作业19：等腰三角形-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业（含解析）

作业19：等腰三角形-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为（ ）

A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过P作交于F，如图所示：
∵，是等边三角形，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
2．如图，，，下列结论正确的是（ ）

A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分
【答案】B
【分析】根据题意可得垂直平分，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，故B结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明垂直平分，则无法证明平分，故A、C、D结论错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
3．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作于点F，易证（AAS），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．
【详解】如图，过点C作于点F

是高，
平分
在和中
（）
，，
∵在中，，又
，
，即
故选：B
【点睛】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．如图，已知，，，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点P作于E，根据角平分线的性质，根据平行线的性质得到，进而根据三角形外角的性质求出，则由含角的直角三角形的性质得到．
【详解】解：如图所示，过点P作于E，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，含度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
5．如图，在中，，的平分线交于点，恰好是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由角平分线和线段垂直平分线性质可求出，，继而推出，即可得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据等边对等角得到，进而利用三角形内角和定理求出，由垂直的定义得到，则，再证明得到，即可根据求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】题考查了等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质；熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
7．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则下列说法错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可判断A；根据角平分线的性质即可判断B；根据含30度角的直角三角形的性质即可判定C、D．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴四个选项中只有D选项中说法错误，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
8．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
【详解】解：如图，连接，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
为的平分线，，
直线垂直平分，
，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
．
；
在中，，
．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
9．如图，，，，是延长线上一点，，垂足为，下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】证明，得出，故①正确；由，得出，，得出，进而得出为等腰直角三角形，故②正确；由得出故③正确；由不能确定，故④不正确，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，
，
故③正确；
，
不能确定，故④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
10．如图，在中，，，过点B作于E，交于点F，于D，，，，的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
（HL），
，
，
的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
11．等腰三角形的顶角是底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为________．
【答案】5cm
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据含角的直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：设等腰三角形的底角为，则顶角为，
由三角形内角和定理得：，
解得：，
，
过点作于点，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，是解题的关键．
12．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的长度的取值范围为______________．

【答案】/
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形三边的关系求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
13．如图，中，，过点作交于点．若，则______度．

【答案】
【分析】根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，结合进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，垂线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．如图，在中，，，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，则的长为_______________．

【答案】2
【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求出，由此得到，再根据列式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵斜边的垂直平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：2．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，等边对等角等知识点，能求出和是解此题的关键．
15．如图，是边长为8的等边三角形，为的中点，延长到点，使，于点，则线段__________________．

【答案】
【分析】根据等边三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，可得，根据等腰三角形的“三线合一”可得即可求解．
【详解】连接，
∵是边长为的等边三角形，为的中点，

，，，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，掌握图形的性质并能根据三角形的外角的性质求出∠E的度数是关键．
16．如图，点，在的边上，，分别垂直平分，，连接，，若，则_______．

【答案】/100度
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再根据，即可得到，依据三角形内角和定理即可得到．
【详解】解：∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图是4个不同的等腰三角形，，经过三角形的任意一个顶点画一条直线，其中不能将这个三角形分成两个等腰三角形的是__________________．

【答案】②
【分析】顶角为：的等腰三角形都可以分成两个等腰三角形．
【详解】解：①中过点或点分出的两个等腰三角形的内角可以为：和；
②不能分出两个等腰三角形
③中过点可以分出的等腰三角形是两个全等的等腰三角形形；
④中过点分出的两个等腰三角形的内角可以为：和；
故答案为：②．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
18．通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是______．

【答案】9.5
【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值．
【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，
，
则，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又，当D，M，N，E共线时，，
∴的最大值为9.5．
故答案为：9.5．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
19．在等腰三角形、等边三角形、非等腰直角三角形、等腰直角三角形中，轴对称图形有_________个．
【答案】3
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，
等边三角形是轴对称图形，
非等腰直角三角形一定不是轴对称图形，
等腰直角三角形是轴对称图形，
综上所述，是轴对称图形的有等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
20．如图，在中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），过点作交于点，则________________度．

【答案】
【分析】利用等腰三角形的性质求，再利用两直线平行同位角相等求出，最后用外角性质求得最后结果．
【详解】解：，
．
，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，外角性质，解题关键准确找到做题用到的角．
三、解答题
21．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．

(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，再由可知，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴；
（2）解：∵，由（1）知，
∴．
∵为等边三角形，是中线，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于是解题的关键．
22．如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．

【答案】见解析
【分析】连接，．由角平分线的性质可知，由垂直平分线的性质可知，利用证明，即可证得．
【详解】证明：如图，连接，．

平分，，，
．
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，掌握相关性质及定理是解决问题的关键．
23．如图，是等边三角形，延长到点，使．是边的中点，连接并延长交于点．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得，，结合，是边的中点可得，即可得，再利用三角形外角的性质可求解，即可求得，进而可证明结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵为的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，中点的定义，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义．掌握等边三角形的性质解题的关键．
24．如图，在等边中，是边的中点，过点作，垂足为．过点作，垂足为．若等边的边长为8，求的长．

【答案】5
【分析】根据含的直角三角形的性质，求出，的长即可解决问题．
【详解】解：，
为直角三角形．
是边的中点，
．
为等边三角形，
，
，
，
．
同理，在中，，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键．
25．已知中，，，，点，分别在边，上，且，将沿直线翻折得．

(1)如图①，若点恰好落在边上，求的长；
(2)如图②，若点落在的外部，交于点，设，试用含的式子表示的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再根据翻折得出，，推出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，进而得出结论；
（2）设交于点，根据题意得出，推出为等边三角形，得出，进而求出，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如答图①，在中，，，
．
，
，
由翻折可知，，
，
为等边三角形，
，
．

（2）解：如答图②，设交于点，
，，
，
由（1）可知，
为等边三角形，
，，
∴，
，
．
，
在中，，，，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，翻折的性质，正确理解题意是解题的关键．
26．如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点．

(1)当时，______，点从点向点运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；
(2)当的长度等于多少时，请说明理由；
(3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗 若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由．
【答案】(1)，小
(2)当时，．理由见解析
(3)可以．当的度数为或时，是等腰三角形
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可解答；
（2）根据平角的定义和三角形的内角和定理可得，结合已知可得：当时，满足结论；
（3）分，，三种情况，分别通过导角计算即可．
【详解】（1）当时，；
点从点向点运动时，由于逐渐变大，所以逐渐变小；
故答案为：，小；
（2）当时，；
理由：，
，
又，
，
.
又，
；

（3）可以；
若，∵，
∴，
∴，
由（2）得；
∴当时，是等腰三角形；
若，∵，
∴，
∴，
∴；
∴当时，是等腰三角形；
若，
由于，
∴不成立，
综上，当的度数为或时，是等腰三角形
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定、运用分类讨论思想是解题的关键．
27．如图，在中，平分，平分，过点作，与，分别相交于点，，若，，求的周长．

【答案】
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，进而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为16．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
28．如图，在等边中，是的中点，于点．求证：．

【答案】见解析
【分析】先根据等边三角形的性质和垂线的定义得到，，则，即可，再由是的中点即可证明．
【详解】证明：∵三角形是等边三角形，，
，，
，
．
是的中点，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，含度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
29．如图，在等腰中，，是斜边上任意一点，于点，交的延长线于点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)探究与，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义及各角之间的关系得出 ，然后利用全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的判定证明，得，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，且，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：．理由如下：
在和中，
，
，
，，
．
【点睛】本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
30．在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，使，．

(1)当点在线段上时，如图①，求证：①；②．
(2)当点在线段的延长线上时，如图②，（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)①不成立，理由见解析；②成立，证明见解析
【分析】（1）①根据等角的余角相等得出，进而证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；
②根据全等三角形的性质得出，在中，根据，可得，等量代换即可得证；
（2）证明，根据全等三角形的性质结合图形得出，，由得出，进而得出，即可得出，从而得出结论．
【详解】（1）证明：①，，
，，
．
在和中，
，
．
，
．
②，
．
在中，，
，即，
．
（2）解：①不成立．理由如下：
，
，
．
在与中，
，
．
，
．
②成立．证明如下：
，
．
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
作业19：等腰三角形-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为（ ）

A． B． C．1 D．2
2．如图，，，下列结论正确的是（ ）

A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分
3．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，已知，，，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，，的平分线交于点，恰好是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ）

A． B． C． D．无法确定
7．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则下列说法错误的是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，，，，是延长线上一点，，垂足为，下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
10．如图，在中，，，过点B作于E，交于点F，于D，，，，的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题
11．等腰三角形的顶角是底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为________．
12．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的长度的取值范围为______________．

13．如图，中，，过点作交于点．若，则______度．

14．如图，在中，，，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，则的长为_______________．

15．如图，是边长为8的等边三角形，为的中点，延长到点，使，于点，则线段__________________．

16．如图，点，在的边上，，分别垂直平分，，连接，，若，则_______．

17．如图是4个不同的等腰三角形，，经过三角形的任意一个顶点画一条直线，其中不能将这个三角形分成两个等腰三角形的是__________________．

18．通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是______．

19．在等腰三角形、等边三角形、非等腰直角三角形、等腰直角三角形中，轴对称图形有_________个．
20．如图，在中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），过点作交于点，则________________度．

三、解答题
21．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．

(1)求证：；
(2)若，求的周长．
22．如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．

23．如图，是等边三角形，延长到点，使．是边的中点，连接并延长交于点．求证：．

24．如图，在等边中，是边的中点，过点作，垂足为．过点作，垂足为．若等边的边长为8，求的长．

25．已知中，，，，点，分别在边，上，且，将沿直线翻折得．

(1)如图①，若点恰好落在边上，求的长；
(2)如图②，若点落在的外部，交于点，设，试用含的式子表示的长．
26．如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点．

(1)当时，______，点从点向点运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；
(2)当的长度等于多少时，请说明理由；
(3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗 若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由．
27．如图，在中，平分，平分，过点作，与，分别相交于点，，若，，求的周长．

28．如图，在等边中，是的中点，于点．求证：．

29．如图，在等腰中，，是斜边上任意一点，于点，交的延长线于点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)探究与，之间的数量关系，并说明理由．
30．在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，使，．

(1)当点在线段上时，如图①，求证：①；②．
(2)当点在线段的延长线上时，如图②，（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()

作业19：等腰三角形-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业（含解析）