与的数量关系，进行计算即可．
本题考查勾股定理以及二次函数的应用，关键是找出点，，，四点共圆，从而把的最小转化为的最小．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，连接、、、，
四边形是正方形，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
即，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
点是的中点，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
如图，过点作于，连接、、、，由正方形性质可得：，，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得：，进而可证得≌，可推出是等边三角形，得出：，，再由等腰三角形性质可得，再证明≌，推出是等边三角形，得出，再由是等腰直角三角形，得出，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，是一道常见的中考数学选择题压轴题．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
点为的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
正方形的边长为，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
，
，
．
故选：．
过点作于点，根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，然后证明是的中位线，可得，利用∽，得，求出，进而利用线段的和差即可解决问题．
此题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
故选：．
如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于构建计算即可；
本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】甲
【解析】解：分钟甲比乙步行的路程多，分钟丁比丙步行的路程多，
甲的平均速度乙的平均速度，丁的平均速度丙的平均速度，
步行千米时，乙比丙用的时间少，
乙的平均速度丙的平均速度，
走得最快的是甲，
故答案为：甲．
当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案．
本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
当时，，
因此该函数的图象一定经过点，
即点的坐标是．
故答案为：．
将变形为，可知无论取何值，当时，，由此可解．
本题考查一次函数过定点问题，解题的关键是将变形为．
13.【答案】
【解析】解：连接，，过点作于，
两个菱形形状大小相同，即两个菱形全等，
，，
，即：，
，
是等腰直角三角形，则，
，，
，
，
又四边形是矩形，
，
故答案为：．
连接，，过点作于，由全等图形的性质可知，，进而可知，可得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质结合解直角三角形可得，利用矩形的性质可得．
本题考查菱形的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等图形的性质，利用全等图形的性质得到是等腰直角三角形是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据，，三个小组中积分，可知组四个数据分布比较集中，各数据偏离平均数较小，所以方差最小．
故答案为：．
根据方差的意义即可判断．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15.【答案】
【解析】解：作交延长线于，延长到，使，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作交延长线于，延长到，使，得到四边形是矩形，从而证明≌，得到，由，推出，得到，由，求出的长，由勾股定理求出，得到的长，由勾股定理即可求出的长．
本题考查勾股定理，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
16.【答案】解：
．
【解析】先计算乘法、乘方、化简绝对值，最后合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．
17.【答案】解：，
，
在中，，
在中，，，
，
，
故四边形的面积为．
【解析】利用勾股定理可以求出，根据数据特点，再利用勾股定理逆定理可以得到也是直角三角形，再把数据代入面积公式就可以求出答案．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键，难度适中．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
即平行且等于；
证明：由知，，；
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
是直角三角形，，
的面积，
，
由得：，四边形是矩形，
，．
【解析】由平行四边形的性质得，，再由，得，；
证得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点、点，
令，则，
点为，
，
，
点为，点为，
设直线的解析式为；
，
，
直线的解析式为；
解：在中，令，则，
点为，
，
解得，
点的坐标为；
；
点在直线上，则设点为，则
当点在点的下方时，如图：
，点的坐标为，
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为；
当点在点的上方时，如图：
，
，
解得：，
，
点的坐标为；
综合上述，点的坐标为或；
解：直线向下平移个单位长度得到直线，
直线为，
令，则，
点的坐标为，
即；
当作为矩形的边时，如图：
点的坐标为，
点的坐标为；
当作为矩形的对角线时，如图：
点的坐标为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
点的坐标为；
综合上述，则点的坐标为或；
【解析】先求出，然后求出点和点的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
先求出点和点的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点在点的下方时；当点在点的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点的坐标；
先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点的坐标即可．
本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
20.【答案】解：点在轴上，直线过点，
点坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
直线的函数表达式为；
设点坐标为，
令，得，
点坐标为，
点，点，
，，，
，
点在线段上，
，
，
，
解得，
点坐标为；
设点纵坐标为，
，点是轴上方的一个动点，
，
解得，
作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，
则的最小值即为的长，
点坐标为，
点坐标为，
，
点的运动速度始终为每秒个单位长度，
，
的最小值为．
【解析】用待定系数法求解即可；
设点坐标为，根据即可求解；
作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
21.【答案】解：当时，；当时，，
当时，，即，
，
，
，的关系式为；
如图：
由知，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
设直线与轴交于，连接，直线与直线交于，
当在轴左侧时，过作轴于，如图：
在中，令得，
，
，，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，，
，
把代入得：
，
解得；
当在轴右侧时，过作轴于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，
，，
，
，
把代入得：
，
解得，
综上所述，两条直线所夹的锐角为，的值为或．
【解析】根据当时，；当时，，可得当时，，即，即可得，的关系式为；
由，，可得，用待定系数法即可得直线的解析式为；设直线与轴交于，连接，直线与直线交于，分两种情况：当在轴左侧时，过作轴于，由可得，即可得，故，从而是等腰直角三角形，由，可得，代入得；当在轴右侧时，过作轴于，由是等腰直角三角形，有，而，即可得，代入得．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
22.【答案】解：由题意得：．
小佳的速度为．
．
当时，设小佳离地的距离与之间的函数关系式为：．
把，代入得：，
解得：，，
；
当时，小佳离地的距离与之间的函数关系式为：；
当时，设小佳离地的距离与之间的函数关系式为：．
把，代入得：，
解得：，，
；
综上所述：．
设小佳在休息前与之间的函数关系式为，
由题意得：
，
解得：，
，
设小佳在休息后与之间的函数关系式为，
由题意得，
解得：，
，
设小伟前往地的距离与行驶时间之间的关系式为，
由题意，得，
，
设小伟返回地的距离与行驶时间之间的关系式为，
由题意，得，
解得：，
，
当时，
解得，
当时，
解得：．
小伟在行进中能用无线对讲机与小佳保持联系的时间的取值范围为或．
【解析】由函数图象读出小佳骑自行车的时间，由求出小佳骑自行车的速度；
由函数图象读出小伟行驶的时间，由求出小伟行驶的速度，由相遇问题的数量关系直接求出结论；
设小佳在休息前与之间的函数关系式为，上佳在休息后与之间的函数关系式为，小伟前往地的距离与小伟行驶时间之间的关系式为，设小伟返回地距离地的距离与小伟行驶时间之间的关系式为，由待定系数法求出解析式，再建立不等式组求出其解即可．
本题考查了一次函数的应用，理解题意，从函数图象获取有用信息，求出一次函数的解析式是解题的关键．
23.【答案】解：令，
，
，
，
；
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，
点的横坐标为，
，
，
，
，
；
过作，过作相交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
为直角三角形，
以，，的长为三边长构成的三角形面积是，
的面积为，
，，
，即，
解得或舍去，
，
连接，过点作交轴于，
为中点，
，，
，
，
，
≌，
，
，，，
≌，
，
的周长为，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
直线经过点，
，即．
【解析】令，解得，即可得出结论；
由可证明≌，所以，因为点的横坐标为，所以，则，所以，则；
过作，过作相交于点，由可证明≌，所以，易证为直角三角形，因为以，，的长为三边长构成的三角形面积是，所以的面积为，则，，所以，即，解之可得出的值；连接，过点作交轴于，由可证明≌，≌，所以，由的周长为，可得，所以，则，由勾股定理可得，即，解之，得出的坐标，代入表达式即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出点的坐标是解本题的关键．
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2022-2023湖北省襄阳市枣阳市六校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）