【同步训练】浙教版2023-2024数学八年级上册第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理（1）（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考）（含解析）

浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.3等腰三角形的性质定理（1）
【知识重点】
1．等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等(即在同一个三角形中，等边对等角).
如图1，几何语言：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
2．推论：
等边三角形的各内角都等于60°.
3．轴对称性：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有1条或3条.
4.考点:等腰三角形的性质定理以及与之的边、角计算.
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为AB上一点，D为BC延长线上一点，连接DE，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G.若CF＝GF，∠D＝35°，则下列结论错误的是（　　）
A．CD＝EG B．DF＝EF C．CD＝CF D．BD＝DE
【答案】D
【解析】∵EG∥BC，
∴∠FEG＝∠D，∠AEG＝∠ABC，∠AGE＝∠ACB，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠AEG＝∠AGE＝70°，
在△FEG和△FDC中，
，
∴△FEG≌△FDC（AAS），
∴EG＝DC，EF＝DF，故A，B选项正确；
∵∠GEF＝∠D＝35°，
∴∠GFE＝70°﹣35°＝35°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∴CD＝CF，故C选项正确；
∵∠DEB＝180°﹣70°﹣35°＝75°，∠B＝70°，
∴∠DEB≠∠B，
∴BD≠ED，故D选项错误，
故答案为：D.
【例2】已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（　　）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
【答案】C
【解析】①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°﹣80°﹣80°＝20°.
故答案为：C.
【例3】如图，已知等腰三角形，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵等腰三角形，，
∴，
∵点B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【例4】如图，在中，，点D在上，，，垂足分别为E、F，且.求证：D是的中点.
【答案】证明：∵，，且，
∴是的角平分线，
∵在中，，
∴D是的中点.
【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AE∥BC，且AE＝CD．求证：BE＝AD．
【答案】证明：∵AE∥BC，
∴∠EAB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EAB＝∠C，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD．
【例6】如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点，可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【基础训练】
1．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形．若∠EAB=20°，则∠DCE等于(　　)．
A．45° B．40° C．30° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】过点E作EJ∥CD．
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∵AB∥CD，EJ∥CD，
∴AB∥EJ，
∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，
∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，
∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，
故答案为：B
2．在等腰三角形ABC中，，过点A作的高AD．若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（　　）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
【答案】D
【解析】情况1：如图：
∵，
∴，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15°，
底角与顶角的度数比为：15°：150°=1：10；
情况2：如图：
∵，CA=CB，
∴∠B=∠CAB=，
底角与顶角的度数比为：75°：30°=5：2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5：2或1：10，
故答案为：D.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为；
综上：顶角为或；
故答案为：C．
4．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和＝180° 60°＝120°；
∴∠α+∠β＝360° 120°＝240°；
故答案为：A.
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　）
A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】C
【解析】∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
6．若等腰三角形的一个内角为，则底角为　 　.
【答案】85°或47.5°
【解析】由题意知，分两种情况：
①当这个85°的角为底角时，则另一底角也为85°；
②当这个85°的角为顶角时，则底角.
故答案为：85°或47.5°.
7．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC=45°，AF=6，则BD的长为　 　
【答案】3
【解析】∵AB=AC，AD是底边BC上的高线 ，
∴BD=，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ECA=45°，
∴AE=CE，
∵∠EAF+∠AFE=90°，∠ECB+∠DFC=90°，∠AFE=∠DFC，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF与△CEB中，
∵∠AEC=∠CEB=90°，AE=CE，∠EAF=∠ECB，
∴△AEF≌△CEB（ASA）
∴BC=AF=6，
∴BD=3.
故答案为：3.
8．一张小凳子的结构如图所示，AC=BC，∠1=100°， 则∠2=　 　°．
【答案】50
【解析】∵AC=BC，
∴∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2+∠CAB=2∠2，
又∵∠1=100°，
∴∠2=50°.
故答案为：50.
9．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．
【答案】解：∵CA=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠B=42°，
∴∠A=∠B=42°，
∴∠ACB=96°，
又∵D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=48°．
10．在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．
【答案】解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【培优训练】
11．如图，在等腰三角形中，是底边上的中线，是高线.图中与一定相等的角有（不含本身）（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】为等腰三角形
平分
故有2个角和它相等
故答案为：B.
12．如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：D.
13．如图，，，则下列与的度数最接近是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：B．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（　　）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】C
【解析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm.
故答案为：C.
15．如图，和的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则线段的长为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【解析】，
，
平分，
，
，
，
同理，
.
故答案为：A.
16．如图，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
17．在ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）
A．40° B．36° C．30° D．35°
【答案】B
【解析】【解答】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故答案为：B．
18．如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【答案】C
【解析】在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AB＝BD，∠ABD＝20°，
∴BD＝BC，∠CBD＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BDC＝（180°﹣40°）÷2＝70°.
故答案为：C.
19．如图，已知是边长为3的等边三角形，，，点M，N分别是，边上的点，且.连接，则的周长是（　　）
A．5 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】延长至F，使，连接，
∵是等腰三角形，，
∴，
∵是边长为3的等边三角形，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长.
故答案为：B.
20．如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B=　 　°．
【答案】
【解析】设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE＋∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF＋∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A＋∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴4x＋6x＋6x＝180°，
解得，
∴∠B=，
故答案为：.
21．如图，在中，，，，则　 　度.
【答案】20
【解析】∵，，
，
又，，
，
∵，
∴，
，
.
故答案为：20.
22．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为 　 　.
【答案】92°
【解析】∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AKM=∠BNK，
∵∠AKN＝∠B+∠BNK，
即∠AKM+∠MKN＝∠B+∠BNK，
∴∠B＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°﹣2×44°＝92°.
故答案为：92°.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数.
【答案】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数.
【答案】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝80°.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20.
25．在中，，点E在边上，连结，将沿翻折使得点D落在边上得，连结．
（1）如图1，，，求的度数．
（2）如图2，若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵将 沿 翻折得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
26．如图，，，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数.
【答案】（1）证明：如图，
∵ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴；
（2）解：由（1）， .
∴
∴
∵ ，
∴ .
∴
∴ .
27．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且.
（1）如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论；
（2）如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
（3）在等边三角形中，点O在直线上，点P在线段的延长线上，且，若的边长为2，，求的长.（请画出相应图形，并写出解题过程）
【答案】（1）
（2）解：在图2中，过O作，
则，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过O作，交延长线于Q，
则，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，又的边长为2，
∴.
【解析】（1）.理由为：
如图1，
∵是等边三角形，
∴，
∵点O为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【直击中考】
28．如图，中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：C
29．如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 　 　.
【答案】1
【解析】连接 ，如下图，
于点 于点 ，
，
，
，
故答案是：1.
30．如图，在 中，点D是边BC上的一点．若 ， ，则∠C的大小为　 　．
【答案】34°
【解析】∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠BAD=44°，
∴∠ADB= =68°，
∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C=∠DAC= ∠ADB=34°，
故答案为：34°．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.3等腰三角形的性质定理（1）
【知识重点】
1．等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等(即在同一个三角形中，等边对等角).
如图1，几何语言：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
2．推论：
等边三角形的各内角都等于60°.
3．轴对称性：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有1条或3条.
4.考点:等腰三角形的性质定理以及与之的边、角计算.
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为AB上一点，D为BC延长线上一点，连接DE，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G.若CF＝GF，∠D＝35°，则下列结论错误的是（　　）
A．CD＝EG B．DF＝EF C．CD＝CF D．BD＝DE
【例2】已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（　　）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
【例3】如图，已知等腰三角形，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【例4】如图，在中，，点D在上，，，垂足分别为E、F，且.求证：D是的中点.
【例5如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AE∥BC，且AE＝CD．求证：BE＝AD．
【例6】如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点，可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【基础训练】
1．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形．若∠EAB=20°，则∠DCE等于(　　)．
A．45° B．40° C．30° D．25°
2．在等腰三角形ABC中，，过点A作的高AD．若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（　　）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
4．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　）
A．30° B．25° C．15° D．10°
6．若等腰三角形的一个内角为，则底角为　 　.
7．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC=45°，AF=6，则BD的长为　 　
8．一张小凳子的结构如图所示，AC=BC，∠1=100°， 则∠2=　 　°．
9．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．
10．在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．
【培优训练】
11．如图，在等腰三角形中，是底边上的中线，是高线.图中与一定相等的角有（不含本身）（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，，，则下列与的度数最接近是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（　　）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
15．如图，和的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则线段的长为（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
16．如图，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
17．在ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）
A．40° B．36° C．30° D．35°
18．如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．75°
19．如图，已知是边长为3的等边三角形，，，点M，N分别是，边上的点，且.连接，则的周长是（　　）
A．5 B．6 C．9 D．12
20．如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B=　 　°．
21．如图，在中，，，，则　 　度.
22．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为 　 　.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数.
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数.
25．在中，，点E在边上，连结，将沿翻折使得点D落在边上得，连结．
（1）如图1，，，求的度数．
（2）如图2，若，，求的度数．
26．如图，，，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数.
27．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且.
（1）如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论；
（2）如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
（3）在等边三角形中，点O在直线上，点P在线段的延长线上，且，若的边长为2，，求的长.（请画出相应图形，并写出解题过程）
【直击中考】
28．如图，中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
29．如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 　 　.
30．如图，在 中，点D是边BC上的一点．若 ， ，则∠C的大小为　 　．
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【同步训练】浙教版2023-2024数学八年级上册第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理（1）（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考）（含解析）