2023年江西省抚州市八校中考数学三模试卷（含解析）

2023年江西省抚州市八校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ，，，中最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，为圆的直径，，为圆的弦，，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为( )
A. B. C. D.
6. 如图，抛物线交轴于，两点，则下列判断中，错误的是( )
A. 图象的对称轴是直线
B. 当时，随的增大而减小
C. 若图象上两点为，则
D. 一元二次方程的两个根是和
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 在函数中，自变量的取值范围是______．
8. 因式分解：______．
9. 年月日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超亿．亿用科学记数法表示为______．
10. 设，是方程的两个实数根，则的值为______ ．
11. 甲、乙两同学进行跳绳训练，甲每分钟比乙每分钟多跳个，甲跳个所用时间与乙跳个所用时间相等，甲、乙两人每分钟分别跳多少个？设甲每分钟跳个，则可列分式方程为______ ．
12. 在菱形中，，，点，分别是，的中点，动点从出发，沿着顺时针方向运动到点，当为直角三角形时，的长度为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
计算：；
解不等式组．
14. 本小题分
先化简，再求值：，其中实数可使关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
15. 本小题分
小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着楼梯，客厅，走廊三盏电灯，其中走廊的灯已坏对应的开关闭合也没有亮．
若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是______事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是______事件填“不可能”或“必然”或“随机”；
若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．
16. 本小题分
如图，在四边形中，，，点是的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．不写画法，保留画图痕迹
在图中，画出的边上的中线；
在图中，若，画出的边上的高．
17. 本小题分
如图，是的直径，是弦，直线经过点，于点，．
求证：是的切线；
若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
18. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象同时经过点，两点．
则______；
若．
求反比例函数的解析式；
延长交轴于点，求点坐标．
19. 本小题分
手机随拍已经成为旅游爱好者生活的一部分，某超市计划购进甲、乙两种型号的手机支架共个，甲型号的进价为元个，乙种型号的进价为元个，如表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 个 个 元
第二周 个 个 元
则甲种型号手机支架的销售单价为______ 元乙种型号手机支架的销售单价为______ 元设该超市计划购进甲种型号手机支架个，销售完这批手机支架所获总利润为元，则与的函数关系式为______ ；不要求写出的取值范围
在的条件下，若该超市要将这批手机支架的进货成本控制在元以内含元，且甲种型号手机支架最多购进个，则进货方案有几种，最大利润为多少？
20. 本小题分
中国自古就是礼仪之邦，平辈行礼，上半身前弯，晚辈行礼，上半身前弯小贤同学路遇李老师，面向李老师行了一个的作揖礼，李老师面向小贤回了一个的作揖礼如图现将其简化成如图所示，已知李老师身高，上半身身高，小贤身高，上半身身高．
求当李老师回礼时，其头部距地面的高度；
行礼之时，人与人之间应该保持以上的距离指头与头之间的水平距离最为适宜行礼前，小贤距李老师，请问同时行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离是否适宜？
参考数据：，，
21. 本小题分
北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了名志愿者的测试成绩进行整理和分析成绩得分用表示，满分分，共分成五组：，，，，，下面给出了部分信息：
甲校名志愿者的成绩在组的数据是：，，，．
乙校名志愿者的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
扇形统计图如下：
两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学校 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
由上表填空： ______ ， ______ ， ______
你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由写出一条即可．
若甲校有名志愿者，乙校有名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在分及其以上的志愿者有多少？
22. 本小题分
如图，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度单位：米与水柱落地处距离喷水头的距离单位：米之间的函数关系式为，其图象如图所示已知坡地所在直线经过点．
的值为______ ；
若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
若点横坐标为，水柱能超过点，则的取值范围为______ ；
若时，到喷水头水平距离为米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
23. 本小题分
课本再现：
我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．
如图，在中，点，分别是，的中点，连接则与的关系是______ ．
定理证明
请根据中内容结合图，写出中结论的证明过程．
定理应用
如图，在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点若，则的度数是______ ．
如图，在矩形中，，，点在边上，且将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，，，中最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图，注意主视图的方向，俯视图与主视图的方向有关．
3.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法计算可以判断；选项B利用单项式除以单项式计算，即可判断；选项C利用积的乘方进行计算，即可判断；选项D利用完全平方公式，即可判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：连接，则：，
为圆的直径，
，
，
；
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，得到，，勾股定理求出，根据余弦的定义，进行求解即可．
本题考查圆周角定理和锐角三角函数．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及余弦的定义，是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理和等腰直角三角形，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键．
先判断出，进而判断出，再利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：由折叠补全图形如图所示，
四边形是矩形，
，，，
由第一次折叠得：，，
，
，
在中，，
由第二次折叠知，沿折叠后与重合，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由图象可得，
图象的对称轴是直线，故选项A正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项B正确，不符合题意；
和对应的函数值相等，若图象上两点为，则，故选项C错误，符合题意；
当时，对应的的值为或，
一元二次方程的两个根是和，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】全体实数
【解析】解：在函数中，自变量的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
根据一次函数有意义的条件，可得答案．
本题考查了一次函数的性质，函数自变量的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
提公因式，再运用平方差公式因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9.【答案】
【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10.【答案】
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11.【答案】
【解析】解：设甲每分钟跳个，则乙每分钟跳个，
由题意得：，
故答案为：．
根据“甲跳个所用时间与乙跳个所用时间相等”列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
12.【答案】或或．
【解析】解：四边形为菱形，，
，
，
，
，
，
．
，分别是，的中点，
，，
．
连接，是等边三角形；
当点在边上时；如图，
当点是的中点时，为直角三角形，
此时，
；
当点在边上时；如图，
连接，
当点是的中点时，为直角三角形，
此时，
连接，，，
，，
是等边三角形，
，
由勾股定理得，
由勾股定理得：；
当点在边上时，连接，，，，，如图，
当点是的中点时，此时，
，为的中位线，为的中位线，
，，
，
为直角三角形，
，，
是等边三角形，
，
由勾股定理得；
综上，的长为或或．
故答案为：或或．
本题分三种情况：当点在边上时，当点在边上时，当点在边上时，需分别画出图形，再求值．
本题主要考查了学生对于菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识的掌握情况，难度较大，需要认真作答．
13.【答案】解：原式
；
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
【解析】先计算乘方、绝对值，零指数幂以及特殊角的正弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是掌握解一元一次不等式组的步骤．
14.【答案】解：原式，
，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当时，原式．
【解析】首先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化简，再根据根的判别式确定的值，然后代入化简后的分式求值即可．
此题主要考查了分式的化简求值，以及根的判别式，关键是掌握分式的除法计算法则．
15.【答案】随机 不可能
【解析】解：根据题意可知：
小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件，
小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件．
故答案为：随机，不可能；
树状图如下：
由树状图可知：
共有种等可能的结果，
其中“客厅和楼梯灯都亮了”的有种，
所以．
根据“不可能”或“必然”或“随机”事件定义即可填空；
根据题意画树状图法即可求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．
本题考查了列表法与树状图法、随机事件，解决本题的关键是准确画出树状图．
16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．

【解析】连接交于，易得四边形为平行四边形，再根据三角形中位线判断点为的中点，然后连接即可；
连接交于，点为的中点，再连接、，它们相交于，连接并延长交于，则．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
17.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
为圆的切线；
解：，为圆的切线，
，
，
，
为等边三角形，
，
在中，，
，根据勾股定理得：，
．
【解析】连接，由，利用等边对等角得到，由，等量代换得到一对内错角相等，得到与平行，由垂直于，得到垂直于，即可得到为圆的切线；
由的度数求出为，确定出三角形为等边三角形，由半径为求出的长，在直角三角形中，由度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长，由扇形面积减去三角形面积求出弓形的面积，再由三角形面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．
此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，在反比例函数的图象上，
，，
，
故答案为：；
如图，过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的平行线，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
又，，
，
，
反比例函数的解析式为；
由可知：，，
设直线的解析式为，将，两点坐标代入得：
，
解得，
，
当时，，
．
根据，在反比例函数的图象上，可得和的关系；
过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的平行线，交的延长线于点，利用∽，得，则，从而解决问题；
由可知：，，利用待定系数法求出直线的解析式，进而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，利用型相似求出点、的坐标是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：设甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为元、元，
，
解得，
甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为元、元，
由题意可得，，
即与的函数关系式是，
故答案为：，，；
由题意可得，
，
解得，，
，为整数，
，，，
，
当时，取得最大值，此时，
答：进货方案有三种，最大利润为元．
根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号手机支架的销售单价；根据题意，可以得到与的函数关系式；
根据题意可以得到相应的不等式，从而可以得到共有几种进货方案，大利润为多少．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20.【答案】解：如图，如点作于点．
由题意可知，，
，
李老师身高，上半身身高，
下半身身高，
．
答：当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为．
如图，过点作于点．
由题意可知，
是等腰直角三角形，
小贤上半身身高，
，
，，
，
．
，
，
行礼时，李老师与小贤之间的距离适宜．
【解析】如点作于点由锐角的余弦求出的长，即可求出的长．
过点作于点，有直角三角形的性质求出的长，由锐角的正弦求出的长，求出行礼时，李老师与小贤之间的距离，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，关键是由三角函数定义求出，，的长．
21.【答案】
【解析】解：甲校在组人数为：人，则第、个数据分别为、，
则，
乙校：出现次最多，则，
甲校组：人，则，
故答案为：，，；
乙校志愿者较好．
理由如下：
甲、乙两校的平均数、中位数虽然相同，但是乙校众数比甲校的大；或甲校的方差为，乙校的方差是，而，
乙校的成绩较为稳定，
乙校志愿者测试成绩较好；
乙校成绩在分及其以上的志愿者共人，
根据题意得：人，
答：成绩在分及其以上的志愿者有人．
根据中位数、众数的意义分别求出、、的值以及的值；
根据众数、方差的大小比较得出结论；
求出成绩在分及其以上的志愿者的百分比即可．
本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】
【解析】解：把点代入得，，
故答案为：；
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
抛物线的解析式为，
即，
坡地经过点，
的解析式为，
如解图，
设抛物线上一点，过点作轴交于点，
则，的长为，
，
函数图象开口向下，有最大值，最大值为，
水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
由知，直线的解析式为，
时，
，
，
抛物线的解析式为，即，
当时，，
要使水柱能超过点则，
解得，
的取值范围为，
故答案为：；
不能；
理由：当灌溉装置水平向后移动米时，平移后的抛物线解析式为．
将代入抛物线解析式，得，
将代入直线解析式，得，
，
水平向后移动米，不能灌溉到这棵树．
把点代入即可；
先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可；
先根据直线的解析式求出点坐标，再代入抛物线解析式，根据对称轴为以及水柱能超过点求出的取值范围；
根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可．
此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
23.【答案】，
【解析】解：如图，延长至点，使，
连接，
，
，，
≌，
，，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，．
故答案为：且；
证明：如图，延长至点，使，
连接，
，
，，
≌，
，，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，．
点，分别为，的中点，
，
，
点，分别为、的中点，
，
，
．
故答案为：．
如图，延长至点，使，连接，
连接，
，
，，
，
由勾股定理得，，
，，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上不与点重合，
当点在线段上时，最小，最小值为；
当点在线段的延长线上时，最大，最大值为．
故：长的最大值为，最小值为．
根据题意直接判断关系；
作辅助线延长至点，使，连接，然后证明≌，得出，再证明四边形为平行四边形，即可得出，根据，，得出；
根据平行线的性质和几个角之间的关系即可求出；
根据勾股定理先求出的长度，再画隐形圆作辅助线，分别求出最大值和最小值．
本题主要考查了全等三角形的知识、勾股定理的知识、旋转的知识、平行四边形的知识、中位线的知识、圆的知识，难度较大，需认真作答即可．
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2023年江西省抚州市八校中考数学三模试卷（含解析）