2022-2023河南省信阳市商城县重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省信阳市商城县重点中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复平面内表示复数的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量，，且，则实数( )
A. B. C. D.
3. “为第一象限角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在中，若，，则形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知，，则( )
A. B. C. D.
6. 把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
7. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹图是图抽象出来的图形，在图中，圆中各个三角形如为等腰直角三角形，点为圆心，中间部分是正方形且边长为，定点，所在位置如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 函数在内恰有两个最小值点，则的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知中，，，，若三角形有两个解，则不可能的取值为( )
A. B. C. D.
10. 若复数，则( )
A. B.
C. 的共轭复数 D.
11. 下列关于平面向量的命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 两个非零向量垂直的充要条件是：
C. 若向量，则，，，四点必在一条直线上
D. 向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
12. 关于函数有以下四个选项，正确的是( )
A. 对任意的，都不是偶函数
B. 存在，使是奇函数
C. 存在，使
D. 若的图像关于对称，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______．
14. 已知函数，若，则 ______ ．
15. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处即，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高 ______
16. 在中，若，，则的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数满足：．
求复数；
化简：．
18. 本小题分
已知向量，满足，，．
求向量与向量的夹角；
求向量在向量方向上的投影的数量．
19. 本小题分
已知．
求的值；
若，求的值．
20. 本小题分
在，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足____．
求角的大小；
若点为边上的一点，且，，，求的面积．
21. 本小题分
已知，．
若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
若，函数，求的最小值．
22. 本小题分
已知函数的部分图像如图所示，若，，分别为最高点与最低点．
求函数的解析式；
若函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，求实数的取值范围，并求出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，以及复数的几何意义的理解和应用，解题的关键是掌握复数的运算法则，属于基础题．
先利用复数的乘法运算求出的代数形式，然后由复数的几何意义求出对应的点的坐标，即可得到答案．
【解答】
解：复数，
因为，所以复数对应的点的坐标在第四象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
则，即，
，，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若为第一象限角则必有，
反之，若，则为第一或第三象限角，
所以“为第一象限角”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【解答】解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
又，
所以，
则形状为等边三角形．
故选：．
【分析】由已知结合正弦定理进行化简即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，则，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合同角平方关系先求出，然后结合两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，
函数的图象右移个单位长度，得到的图象；
纵坐标不变，再把横坐标伸长到原来的倍，可得函数图象，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：连接，因为中间阴影部分是正方形且边长为，
由题意可得图中各个三角形都为等腰直角三角形，
所以，，，，
则
．
故选：．
根据向量的线性表示及向量数量积的性质，代入相关数据即可．
本题主要考查了向量数量积的性质在实际问题中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：作出函数的部分图象，如图所示：
因为的最小正周期为，要使在内恰有两个最小值点，
须满足，解得，即，
所以的取值范围是．
故选：．
作出函数的部分图象，结合图象得出在内恰有两个最小值点时满足的解析式，求解即可．
本题主要考查了正弦函数的图象应用问题，也考查了推理与转化能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的个数的判断方法，考查计算能力，属于基础题．
若三角形有两个解，则，由此可得到的范围，进而得解．
【解答】
解：要使三角形有两个解，则需，
即，解得，
选项中只有符合条件．
故选：．

10.【答案】
【解析】解：因为复数，
所以，故选项A正确，选项B错误；
的共轭复数，故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：．
利用复数模的定义即可判断选项A，，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法则求出，即可判断选项D．
本题考查了复数基本概念的理解和应用，主要考查了共轭复数的定义，复数模的求解以及复数的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，有，且，但不一定成立，A错误；
对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B正确；
对于，若向量，与方向和大小都相同，但，，，四点不一定在一条直线上，C错误；
对于，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使，D正确．
故选：．
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析与判断即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，其中，
所以，，
所以不可能是偶函数，故A正确；
对于，由可知，，所以，，
所以不可能是奇函数，故B错误；
对于，因为，故C错误；
对于，因为的图像关于对称，
所以，
所以，
解得，故D正确．
故选：．
利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式写成正弦型函数，进一步利用函数的性质逐一判断即可．
本题考查了辅助角公式的应用、正弦函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
又，所以．
所以．
故答案为：．
利用诱导公式可得，再利用，可求．
本题考查诱导公式的运用，以及二倍角的余弦公式，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
若，则．
故答案为：．
由已知结合函数的奇偶性可得，结合可求．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
则，
又，
则，
观测到山顶处的仰角为，
则，即，，
在中，由正弦定理可得，，即，解得，
故BC．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角形中角的关系，依次求出，，再结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，且，即，
由正弦定理得，即，
，，
，其中，
时，取得最大值，且最大值为，
故答案为：．
由题意得，，，则，其中，利用三角函数的性质，即可得出答案．
本题考查正弦定理和三角函数的性质，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设复数，
根据题意，得，则，
所以，解得，
故．
由得，
则．
【解析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数相等的条件，共轭复数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：，
，
，又，，
，
，又，
向量与向量的夹角为；
向量在向量方向上的投影的数量为：
．
【解析】根据向量数量积的定义与性质即可求解；
根据向量数量积，向量投影的定义即可求解．
本题考查向量数量积的定义与性质，向量投影的定义，属基础题．
19.【答案】解因为，可得，即，
所以；
由可得，所以，
，而，所以，
，，
可得，则，
所以．
【解析】由二倍角公式可得的正余弦值的关系，再由“”的活用，可得代数式的值；
由可得的正切值，再由，可得它的正切值，再由，的范围，可得角的大小．
本题考查二倍角及两角和的正切公式的应用，“”的活用，属于基础题．
20.【答案】解：在中，角，，所对的边分别为，，，
选，因为，
所以，
即，由正弦定理得，
由余弦定理，
因为，所以；
选，因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
点为边上的一点，且，，，
在中，由余弦定理，
所以，所以，
在中，由正弦定理，即，解得，，
所以．
综上，三角形的面积为．
【解析】分别选择条件和，运用正弦定理和余弦定理即可求解；
先求，再求，运用面积公式即可．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，与的夹角为钝角，
且与不能共线，
，，
又，，
，
又当与共线时，，，
与不共线时，，
综上可得；
，
令，
则，
而函数在上为增函数，
故当时，有最小值．
故的最小值为．
【解析】又与的夹角为钝角，可得且与不能共线，列不等式求的范围；
化简得，利用将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质求值域．
本题考查平行向量的数量积的运算，三角函数的性质，属中档题．
22.【答案】解：由题意可知：
，
设函数的周期为，
则，，，
由图像可知：，，，，
，，
由题意得：，
解得：，
，解得：，
．
由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，
即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．
设，当时，，
则，，
由图像可知，，，
，
即，
则，
．
【解析】化简函数，设函数的周期为，则，，再根据已知条件列式求解即可；
将函数在上有且仅有三个不同的零点，转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，是难题．
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2022-2023河南省信阳市商城县重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）