《第1章三角形的证明》暑期练习题 （含答案） 2022-2023北师大版八年级数学下册

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
暑期自主提升综合练习题（附答案）
一、单选题
1．等腰三角形的顶角是，则它的底角是（ ）
A．或 B． C． D．
2．如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在中，，过点A作交于点D，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
5．如图，在中，，，．、分别平分，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．2
6．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，其中斜边的端点D在斜边的延长线上，相交于点F，则以下判断不正确的是（ ）

A．是等边三角形 B．
C．CE=DE D．
7．如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，，于E，且，则的度数为 ．
10．如图，已知点是射线上一动点（不与重合），，，当 时，是等腰三角形．

11．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ．

12．如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么 °．

13．如图，在中，，的垂直平分线交于D，如果，，那么 cm．

14．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接若，则的周长为 ．
15．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连接分别交，于点，，过点作分别交，于点，，则下列结论正确的是 ．
①；②；③；④

16．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则 ．

三、解答题
17．如图，在中，，EF垂直平分，交于点F，交于点E，点D是的中点．

(1)若，求的度数；
(2)若，，求的周长．
18．如图，在中，，，是边上的一点（不与，重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接．

(1)求证：；
(2)当时，求．
19．如图，点O是等边内一点，以OC为边作等边三角形OCD，连接OD．

(1)求证：；
(2)若，，当为多少度时，是等腰三角形．
20．如图，在中，，，过点作，且，过点作交于点，连接．

(1)如图1，若，且，求的度数；
(2)如图2，若，求证：．
21．【问题背景】中，，，点D为直线上一点．
【初步探究】
(1)如图，当点D在线段上时，连接，过点A作于点A，且，过点E作于H点，交于F点．
求证：．
请将证明过程补充完整：

证明：，，即．
，，
（________________________），
______（________________________）．
为等腰直角三角形，，，
在中，
，
．
在与中，
，（________________________）．
【推广探究】
(2)如图，若点D为边BC延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【拓展应用】
(3)若，，其它条件不变时，______．
参考答案
1．解：设这个等腰三角形的底角的度数为x，
则
解得：，
故选：C．
2．解：过P作于D，

∵，
∴，
∵是角平分线
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴点P到边的距离是2，
故选：A．
3．解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
4．解：∵是的中垂线，
∴，
∵，，
∴的周长，
故选B．
5．解：如图所示，过点，分别作的垂线，垂足分别为，

∵、分别平分，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
在中，，，．
∴，
设，
∴
即
解得：，
∴，
故选：A．
6．解：过点D作，在上取点G，使，连接，

∵和是两个全等的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，选项A成立，
∴，即是等腰三角形，则选项C也成立，
，
∴，，
∴，则选项B也成立，
∴没有条件能证明，故选项D不成立，
故选：D．
7．解：∵，，
∴，，
∴，①正确；
∵是的平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，②正确；
若，则，
∵，
∴，而不一定等于，则③错误；
∵是的平分线，，
∴，，
在与中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，④正确；
∵，，而不一定等于，
∴不一定等于，⑤错误；
综上，正确的结论有3个，
故选：B．
8．解：连接，交于点N，连接，如图，

∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，
∴点B与点C关于直线对称，，
∴，
∴，
当点P与点N重合时，取得最小值，
此时点N是三个内角角平分线的交点，
故平分，
故，
故选D．
9．
解：分两种情况讨论：
如图1，当点E在上时，
Rt中，，
∴中，；
如图2，当点E在的延长线上时，
Rt中，，
∴中，；
综上所述，的度数为55°或35°．
故答案为：55°或35°．
10．解：当为等腰三角形时，分三种情况：
①如图，，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，

；
③如图，，

∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为或2或．
故答案为：或2或．
11．解：∵，
∴，，
∵和的平分线分别交于点G、F，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为2．

12．解：∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴．
故答案为：50．
13．解：∵，
∴，
∵的垂直平分线交于D，，
∴，而，
∴，
∴，
故答案为：
14．解：由基本作图方法得出：垂直平分，
则，
∴，
而，，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
15．解：∵为等边三角形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴是等腰三角形，，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故②正确；
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故，
故③错误；
，
，
即，
故④正确；
故答案为：①②④．
16．解：如图，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
同理可得：，
∴，
同理：，
，
，
…，
以此类推：
故答案是：．
17．（1）解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵点是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴
，
即的周长是18cm.
18．（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴
19．（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
，
，
当时，，则，
∴，
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴，
综上，当为或或时，是等腰三角形．
20．（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，在上取，使，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明：，，即．
，，
（三角形内角和定理），
（同角的余角相等）．
为等腰直角三角形，，，
在中，
，
．
在与中，，
，
（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：三角形内角和定理；；同角的余角相等；；全等三角形的对应边相等；
（2）证明：，，即．
，，
（三角形内角和定理），
（同角的余角相等）．
为等腰直角三角形，，，
在中，
，
即为等腰直角三角形，
．
在与中，，
，
（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：当点D在线段上时，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点D为边延长线上一点时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
故答案为：4或8．

《第1章三角形的证明》暑期练习题 （含答案） 2022-2023北师大版八年级数学下册