九年级数学上册试题 《特殊的平行四边形》–菱形的动点问题-北师大版（含答案）

《特殊的平行四边形》--菱形的动点问题
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，一动点P从点B出发，沿着B→C→D→A的方向匀速运动，最后到达点A，则点P在匀速运动过程中，△APB的面积y随时间x变化的图象大致是( )
A． B．
C． D．
2．如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E．于点F．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，，，点是对角线上的一个动点，，当最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．10 C． D．8
5．如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF＝a，△BEF的周长最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知菱形是动点，边长为4，，若，则（ ）
A． B．4 C． D．1
8．已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，C是y轴上一 个动点，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则这样的点D共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
10．如图1，菱形中，，动点以每秒个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒个单位的速度自点出发沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随时间变化关系图象，则的值是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
11．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交 AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是( )
A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变
二、填空题
12．在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，点F是对角线AC上（不与点A，C重合）一动点，当是等腰三角形时，则∠AFD的度数为_____．
13．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2019秒时，点P的坐标为_____．
14．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_____．
15．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作于点E, 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为____．
16．如图，在菱形ABCD中，，，点E是AB的中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到．若与菱形ABCD的对角线平行，则DF的长为________．
17．如图，菱形的边长为，点是上一动点(不与重合)，点是上一动点，则面积的最小值为____．
18．如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为线段 上一动点（不与点重合），将菱形沿直线折叠，点的对应点为点，当点落在菱形的对角线上时，的长为__.
19．如图，线段，点是线段上的一个动点，分别以和为边在线段的同侧构造菱形和菱形，且，是菱形的对角线交点、是菱形的对角线交点，连接，则线段的最小值为______．
20．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P是直线上一动点，点Q为坐标平面内的点，要使以为顶点的四边形为菱形，则点Q的坐标是_______．
21．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长为________．
22．如图，四边形是菱形，点分别在边上，其中是对角线上的动点，若的最小值为，则该菱形的面积为____________
23．如图，在菱形中，，，于点，交于点．若是菱形边上的一动点，当的面积是时，的长为__________．
三、解答题
24．如图，在菱形中，是上的一个动点（不与、重合）．连接交对角线于，连接．
（1）证明：；
（2）试问点运动到什么位置时，的面积等于菱形面积的？请说明理由．
25．如图，在菱形中，交于点，，，动点从点出发沿以的速度匀速运动到点，动点从点出发沿以的速度匀速运动到点，若点同时出发，问出发后几秒时，的面积为？
26．如图，在菱形中，对角线和交于点．为上一动点，过点作交于点，连接、．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
27．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转120°到，连接，连接并延长，分别交于点．
（1）求证：；
（2）已知，若的最小值为，求菱形的面积．
28．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、．
（1）如图1，若且，求菱形的面积；
（2）如图2，求证：．
　　　　
答案
一、单选题
D．B．D．A．C.B．A．B.A．D．D．
二、填空题
12．108°或72°
13．（﹣，）．
14．π
15．
16．或3
17．
18．或
19．
20．（-3，），（，3），（3，），（，-1）
21．
22．36
23．
三、解答题
24．
解：证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
点运动到中点时，的面积等于菱形面积的．
理由：连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴．
25．
设出发后时，的面积为，则．
根据题意，得，
解得，(舍去)．
答：出发后时，的面积为．
26．
（1）在菱形中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∠ABD=∠ADB，
∴∠AEF=∠ABD=∠ADB=∠AFE，
∴AE=AF，
∴，，
在和中
，
∴，
∴.
27．
（1）证明：四边形是菱形，且，
∴，
∴，
由旋转的性质得：
∴，
∴；
（2）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC,
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时最小，
∵MN=，
∴PC=2，
∵∠DBC=，∠BPC=90°，
∴BC=2PC=4，
∴菱形的面积
28．
（1）连接，如图1，
∵在菱形中，，
又∵，
∴、、三点共线，点M是菱形的旋转中心，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵CM=CN，
∴，MQ=NQ，
∵，
∴，
∴，
∵∠MBC=∠ABC=30°，
∴BM=4，
∴菱形=32；
（2）四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在上取点，使，如图2，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴∠DHN=∠CQN，
∴，
∴，
∴．

九年级数学上册试题 《特殊的平行四边形》--菱形的动点问题-北师大版（含答案）