天津市河北区2022-2023高二下学期期末质量检测数学试题（含答案）

河北区 2022-2023 学年度第二学期期末高二年级质量检测
数 学 答 案
满分 100分
一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分．
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
答案 A B A D D A C C B D
二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分．
1
（11 1 3） i； （12） ； （13） 3 2 2 ；
2 2 3
32
（14） ； （15） (14，15)．
9
三、解答题：本大题共 4个小题，共 40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分 8分）
证明：（Ⅰ）在三棱柱 ABC A1B1C1中，
AA1∥BB1， AA1 = BB1．
∵D， E分别为 AA1， BB1的中点，
∴ AD∥B1E， AD = B1E．
∴四边形 AEB1D是平行四边形．
∴ AE∥DB1． …………2分
又 AE 平面 B1C1D，
DB1 平面 B1C1D，
∴ AE∥平面 B1C1D． …………4分
（Ⅱ）∵ AC 平面 BCC1B1，
∴ AC CC1．
∵侧面 BCC1B1是矩形，
∴ BC CC1． …………6分
又 AC BC =C，
高二数学答案 第 1页 （共 3页）
{#{QQABIYiUoggoQBBAAAACQwFyCgAQkgECCIgOQBAUMEAByAFABAA=}#}
∴CC1 平面 ABC． …………8分
（17）（本小题满分 10分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，得 sin Acos B = (3sinC sin B) cos A， …………2分
即 sin Acos B sin B cos A = 3sinC cos A．
∴ sin(A B) = 3sinC cos A，即 sinC = 3sinC cos A．
∵ sinC 0，
1
∴ cos A = ． …………4分
3
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 cos A = ，又 0 A π，
3
sin A = 1 cos 2
2 2
∴ A = ． …………5分
3
1
由△ABC 的面积 S = bc sin A = 2 ，
2
解得 bc = 3． …………7分
b2 c2 a2 1
由余弦定理，得 cos A = = ．
2bc 3
b2 c2可得 = 10． …………9分
b c = b2∴ c2 2bc = 4． …………10分
（18）（本小题满分 10分）
解：（Ⅰ）设“摸出的 2个球中恰有 1个白球和 1个红球”为事件 A，
C1C1 3
由题意，得 P(A) = 3 22 = ． …………3分C5 5
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2， …………4分
C0C2 1
∴ P(X 0) 3 2
C2
= ，
5 10
C1C13 2 3P(X 1)
C2
= ，
5 5
C2C0 3
P(X 2) 3 22 = ．C5 10
随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
1 3 3 …………8分
P
10 5 10
高二数学答案 第 2页 （共 3页）
{#{QQABIYiUoggoQBBAAAACQwFyCgAQkgECCIgOQBAUMEAByAFABAA=}#}
1 3 3 6
∴ E(X ) 0 +1 +2 ． …………10分
10 5 10 5
（19）（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）由题意得，丙队进入决赛的概率为
4 4 2 4
p( - p) = - p2 p = - ( p- )2 ． …………2分
3 3 3 9
3

0 p≤ ，
∵ 4
40≤ p≤1，
3
1 3
∴ ≤ p≤ ． …………3分
3 4
2 4
∴当 p = 时，丙队进入决赛的概率最大为 ． …………4分
3 9
2 2 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，甲、乙、丙三队进入决赛的概率均为 = ， …………5分
3 3 9
4
∴进入决赛的队伍数 X ~ B(3， )， …………6分
9
0 4 3 125P(X 0) C3 (1 ) ，9 729
P(X 1) C1
4 4 2 300 100
3 (1 ) ，9 9 729 243
4 4 240 80
P(X 2) C 23 ( )
2 (1 ) ，
9 9 729 243
3 4 64P(X 3) C3 ( )
3 ．
9 729
随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3
125 100 80 64
P
729 243 243 729 …………11分
4
E(X ) np ． …………12分
3
注：其他解法可参照评分标准酌情给分
高二数学答案 第 3页 （共 3页）
{#{QQABIYiUoggoQBBAAAACQwFyCgAQkgECCIgOQBAUMEAByAFABAA=}#}天津市河北区2022-2023学年高二下学期期末质量检测
数学
题号 一 二 三 总分
（16） （17） （18） （19）
成绩
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
答案
（1）已知集合，，则集合
A. B.
C. D.
（2）设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q的值为
X 0 1
P q
A. B. C. D.
（3）设a，，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（4）在某校举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩分为5组：，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，已知内的频数是40，则成绩在的学生人数是
A.25 B.20 C.18 D.15
（5）函数的图象大致是
A. B.
C. D.
（6）设，，，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
（7）已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
（8）若随机变量X服从二项分布，则的值为
A. B. C. D.
（9）袋中有10个大小相同的球，其中有6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为
A. B. C. D.
（10）将函数，的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是
A.是最小正周期为的奇函数 B.是最小正周期为的偶函数
C.在上单调递减 D.在上的最小值为
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.
（11）i是虚数单位，则复数__________.
（12）已知随机变量，若，，则p的值为__________.
（13）已知，，且，则的最小值为__________.
（14）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，测的值为__________.
（15）已知函数若存在，使得，则的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分8分）
如图，在三棱柱中，平面，侧面为矩形，D，E分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面.
（17）（本小题满分10分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的值.
（18）（本小题满分10分）
一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
（Ⅰ）求摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率；
（Ⅱ）用X表示摸出的2个球中的白球个数，求随机变量X的分布列及均值.
（19）（本小题满分12分）
我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”、某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.
（Ⅰ）求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.

天津市河北区2022-2023高二下学期期末质量检测数学试题（含答案）