2022-2023安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
3. 若为方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 的三边长分别为，，下列条件：；；：：：：；：：：：其中能判断是直角三角形的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7. 在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：，，，，，，单位：分若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是( )
A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 方程的解是______．
12. 如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为______ ．
13. 在直线上依次摆放着七个正方形如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则______．
14. 如图， 中，，：：，点是的中点．
当时，则 ______ ；
点在上，且：：，过点分别作于点，于点，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：．
16. 本小题分
解方程：因式分解法
17. 本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，正方形的顶点称为格点．
以格点为顶点画，使得，，；
求的面积和点到的距离；
18. 本小题分
观察下列等式，解答后面的问题．
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．
按照此规律，第个等式是：______ ；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明．
19. 本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根，
求的取值范围；
若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
20. 本小题分
为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级名学生进行测试，并把测试成绩单位：绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分组 频数
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
请把频数分布直方图补充完整；
跳远成绩大于等于为优秀，若该校八年级共有名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？
21. 本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
求证：四边形是菱形；
过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长．
22. 本小题分
某水果批发商店以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可售出千克通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可多售出千克．
若将这种水果每千克的售价降低元，则一天的销售量是______ 千克；用含的代数式表示
要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？
23. 本小题分
如图，在正方形中，，垂足为．
求证：；
如图，平移线段，使，连接．
求证：；
如图，连接，当、、三点共线时，则 ______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：设这个多边形是边形，
由题意得，，
解得，
所以，这个多边形是五边形．
故选：．
根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
则，
则．
故选：．
把代入方程求得，然后根据即可求解．
本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
4.【答案】
【解析】解：：由，可知：，是直角三角形．
由，可得，是直角三角形．
由：：：：，可知不是直角三角形．
由：：：：，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．
故选：．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
5.【答案】
【解析】解：变形为：，
配方得：，
即；
故选：．
根据配方法的步骤进行即可．
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步骤并正确配方是关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，
又平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
又，
即，
．
故选：．
根据平行四边形的性质以及角平分线的定义得出，，再根据线段的和差关系即可求解
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质以及角平分线的定义得出与的长是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：将分数从小到大依次排序为：，，，，，，；
平均分为：，
众数为：，
中位数为：，
方差为：，
去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：，，，，；
平均分为：，
众数不存在，
中位数为：，
方差为：，
去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：．
先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可．
本题考查了平均数、众数、中位数、方差．解题的关键在于正确的运算．
8.【答案】
【解析】解：连接，过点作于，并延长，交于点，
四边形是矩形，，
，，，，
，
四边形是矩形，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，进而利用矩形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
10.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
连接，
，，
四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
当最小时，则最小，
根据垂线段最短可知当时，则最小，
，
故选：．
连接，根据矩形的性质可知：，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长．
本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．
11.【答案】
【解析】解：，
移项得：，
两边直接开平方得：，
故答案为：．
首先移项可得，再两边直接开平方即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接．
直线垂直平分，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
；
故答案为：．
连接在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出即可．
本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，，
．
在和中，
，
≌，
．
，，
．
，，，，
．
同理．
则．
证明≌，推出，同理可得到的值，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作延长线于点，
在 中，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
：：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
故答案为：；
过点作延长线于点，
平行四边形中，：：，，，
，
，
设，则，
，，
是的中点，
，
，
，
：：，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作延长线于点，由平行四边形的性质得出，得出，然后利用含度角的直角三角形和勾股定理即可解决问题；
过点作延长线于点，设，则，由直角三角形的性质和勾股定理求出，，由三角形的面积关系得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、三角形面积公式、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；涉及知识点较多，综合性强，难度较大，合理添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】解：原式
．
【解析】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16.【答案】解：方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.【答案】解：如图：即为所求；
的面积为：，
设边上的高为，则：，
解得：，
所以的面积是，点到的距离是．
【解析】根据勾股定理作图；
根据割补法求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握勾股定理及割补法求面积是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：根据规律可知，第个等式是：
，
故答案为：；
根据规律猜想第个等式为：，
证明：
，
故猜想成立，即．
根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可；
根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可．
本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
且；
方程的一个根是，
，
解得，
，即，
解得．
即另一个根为．
【解析】因为关于的方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于的不等式组，解得的取值范围即可；
根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，求出的值，再解方程即可求得方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解的定义，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
20.【答案】解：第三组的频数为，
补全的频数分布直方图如图所示：
人，
答：估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有人．
【解析】用减去其它三组的频数求出第三组的频数，即可将频数分布直方图补充完整；
用乘以跳远成绩大于等于的百分比即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据垂直的定义得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：根据题意得：若将这种水果每千克的售价降低元，则一天的销售量是千克．
故答案为：；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：商店需将每千克的售价降低元．
利用一天的销售量，即可用含的代数式表示出一天的销售量；
利用总利润每千克的销售利润一天的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】证明：过点作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：延长与的延长线相交于点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：连接，设，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，证明≌即可证明结论；
延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
利用勾股定理表示出与之间的关系，即可求出结论．
本题考查了三角形全等，正方形的性质，勾股定理的应用，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键．
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