分形维数几何学术语

分形维数被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分维反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下或过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，进而拓展了视野。

中文名

分形维数

外文名

fractal dimension

所属学科

几何学

应用

数学，地理，生物，机械故障诊断

原理简介

fractal dimension主要描述分形最主要的参量，简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是 3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、谢尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成4个长1/3英寸的线段，总长度变为 3×4×1/3=4 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的 ，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。

详细内容

计算分形维数的公式如下

式中是小立方体一边的长度， 是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为 的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。对于通常的规则物体 ，覆盖一根单位 长度的线 段所需 的数目要 ，覆盖一个单位边长的正方形， ，覆盖单位边 长的立方体， 。从这三个式子可见维数公式也适用于通常的维数含义。利用维数公式可算得科赫曲线的维数 ，谢尔宾斯基海绵的维数d=(ln3/ln2)=1.585。对于无规分形，可用不同的近似方法予以计算，也可用一定的适当方法予以测定。

参考资料

1.絮凝体的DLA分形模拟及其分形维数的计算方法·中国知网