【人教版九上数学暑假自学辅导与过关练习】01一元二次方程的定义及解法（直接开平方法）(1)（原卷版+解析版）

01 一元二次方程和直接开平方法解一元二次方程
【人教版】
·模块一 一元二次方程
·模块二 直接开平方法解一元二次方程
·模块三 课后作业
1. 一元二次方程得定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
3. 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1.1】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①；②；③； ④； ⑤；⑥．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：①当时，不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是分式方程；
⑤不是一元二次方程；
⑥，化简得：，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程的是②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．
【例1.2】当______时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得，
故答案为：．
【点睛】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【例1.3】关于的一元二次方程，常数项为，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求得的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程，常数项为，
∴，
∴或，
∵关于的方程是一元二次方程，
∴,
∴，
∴；
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1.1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，即可．
【详解】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程
A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，
∴A是一元二次方程，符合题意；
B、整理得：，是一元一次方程，不符合题意；
C、方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意；
D、是一元三次方程，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
【变式1.2】关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据定义可得二次项系数为零，一次项系数不等于，解之即可．
【详解】根据一元一次方程的定义可得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ．
【变式1.3】若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2.1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．
【例2.2】将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式2.1】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可设：，
将代入，得
，
，
故该方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
【变式2.2】若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．
【答案】 0
【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．
【详解】解：方程化为一般形式为：，
∴方程的二次项系数是4，方程的一次项系数是，常数项是0．
故答案为：；0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解题意，将方程化为二次项系数是4的一般形式．
【变式2.3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；
(2)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；
(3)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为；
(4)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为；
(5)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；
(6)，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．
【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；
（2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；
（3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；
（4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；
（5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；
（6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可．
【详解】（1）解：将化为一般形式为：
，
则：二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；
（2）将化为一般形式为：
则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；
（3）将化为一般形式为：
则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为；
（4）将化为一般形式为：
则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为；
（5）将化为一般形式为：
则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；
（6）将化为一般形式为：
则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键．
【考点3 一元二次方程的根（解）】
【例3.1】已知方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入原方程得出，求出k的值即可．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查方程的根的概念及有理数的混合运算，掌握概念正确代入计算是解题关键．
【例3.2】若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．4046 B． C． D．0
【答案】C
【分析】把a代入方程整理得，把代数式适当变形，再整体代入求值即可．
【详解】解：把a代入方程中，得，
移项得得：；
则；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，注意整体思想的运用．
【例3.3】若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解.
【详解】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则
即有一根为.
故选D.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.
【变式3.1】关于x的一元二次方程有一个解是0，则m＝______．
【答案】
【分析】先把方程的解代入原方程可得，再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可解答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，
解得：，
又∵，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的含义、一元二次方程的定义等知识点，掌握“一元二次方程的解满足一元二次方程”是解本题的关键．
【变式3.2】若m是一元二次方程的根，则的值为_____
【答案】6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
【考点4 建立一元二次方程模型】
【例4.1】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用靠边平移思想，整体处理求解即可．
【详解】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，
∴被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握靠边平移思想，整体处理是解题的关键．
【例4.2】2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
．
故选：C．
【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
【例4.3】我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设阔为步，则长为步，根据长方形的面积公式即可列出方程．
【详解】解：设阔为步，则长为步，
可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程．
【变式4.1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设有支球队参加比赛，每支球队都要和其他支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能算作一场，由此列出不等式即可．
【详解】解：设有支球队参加比赛，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
【变式4.2】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，根据“电影院拟一日票房收入为18000元”列方程即可．
【详解】解：设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，
依题意得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出每个放映厅的人数是解题关键．
1. 直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如x2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x1=,x2=.
【考点1 解形如x2=p（p≥0）的方程】
【例1.1】方程的根是（　　）
A． B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】用直接开平方法进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方的法则．
【例1.2】关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________．
【答案】2
【分析】利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【变式1.1】方程的解是__________．
【答案】，
【分析】系数化为1后，利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是本题的关键．
【变式1.2】已知方程的解是有理数，那么对于下列实数m不能取的数是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．10
【答案】D
【分析】分别将各项的值代入，然后解出方程，即可求解．
【详解】解：A、当时，，解得，方程的解为有理数，故本选项不符合题意；
B、当时，，解得，方程的解为有理数，故本选项不符合题意；
C、当时，，解得，方程的解为有理数，故本选项不符合题意；
D、当时，，解得，方程的解不是有理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方的有关知识是解题的关键．
【变式1.3】方程的一个根为，则另一个根为x=___________．
【答案】
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：∵的一个根为，
∴另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【考点2 解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程】
【例2.1】解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】利用直接开平方法解方程即得答案.
【详解】解：∵，
∴，
解得：，；
故选：C.
【点睛】本题考查了利用直接开平方法解方程，属于基础题，掌握求解的方法是关键.
【例2.2】若方程可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若方程可以直接用开平方法解，则k-5≥0，从而可得答案．
【详解】解：由题意知，k-5≥0．
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握能够用直接开平方法解的一元二次方程的特点是解本题的关键．
【例2.3】定义一种新运算，，则方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．
【答案】D
【分析】根据定义的新运算可知：，由此可求得．
【详解】解：由题意可知，
即：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是定义新运算，以及直接开平方法解一元二次方程，此类题型重点是严格按照新运算进行列式运算．
【变式2.1】方程的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用开平方法解一元一次方程，即可得出答案．
【详解】解：，
开方得：或，
解得：，．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
【变式2.2】一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
【答案】C
【分析】根据直接开方法解一元二次方程的方法选择即可．
【详解】解：（x＋1）2＝2，
两边开方得，x＋1＝，
可转化为一元一次方程为x＋1＝，x＋1＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程．
【变式2.3】小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____．
【答案】x-4=-（5-2x）
【分析】根据转化思想、直接开平方法解答．
【详解】解：开平方，得x-4=±（5-2x），
∴x-4=5-2x或x-4=-（5-2x），
∴他漏掉的另一个方程为x-4=-（5-2x），
故答案为：x-4=-（5-2x）．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式2.4】若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】用直接开平方法即可进行解答．
【详解】解：，
，
或，
∵，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤．
【变式2.5】已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 _________________．
【答案】
【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．
【详解】解：，
，
解得．，
方程的两根为、，且，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．以为一根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的概念，将代入每个选项，判断即可．
【详解】解：将将代入每个选项，可得：
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的概念，一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的解，掌握根的概念是解题的关键．
3．关于的一元二次方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念可求出的值，根据解为可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程，
∴，解得，，
∴一元二次方程，
∵解为，
∴，解得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值的方法是解题的关键．
4．关于x的一元二次方程的其中一个根是0，则_____．
【答案】
【分析】把代入原方程得，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】解：把代入方程得，
解得，，
因为，
所以a的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是________．
【答案】
【分析】把代入原方程，可得，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
6．已知m是方程的一个根，则的值为_______．
【答案】2025
【分析】根据题意可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根
∴，
∴，
∴．
故答案为：2025
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握式方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
7．若关于 的一元二次方程 没有一次项，则 的值为___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为，由方程没有一次项可得，即可得答案．
【详解】∵关于 的一元二次方程 没有一次项，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
8．写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（是常数且）写方程即可，注意要符合题目条件.
【详解】由题意得：
故答案为（答案不唯一）
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式以及方程的解，难度较低，熟练掌握相关知识点是解题关键.
9．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．
【答案】
【分析】设，将方程变形，开方求出a的值，即可确定出所求．
【详解】解：设，则，
方程变形得：，
开方得：或，
解得： 或（舍去），
∴；
故答案为：6．
【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程， 熟练掌握直接开平方法解方程是解本题的关键．
10．方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】/
【分析】利用直接开平方法求出，然后根据方程有实数根结合二次根式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键．
11．若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是_____．
【答案】4
【分析】一元二次方程开平方求出两根，再根据三角形面积公式即可解得．
【详解】
，
【点睛】此题考查了一元二次方程的根和直角三角形面积，解题关键是熟悉一元二次方程的解法．
12．已知是一元二次方程的一个根，则另一根是___________．
【答案】
【分析】将代入方程即可求出的值，然后将代入方程后即可求出的值．
【详解】解：将代入一元二次方程，得：，
解得：，
∴，
解得：，
∴另一根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
13．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有，如：．若，则实数x的值是________．
【答案】8或2
【分析】先根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
故答案为；8或2．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意得到是解题的关键．
14．若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值是_________．
【答案】1
【分析】根据题意，可得两根互为相反数，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程的两个根互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．
15．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；
（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可．
【详解】（1）∵，
∴二次项系数化1，可得：，
方程两边开平方，可得：；
（2）∵，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键．
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第01讲 一元二次方程和直接开平方法解一元二次方程
【人教版】
·模块一 一元二次方程
·模块二 直接开平方法解一元二次方程
·模块三 课后作业
1. 一元二次方程得定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
3. 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1.1】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①；②；③； ④； ⑤；⑥．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【例1.2】当______时，关于的方程是一元二次方程．
【例1.3】关于的一元二次方程，常数项为，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
【变式1.1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围为________．
【变式1.3】若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2.1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【例2.2】将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为______．
【变式2.2】若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．
【变式2.3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
【考点3 一元二次方程的根（解）】
【例3.1】已知方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．4046 B． C． D．0
【例3.3】若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】关于x的一元二次方程有一个解是0，则m＝______．
【变式3.2】若m是一元二次方程的根，则的值为_____
【考点4 建立一元二次方程模型】
【例4.1】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）

A． B．
C． D．
【例4.2】2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例4.3】我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如x2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x1=,x2=.
【考点1 解形如x2=p（p≥0）的方程】
【例1.1】方程的根是（　　）
A． B．， C．， D．，
【例1.2】关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________．
【变式1.1】方程的解是__________．
【变式1.2】已知方程的解是有理数，那么对于下列实数m不能取的数是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．10
【变式1.3】方程的一个根为，则另一个根为x=___________．
【考点2 解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程】
【例2.1】解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例2.2】若方程可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【例2.3】定义一种新运算，，则方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．
【变式2.1】方程的根为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
【变式2.3】小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____．
【变式2.4】若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2.5】已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 _________________．
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．以为一根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的其中一个根是0，则_____．
5．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是________．
6．已知m是方程的一个根，则的值为_______．
7．若关于 的一元二次方程 没有一次项，则 的值为___________．
8．写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________
9．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．
10．方程有实数根，则k的取值范围是______．
11．若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是_____．
12．已知是一元二次方程的一个根，则另一根是___________．
13．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有，如：．若，则实数x的值是________．
14．若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值是_________．
15．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
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【人教版九上数学暑假自学辅导与过关练习】01一元二次方程的定义及解法（直接开平方法）(1)（原卷版+解析版）