河北省武邑中学2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含答案）

武邑中学2022-2023学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的中位数为1．则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用样本估计总体，以下四个选项不正确的（ ）
A．丁险种最受参保人青睐
B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高
C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20%
D．30~41周岁参保人数最多
3．考试的时候小明忘记了egg（鸡蛋）怎么写，只记得有e，g，g三个字母，就随机写了一个，则他写对的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件
B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥
C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
5．如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD上的动点，点F为BC的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．某校有年轻教师30人和老教师20人进行党史答题比赛．按照分层抽样的方法抽取5名教师，相关统计情况如下：年轻教师答对题目的平均数为2，方差为0.54；老教师答对题目的平均数为3，方差为1，则这5人答对题目的方差为（ ）
A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.94
7．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿x轴折起，若折起后A、B之间的距离为4，且二面角为，则（ ）
A．－1 B．1 C． D．
8．下列说法正确的为（ ）
A．在中，若，，，则有且只有一个这样的三角形
B．在中，是的必要不充分条件
C．在中，若，则为钝角三角形
D．在中，对于，恒成立是为直角三角形的充要条件
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（ ）
A．参加社团的同学的总人数为480
B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人
D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35
10．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A．太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长是乙地日影长的（ ）
A． B． C． D．
11．2023年是我国改革开放45周年，改革开放以来，我国发生了翻天覆地的变化，居民消费水平也得到了大幅提升，调查得到某市居民周末消费金额（单位：元）的频率分布直方图如图所示，则（ ）
0．0020
A．
B．消费金额超过300元的占
C．上四分位数为400元
D．估计该市居民周末人均消费为275元（每组数据以区间的中点值为代表）
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，E为AC上的动点，则（ ）
A．
B．为等边三角形
C．向量在向量方向上的投影向量为
D．的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，，若，，则______．
14．若复数：，则______．
15．位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩，双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖C的仰角是45°，看塔尖B的仰角是60°，，若A到山脚底部D的距离为米，A到山脚底部E的距离为30米，则两塔塔尖之间的距离为______米．
16．三梭锥的底面是以AC为底边的等腰直角三角形．且，各侧棱长均为3，点E为棱PA的中点，则E到平面ABC的距离为______；三棱锥的外接球的表面面积为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱部分的高为10米，底面圆的半径为5米．
（1）求该粮仓体积；
（2）已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用．
18．（本小题满分12分）
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下表：
第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 第六场 第七场
甲 26 28 32 22 37 29 36
乙 26 29 32 28 39 29 27
（1）分别求出甲、乙两人这七场比赛的平均得分及方差，并判断谁的得分更稳定；
（2）已知甲、乙两人每场比赛的得分情况相互独立，若高于30分则认为该场发挥出色，则用频率估计概率，试估计第八场甲乙均发挥出色的概率．
19．（本小题满分12分）
欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（i是虚数单位）．已知复数，，．
（1）当时，求a的值；
（2）当时，若且，求的值．
20．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，点E是PC的中点．
（1）点E和棱AB确定的平面与棱PD的交点为G，求；
（2）求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正切值．
21．（本小题满分12分）
有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
22．（本小题满分12分）
如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，．
（1）求BD的长；
（2）若AC与BD交于点O，求的面积．
2022-2023学年高一年级下学期期末考试
数学参考答案及解析
一、选择题
1．B【解析】因为样本a，0，1，2，3的中位数为1，所以1排在第三位，所以．故选B．
2．C【解析】对A：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确；对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确；对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故C错误；对D：由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故D正确．故选C．
3．C【解析】所有的排法为（e，g，g），（g，e，g），（g，g，e），共有3种写法，故正确的概率为．故选C．
4．B【解析】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误；对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确；对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误；对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误．故选B．
5．B【解析】因为，，其中为在上的投影，又因为点E为边长为4的等边中线BD上的动点，点F为BC的中点，所以，所以．故选B．
6．D【解析】由分层抽样可得年轻教师抽取的人数为，老教师抽取的人数为，所有老师答对题目的平均值，
所有老师答对题目的方差．故选D．
7．A【解析】过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D．过C作，连接BM，AM．
因为轴，，所以轴，所以∠ACM为二面角的平面角，即，在中，，所以，因为，所以四边形BDCM为平行四边形，所以，所以，，，所以面ACM，在中，，所以，所以周期为4，，又因为图象得函数经过点，所以，且，所以，所以，所以．故选A．
8．C【解析】在中，由正弦定理可知，即，解得，因为，所以，又因为，所以这样的三角形有两个，故A错误；在中，由正弦定理可知，，由得，故，所以是的充要条件，故B错误；在中，，所以，所以B为钝角，此时为钝角三角形，故C正确；在中，，由向量减法的几何意义可知∠C为直角，所以为直角三角形，若为直角三角形，不一定∠C为直角，所以对于任意的t，不成立，故D错误．故选C．
二、选择题
9．ABD【解析】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确；对于B，参加脱口秀社团的有120名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；对于C，参加朗诵社团的人数为，参加舞蹈社团的人数为，故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误；对于D，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确．故选ABD．
10．AC【解析】设圭与表的交点为O，依题意，甲地的日影长为寸，因为甲、乙两地之间的距离约为20千里，所以乙地的日影长为寸或寸，，，所以甲地日影长是乙地日影长的或．故选AC．
11．BD【解析】由题可得，解得，故A错误；由频率分布直方图可知，消费金额超过300元的占比为，故B正确：上四分位数为75百分位数，，所以上四分位数为，故C错误；
所以估计该市居民周末人均消费为
元，故D正确．故选BD．
12．ABC【解析】在中，因为，
由正弦定理可知，
所以，
展开整理得，因为，所以，故A正确；
在中，由余弦定理可知，解得，又因为，所以，即，所以，解得，所以为等边三角形，故B正确；
过D作，垂足为F，在中，，，所以，即F为AC靠近C的三等分点，所以向量在向量方向上的投影向量为，故C正确；
取BC的中点M，则，由题意可知EM的最小值为，所以的最小值为，即时取最小值，故D错误．故选ABC．
三、填空题
13．－1【解析】因为，所以，解得，因为，所以，解得，所以．故答案为－1．
14．2【解析】因为，，，周期为4，且，所以，所以．故答案为2．
15．【解析】过C作，垂足为F，
在中，米，，则米．
同理，在中，米，在中，米，米，，
由余弦定理，得，
在中，米．故答案为．
16．；
【解析】取AC中点O，连接PO，BO，
因为，，所以，且，因为是等腰直角三角形，所以，且，又，满足，所以，因为，所以平面ABC，因为点E为棱PA的中点，所以E到平面ABC的距离为；设三棱锥外接球的球心为M，因为，平面ABC，所以M在PO上，设球的半径为R，所以，解得，所以三棱锥的外接球的表面积．故答案为；．
四、解答题
17．解：（1）由题知该粮仓底面圆的半径，圆柱高，圆锥高．
圆柱的体积．（2分）
圆锥的体积．（4分）
所以该组合体体积立方米．（5分）
（2）由题意可知圆锥部分展开为扇形，扇形的弧长，母线长，
所以圆锥的侧面积，（6分）
所以圆锥顶部需要花费元；（7分）
圆柱部分展开为矩形，面积，（8分）
所以圆柱部分需要花费元，（9分）
所以修建该粮仓的费用为元．（10分）
18．解：（1）甲的平均得分，（1分）
方差，（3分）
乙的平均得分，（4分）
方差，（6分）
∴，，则这七场比赛甲的平均得分与乙的平均得分相等，但乙的得分更稳定一些．（7分）
（2）甲发挥出色为事件A，由频率估计概率，（8分）
乙发挥出色为事件B，由频率估计概率；（9分）
因为甲乙比赛发挥情况相互独立，（10分）
所以．（12分）
19．解：（1）因为虚数不能比较大小，（1分）
又因为，所以，解得．（4分）
（2）当时，，．（6分）
所以，（8分）
所以，所以，（11分）
因为，所以．（12分）
20．解：（1）连接EG，AG，因为，平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，（2分）
又平面ABE，平面平面，所以，所以，（4分）
又点E是PC的中点，所以点G是PD的中点，所以．（6分）
（2）由（1）可知平面PCD，设平面平面，
又平面ABP，所以，
因为ABCD是正方形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，又因为，所以平面PAD，（8分）
因为，所以平面PAD，所以，，
所以∠APD为平面PCD与平面PAB所成的锐二面角，（10分）
在中，，所以，
所以平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正切值为1．（12分）
21．解：设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24种情况．（5分）
（1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为，，，，，，故其概率为．（7分）
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为，，，，，，，故其概率为．（9分）
（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为，，，，，，，，，故其概率为．（12分）
22．解：（1）由题意，在中，，，，
由余弦定理得，，
所以，（2分）
在中，，
所以，（3分）
所以，（4分）
在中，由余弦定理可知，
所以．（5分）
（2）由（1）可知，又因为，所以为等边三角形，
所以，，（6分）
在中，，所以，（7分）
在中，，（8分）
故，
所以，
所以，（9分）
在中，由正弦定理可知，即，解得，（11分）
所以．（12分）

河北省武邑中学2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含答案）