2022-2023安徽省滁州市定远县城西六校八年级（下）第二次质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县城西六校八年级（下）第二次质检数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 方程不含的一次项，则( )
A. B. C. D.
5. 将一元二次方程化成的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围( )
A. B. C. 且 D. 且
7. 我国于月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，个人可以传播给个人，经过两轮传播后，共有人被传染．则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，，，垂足为下列结论中，不一定成立的是( )
A. 与互余 B. 与互余 C. D.
9. 勾股定理是我国的伟大数学发明之一如图，以的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为，，，则较小两个正方形重叠部分四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，架在消防车上的云梯长为，，，云梯底部离地面的距离为，则云梯的顶端离地面的距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 若，则代数式的值是______；
12. 已知是方程的一个根，则______．
13. 课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，线段如图所示”即：，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；以此类推，得______ ．
14. 中，三边分别是，，，斜边，则的值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15. 选择适当的方法解下列方程：
；
．
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
；
．
17. 本小题分
如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米．
此时梯子顶端离地面多少米？
若梯子顶端下滑米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
18. 本小题分
已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高．
求证：；
求等腰三角形的腰长．
19. 本小题分
求证：关于的方程没有实数根．
20. 本小题分
关于的一元二次方程的一个根是，求的值．
21. 本小题分
在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是年月份的日历我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是．
请证明发现的规律；
若用一个如图所示菱形框，再框出个数字，其中最小数与最大数的积为，求出这个数中的最大数；
嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出个数字，其中最小数与最大数的积是，直接判断他的说法是否正确不必叙述理由．
22. 本小题分
某商场将进货价为元的台灯以元售出，月销售个，，月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月的销售量达到个，设，两个月的销售量月平均增长率不变．
求，两个月的销售量月平均增长率；
从月起，在月销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个这种台灯售价定为多少时，商场月销售这种台灯获利元？
23. 本小题分
如图，中，，，，过点作的平行线，与过且垂直于的直线交于点，一个动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作，交折线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，设点的运动时间为秒．
当点恰好落在上时，此时的值为______；
若与重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形与四边形重叠部分的面积为，请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
如图，在点开始运动时，上另一点同时从点出发，以每秒个单位长度沿方向运动，当到达点时停止运动，同时点也停止运动，过作交射线于点，以为斜边向左作等腰直角三角形，若点运动到秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一直线上，请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则的取值范围在数轴上表示为．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件结合数轴得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：的整数部分为，小数部分为，
，，
．
故选：．
因为的整数部分为，小数部分为，所以，，代入计算即可．
关键是会表示的整数部分和小数部分，再进行二次根式的加减运算，即将被开方数相同的二次根式进行合并．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为根据结果不含的一次项，确定出的值即可．
【解答】
解：由方程不含的一次项，得到，
解得：．
故选C．

5.【答案】
【解析】解：，
，
配方，得，
，
即，
故选：．
移项后配方，即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由每轮传染中平均一个人传染了个人，可得出第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合“某地某时段有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传播后，共有人被传染”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：每轮传染中平均一个人传染了个人，且开始时有一个人患了新冠肺炎，
第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染．
根据题意得：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：、在中，，所以与互余，正确；
B、在中，，所以与互余，正确；
C、，，
，正确；
D、当时，，所以既是的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以，正确；当时，，错误；
故选：．
A、根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；
C、根据同角的余角来找等量关系；
D、分和两种情况来讨论．
解答本题时，主要利用了直角三角形中两个锐角互余的性质．
9.【答案】
【解析】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，，
两个正方形重叠部分四边形的面积．
故选：．
设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分四边形的面积．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等．
10.【答案】
【解析】解：设米，
，
长为，
，
，
解得：米，
米，
云梯顶端离地面的距离为米．
故选：．
设米，由：的比值以及的长，利用勾股定理可建立方程，求出的长再加即的长，即可求出云梯的顶端离地面距离的大小．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造出直角三角形，将实际问题抽象成纯数学问题，难度不大．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据，可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程，得
方程．
所以．
则．
故答案为：．
分析：
根据一元二次方程的解，把代入方程得到，然后整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：为直角三角形，，，
；
为直角三角形，，，
；
，
．
故答案为：．
利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是反复利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长．
14.【答案】
【解析】
【分析】
先由勾股定理求得，然后求得的值．
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容．
【解答】
解：为直角三角形，斜边，
，
．
故答案为：．
15.【答案】解：，
或，
解得：，；
，，，
，
，
则，．
【解析】利用直接开平方即可求解；
利用公式法即可求解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16.【答案】解：原式
；
．
【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
先根据二次根式的乘法，绝对值，二次根式的性质和分母有理化进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
17.【答案】解：米，米，
中，，
梯子顶端距离地面的高度米．
答：此时梯子顶端离地面米；
梯子顶端下滑了米，
即梯子顶端距离地面的高度米，
中，，
米，
米，即下端滑行了米．
答：梯子底端将向左滑动了米．
【解析】利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，，
≌，
；
解：由得：，，
设，则，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
【解析】由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，得出，由证明≌，得出；
由得：，，设，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
19.【答案】解：，
关于的方程没有实数根．
【解析】根据，求出的值，再判断出的符号，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
20.【答案】解：将代入，
，
或，
，

【解析】将代入即可求出的值．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
21.【答案】证明：设中间的数为，则另外个数分别为，，，，
，
，
，
将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减后的结果为；
解：设这个数中最大数为，则最小数为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这个数中的最大数是；
解：嘉琪的说法不正确，理由如下：
设这个数中最大数为，则最小数为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
又在日历的最后一列，
不符合题意，
嘉琪的说法不正确．
【解析】设中间的数为，则另外个数分别为，，，，利用“相对的两对数分别相乘，再相减”，即可证出结论；
设这个数中最大数为，则最小数为，根据最小数与最大数的积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其中符合题意的值，即可得出结论；
嘉琪的说法不正确，设这个数中最大数为，则最小数为，根据最小数与最大数的积为，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由其中的正值在日历的最后一列，可得出不符合题意，即嘉琪的说法不正确．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：设，两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：，两个月的销售量月平均增长率为．
解法一：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，不符合题意，舍去，
当时，．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．
解法二：设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得，
解得，不符合题意，舍去．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．
【解析】设，两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法一：设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法二：设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．
23.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
过点作于点，如图所示：则为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
当点落在上时，由题意可知、均为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，
当点恰好落在上时，；
在点运动过程中：
当时，如图所示：
，
；
当时，如图所示：
，
；
当时，如图所示：
设、分别与交于点、，则、均为等腰直角三角形，
，
，
；
综上所述，与之间的函数关系式为：
；
在点、的运动过程中：
当与落在同一直线上时，如图所示：
此时，为等腰直角三角形，则，
，
；
当与落在同一直线上时，如图所示：
此时，为等腰直角三角形，则，
，
；
当与落在同一直线上时，如图所示：
，
；
综上所述，满足条件的的值为：或或．
求出，，，当点落在上时，、均为等腰直角三角形，利用几何图形性质求出的值；
点的运动过程，可分为三种情形：
当时，，；
当时，，；
当时，设、分别与交于点、，则、均为等腰直角三角形，，，；
点、的运动过程，满足题意条件的有三种情形：
当与落在同一直线上时，此时，为等腰直角三角形，则，由，得出；
当与落在同一直线上时，此时，为等腰直角三角形，则，由，得出；
当与落在同一直线上时，由，得出．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积与梯形面积的计算、分类讨论等知识；解题关键是根据题意深刻理解图形的运动过程并画出图形、进行分类讨论．
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