广东省茂名市信宜市重点中学2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含答案）

信宜市重点中学2022-2023学年高一下学期期末考试
数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数z满足，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．数据1，3，5，7，9，11，13，15的80%分位数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数（，）的部分图象如图所示，
则函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则外接圆半径为10
C．若，则为等腰三角形
D．若，，，则三角形面积
11．若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
12．如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（ ）
A．若四点共面，则点的运动轨迹长度为
B．若，则点的运动轨迹长度为
C．若，则点的运动轨迹长度为
D．若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为
三、填空题
13．已知i为虚数单位，复数，则____________
14．某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取___________名.
15．在平行四边形中，点E，F分别在边上，且，线段与对角线交于点K，，则实数__________．
16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为_________．
四、解答题
17．设向量
（1）若向量 与向量 平行，求 的值；
（2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值.
18．已知，，．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出的值．
19．已知四棱锥，其中面，
面，为的中点.
(1)求证：面；
(2)求证：面面.
20．2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.
(1)根据测试得分频率分布直方图，求的值；
(2)根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；
(3)猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由.
21．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
22.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面．
(1)求证：平面；
(2)已知，
（ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值；
（ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【详解】不等式解得，∴，
不等式解得，∴，可得.
2．B【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误.
函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误.
函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确.
3．D【详解】∵，则，∴.
4．选：C.【详解】由于，故改组数据的80%分位数为.
5．选：A.
【详解】在中，由正弦定理得，
，即，解得：.
6．A【详解】解：因为，所以，
解得，所以.将点的坐标代入可得，
所以，即.
因为，所以，从而.
7．B【详解】由圆锥的特征可知圆锥的侧面展开图形成的扇形弧长为底面圆的周长，
则该弧长为，又，由扇形的弧长公式可知：圆锥的母线长为.
8．【详解】连，相交于点，连、，
因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．故选：C.
9．BD
【详解】个数据为：，
，故80%分位数为，A选项错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.
中位数是，C选项错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.
10．ACD
【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确.
11．BCD
【详解】对A，因为，所以，
则，故A错误；
对B，又，因为，
所以，即与的夹角为，故B正确；
又，所以，故C正确；
又在上的投影向量为，故D正确.
12．ABD【详解】对于A，因为，所以确定一个平面，而不共线的三点在这个平面内，
所以确定的平面即为平面，故点在上，即点的轨迹为，，故A正确；

对于B，连接，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
又平面，所以平面，故当时，点在上，即点的轨迹为，，故B正确；
对于C，因为在正方体中，所以平面，
而平面，所以，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为，故C错误；
对于D，因为，直线与所成的角为，所以与所成的角为，即，所以在直角中，，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为，故D正确；
故选：ABD.
13．5
【详解】因为，所以，故.故答案为：.
14．96【详解】由已知得女生与男生的比例为：，
根据分层抽样的定义，男生应该抽取的人数为：（人）
15．【详解】由题设共线，且，
则，

又，则，可得.
16．【详解】由已知得
将三棱柱置于长方体中，如下图所示，此时“塹堵”即三棱柱的外接球的直径为，三棱柱的外接球的体积为.故答案为：．
17．【详解】（1），
向量 与向量 平行，
..............4分
（2）因为 ， ，
因为 与 互相垂直，所以 ，
即 ，
，解得 或 ..................10分
18．【详解】解：，，
由....................1分
，....................2分
的最小正周期，....................3分
由，....................4分
得：，....................5分
的单调递减区间为，；....................6分
（注：没有,扣1分）
由可得：....................7分
当，即时，函数取得最小值为....................9分
当，即时，函数取得最大值为....................11分
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．....................12分
19．（1）取中点，连接，如图，
∵分别是的中点，∴，且，
又∵面， 面，∴，故，
又∵∴，故四边形为平行四边形，
∴，又面，面，∴面.
（2）∵，∴为等边三角形，
又∵为的中点，∴，
又∵面，面，∴，
又∵面 ，∴面，
∵，∴面，
又∵面，∴面面.
20．【详解】（1）解：
解得...........4分
（2）语文平均分的近似值为，
所以，语文平均分的近似值为79.2............10分
（3）中位数大于平均数.
因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.......12分
21．（1）在中，由正弦定理得，
∵，代入化简得，....................1分
∵，∴，....................2分
∴，....................3分
又显然，即，
∴，...................4分
又∵，∴.....................6分(范围1分，结果1分)
∵，由，....................7分
得．....................8分
在△ABC中，由余弦定理，得 ....................10分∴，
∴，....................11分
∴△ABC的周长为3．....................12分
22．(1)证明：四边形是菱形，，....................1分
又平面，平面，
，又，平面，....................2分
平面；....................3分
(2)解：（ⅰ）平面，平面，
所以，，....................4分
所以，，....................5分
因为，所以即为直线与所成角（或补角），....................6分
又，所以在中由余弦定理，
即，解得，....................7分
所以为锐角，
即为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值；....................8分
（ⅱ）平面，
是直线与平面所成的角，
于是，....................9分
，，又，
所以....................10分
菱形的面积为，...................11分
故四棱锥的体积．....................12分
答案第1页，共2页

广东省茂名市信宜市重点中学2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含答案）