2023年山东省泰安市泰山学院附属中学中考三模数学试题(含解析)

泰山学院附属中学初四数学第三次学情调研卷
2023.5
一、选择题（本大题共12小题；每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.志愿服务传递爱心，传播文明，下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3.根据国家统计局在2023年1月的数据显示，2022年我国的科学研究与试验发展经费投入达30870亿元，首次突破3万亿大关，30870亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A.众数是8 B.中位数是8
C.平均数是8.2 D.方差是1.2
6.如图，将线段先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在Rt中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧相交于点和点，直线交于点，交于点，连接，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.8
8.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（ ）个．
A.4 B.3 C.2 D.1
10.某通信公司准备逐步在泰山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长26米，则通讯塔的高度为（ ）（参考数据：）
A.米 B.米 C.56米 D.66米
11.如图，平行四边形中，对角线相交于分别是的中点，下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④平分，其中正确结论的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
12.如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A. B. C.7 D.8
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13.分解因式：__________．
14.设是方程的两个根，且，则__________．
15.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示图形，则搭成该几何体的小正方体的个数为__________．
16.已知抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴的一个交点是，则的值是__________．
17.如图，已知扇形的半径将扇形绕点顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是__________．
18.在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为__________．
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19.（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20.（10分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅统计图．
（1）求本次调查共抽取了__________名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图补充完整
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“爱国”为主题的九年级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小明、小强和小红的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小明和小强同学的征文同时被选中的概率．
21.（10分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商店第一次用1200元购进冰墩墩手办若干个，第二次又用相同价格购进冰墩墩饰扣若干个，已知每个冰墩墩饰扣的进价是冰墩墩手办进价的，购进冰墩墩手办数量比饰扣少了10个．
（1）冰墩墩饰扣的进价是多少元？
（2）若冰墩墩饰扣的售价要比冰墩墩手办的售价少30元，且销售完毕后获利不低于1100元，问每个冰墩墩手办的售价至少是多少元？
22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是菱形，且．若反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，设直线的解析式为．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）请结合图象直接写出不等式的解集．
23.（12分）如图，在中，点分别在边上，与相交于点，且．
（1）求证：①；②；
（2）若，求线段的长．
24.（13分）如图，是等边三角形，
（1）是边延长线上一点，连接交的外接圆于点，延长至，使得，连接，
①猜想的形状，并证明你的结论；
②若，求的长度．
（2）如图2，是等边与的公共边，且，连接，请探究三条线段的数量关系．
25.（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线第四象限上的一个动点，过点作交于点．
①如图1，记面积为面积为，求的面积最大值及此时点的坐标．
②如图2，若将沿直线翻折得到，且点落在线段上，求此时点的坐标．
泰山学院附属中学初四数学第三次学情调研卷
2023.5
一、选择题（本大题共12小题；每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1.【答案】C
【解答】解：不能合并，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
2.【答案】D
【解答】解：．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D.
3.【答案】B
【解答】解：30870亿．
故选：．
4.【答案】A
【解答】解：方法一，如图，过点作，则，
六边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的内角和是，
，
方法二，如图，延长交于点，
，
六边形是正六边形，
其每个外角都相等，
，
，
，
故选：．
5.【答案】D
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故选项正确；
10次成绩排序后为：，所以中位数是，故选项正确；
平均数为，故选项正确；
方差为
，故选项错误；
故选：．
6.【答案】D
【解答】解：将线段先向右平移5个单位，点，连接，顺时针旋转，则对应坐标为，
故选：．
7.【答案】A
【解答】解：在Rt中，，
，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
8.【答案】A
【解答】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，
可列出方程．
故选：．
9.【答案】A
【解答】解：二次函数对称轴为直线，
，即，故①正确；
二次函数经过，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越远函数值越小，
是抛物线上两点，，且，
，故③正确；
，
，即
，故④正确；
故选：．
10.【答案】B
【解答】如图，延长与水平线交于，过作为垂足，过作，为垂足，连接，
斜坡的坡度为，
设米，则米，
在Rt中，米，由勾股定理得，
即，
解得，
（米），（米），
斜坡的坡度为，
设米，则米，
，
米，
米，
在Rt中，米，米，
，
解得，
（米），（米），
（米），
（米），
答：基站塔的高为米．
故选：．
11.【答案】B
【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，
又，
，且点是中点，
，
故①正确，分别是的中点，
，
点是Rt斜边上的中点，
，无法证明，
故③错误，，
四边形是平行四边形．
故②正确，，
，
，
，
，
，
，
，
平分，故④正确；
故选：．
12.【答案】D
【解答】解：在菱形外作等边三角形，连接，连接交于点，过点作交于点，连接，
四边形是菱形，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
周长，
即周长的最小值为，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
周长的最小值为8.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13.【答案】．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
14.【答案】2.
【解答】解：是方程的两个根，
，
，
，
．
故答案为：2.
15.【答案】4.
【解答】解：由题意可知，该几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数．
所以搭成该几何体的小正方体的个数为4.
故答案为：4.
16.【答案】5或1.
【解答】解：当时，抛物线是由抛物线向右平移个单位得到，
当时，抛物线是由抛物线向左平移个单位得到，
抛物线与轴有两个交点，
当点与为对应点时，由于，
抛物线是由抛物线向右平移5个单位得到，
；
当点与为对应点时，由于，
抛物线是由抛物线向右平移1个单位得到，
，
综上的值是5或1.
故答案为：5或1.
17.【答案】．
【解答】解：如图，连接，由题意可知，点三点在同一条直线上，
由旋转可知，，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
四边形是菱形，
在Rt中，，
，
，
，
故答案为：．
18.【答案】
【解答】解：，
，
每次旋转角度为，
次旋转，
第2022次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上，
第一次旋转后，，
第二次旋转后，，
第三次旋转后，，
……
第2023次旋转后，，
点的坐标为，
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19.【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
（2）原式
当时，
原式．
20.【答案】（1）50名；
（2）见解答；
（3）480名；
（4）
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有（名）；
（2）选择“友善”的人数有（名），
条形统计图如图所示，
（3）“爱国”占（名）；
（4）记小明、小强和小红分别为．
树状图如图所示：
共有6种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的有2种情形，
小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
21.【答案】（1）40元；
（2）88元．
【解答】解：（1）设每个冰墩墩手办进价是元，则每个冰墩墩饰扣的进价是元，根据题意可得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
元
答：每个冰墩墩饰扣的进价是40元；
（2）设每个冰墩墩手办的售价为元，则每个冰墩墩饰扣的售价为元，
根据题意得：，
解得，
答：每个冰墩墩手办的售价至少是88元．
22.【答案】（1）；
（2）
（3）或．
【解答】解：（1）过作于，过作于，则，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数解析式为；
（2）设，则，
四边形是菱形，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
直线的解析式为；
（3）解方程组，得：，
，
不等式的解集为或．
23.【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）．
【解答】（1）①证明：，
，
，
，
；
②证明：，
．
，
由（1）知：，
，
；
（2）解：过点作于点，交于点，连接，如图，
，
，
即为的垂直平分线，
，
，
由（1）②知：，
，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
．
．
24.【答案】（1）的形状是等边三角形；
（2）；
（3）．
【解答】（1）解：的形状是等边三角形，理由：
是等边三角形，
，
．
在和中，
，
．
是等腰三角形．
，
．
，
，
的形状是等边三角形；
（2）解：是等边三角形，
．
，
．
．
，
，
，
．
（3）将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，
，
是等边三角形，
，
，
即
，
，
是等边三角形，
，
连接，
，
，
，
故答案为：．
25.【解答】解：（1）抛物线经过点和点，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为，
（2）连接PC，
设直线为，将点代入得
则直线为，
过点作轴交于点，设点
当有最大值为，
此时
（3）法一：，
将沿折叠，，
对应点为
连接，设表达式为
将点代入得
（舍）
法二：，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
过点作轴交延长线于点
设表达式为
将点代入得
（舍

2023年山东省泰安市泰山学院附属中学中考三模数学试题(含解析)