2023年浙江省数学中考试题真题分类汇编 图形的性质（含解析）

2023年浙江省数学中考试题汇编图形的性质
一、选择题（本大题共15小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. (2023·浙江省杭州市)一枚质地均匀的正方体骰子六个面分别标有数字，，，，，，投掷次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字根据下面的统计结果，能判断记录的这个数字中一定没有出现数字的是( )
A. 中位数是，众数是 B. 平均数是，中位数是
C. 平均数是，方差是 D. 平均数是，众数是
2. (2023·浙江省金华市)如图，已知，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
3. (2023·浙江省绍兴市)如图，在中，是边上的点不与点，重合过点作交于点；过点作交于点、是线段上的点，：是线段上的点，若已知的面积，则一定能求出( )
A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积
4. (2023·浙江省丽水市)如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是( )
A. B. C. D.
5. (2023·浙江省宁波市)如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连接，，设，，的面积分别为，，，若要求出的值，只需知道( )
A. 的面积 B. 的面积
C. 的面积 D. 矩形的面积
6. (2023·浙江省绍兴市)如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，分别向终点，运动，且始终保持点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，在整个过程中，四边形形状的变化依次是( )
A. 菱形平行四边形矩形平行四边形菱形
B. 菱形正方形平行四边形菱形平行四边形
C. 平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形
D. 平行四边形菱形正方形平行四边形菱形
7. (2023·浙江省金华市)如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是( )
A. B. C. D.
8. (2023·浙江省金华市)在下列长度的四条线段中，能与长，的两条线段围成一个三角形的是( )
A. B. C. D.
9. (2023·浙江省杭州市)如图，矩形的对角线，相交于点若，则( )
A.
B.
C.
D.
10. (2023·浙江省台州市)如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，下列命题中，假命题是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. (2023·浙江省宁波市)如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，，设，，的面积分别为，，，若要求出的值，只需知道( )
A. 的面积
B. 的面积
C. 的面积
D. 矩形的面积
12. (2023·浙江省)如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点若四边形的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
13. (2023·浙江省)如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图；
第二步，再将图中的纸片沿对角线折叠，展开后如图；
第三步，将图中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图则的长为( )
A. B. C. D.
14. (2023·浙江省丽水市)如图，在菱形中，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
15. (2023·浙江省杭州市)如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题）
16. (2023·浙江省杭州市)如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上若，，则 ______ ．
17. (2023·浙江省台州市)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为______ ．
18. (2023·浙江省宁波市)如图，在中，，为边上一点，以为直径的半圆与相切于点，连接，， 是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．
19. (2023·浙江省绍兴市)如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______ ．
20. (2023·浙江省绍兴市)在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部包括边界，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形例如：如图，函数的图象抛物线中的实线部分，它的关联矩形为矩形若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ______ ．
21. (2023·浙江省台州市)如图，矩形中，，在边上取一点，使，过点作，垂足为点，则的长为______ ．
22. (2023·浙江省金华市)如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为______ ．
23. (2023·浙江省杭州市)如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24. (2023·浙江省绍兴市)如图，在正方形中，是对角线上的一点与点，不重合，，，，分别为垂足连接，，并延长交于点．
求证：；
判断与是否垂直，并说明理由．
25. (2023·浙江省金华市)如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，，连结，过点作于点．
求证：四边形为矩形．
已知的半径为，，求弦的长．
26. (2023·浙江省)
如图，在菱形中，于点，于点，连结．
求证：；
若，求的度数．
27. (2023·浙江省台州市)
如图，四边形中，，，为对角线．
证明：四边形是平行四边形；
已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上保留作图痕迹，不要求写作法．
28. (2023·浙江省杭州市)
如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
求证：四边形是平行四边形．
若的面积等于，求的面积．
29. (2023·浙江省绍兴市)
如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
若，求的度数；
若，，求的长．
1.【答案】
【解析】解：当中位数是，众数是时，记录的个数字可能为：，，，，或，，，，或，，，，，故A选项不合题意；
当平均数是，中位数是时，个数之和为，记录的个数字可能为，，，，或，，，，，故B选项不合题意；
当平均数是，方差是时，个数之和为，假设出现了次，方差最小的情况下另外个数为：，，，，此时方差，因此假设不成立，即一定没有出现数字，故C选项符合题意；
当平均数是，众数是时，个数之和为，至少出现两次，记录的个数字可能为，，，，，故D选项不合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，，
，，，．
∽，．
，
，，
，．
，
又，
∽．
．
，
．
．
．
，
．
故选：．
如图所示，连接，证明∽，得出，由已知得出，则，又，则∽，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
4.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，交的延长线于，则，
，
，，
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
矩形是正方形，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，
由勾股定理得：．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：
，，，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
本题考查矩形的性质，求三角形的面积，解题的关键是得到．
【解答】
解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，
四边形是矩形，
，，，
，，
四边形为矩形，
，，，
，，
，
又，
，
只需要知道的面积即可求出的值
故选C．
6.【答案】
【解析】解：如图中，
四边形是矩形，
，，
，，
、，
，
对称，
，，，，．
对称
，
，
，
同理，
，
，
四边形是平行四边形，
如图所示，当，，三点重合时，，
，即，
四边形是菱形．
如图所示，当，分别为，的中点时，设，则，，
在中，，，连接，，
，，
是等边三角形，
为中点，
，，
．
根据对称性可得．
，，，
，
是直角三角形，且，
四边形是矩形．
当，分别与，重合时，，都是等边三角形，则四边形是菱形，
在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形平行四边形矩形平行四边形菱形，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：四边形、四边形、四边形都是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
，，
、、三点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，
，，
，
≌，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由正方形的性质得，，，则，可证明≌，得，而，所以，再证明≌，得，设，则，可求得，由，得，由，得，即可求得，，则，于是得到问题的答案．
8.【答案】
【解析】解：设第三条线段长为，由题意得：
，
解得：，
只有适合，
故选：．
首先设第三条线段长为，再利用三角形的三边关系可得的范围，然后可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，，
≌，
，故选项B是真命题，不符合题意；
，故选项D是真命题，不符合题意；
，，，
≌，
，故选项C是真命题，不符合题意；
不能证明时，，故选项A是假命题，符合题意；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：作于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
四边形是矩形，，
，，
，
只需知道，就可求出的值，
故选：．
作于点，交于点，可证明四边形是矩形，，可推导出，所以只需知道，就可求出的值，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接．
点是的重心，点是边的中点，
在上，，
：：，
，
∽，
，
，
∽，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为，
，
，
的面积为，
的面积是．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
四边形为矩形，，，
，，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
．
故选：．
过点作于点，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，进而得出，，利用等角的余角相等可得，则，于是可得，由等腰三角形的性质可得，易证明∽，利用相似三角形的性质即可求解．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
故选：．
连接交于点，由菱形的性质得，，，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，即可得出结论．
15.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
半径，互相垂直，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理可求解的度数，结合垂直的定义可求解的度数，再利用圆周角定理可求解．
本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可求出的度数．
17.【答案】
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点、、．
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
，
．
又纸条的长边平行，
，
．
故答案为：．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
18.【答案】或
【解析】
解：连接，
以为直径的半圆与相切于点，
，，
设，则，
在中：，即：，
解得：，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
当时，，
当时，
，
点与点重合，
，
不存在的情况
综上：的长为或．
故答案为或．
19.【答案】或
【解析】解：以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和，如图所示，
在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的度数．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20.【答案】或
【解析】解：由，当时，，
，
，四边形是矩形，
，
当抛物线经过、时，将点，代入得
，
解得；
当抛物线经过、时，将点，代入得
，
解得，
综上所述，或，
故答案为：或，
根据题意求得点，，，然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
根据矩形的性质可得出，结合已知，利用证得和全等，得出，再根据矩形的性质得到，从而在中利用勾股定理求出的长．
22.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长．
故答案为：
连接，，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，由，，因此，由弧长公式即可求出的长．
本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出，从而求出的度数．
23.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，，．
六边形是的内接正六边形，
，
是的内接正三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，，
又，
≌，
，
圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
，
，
故答案为：
连接，，，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出≌，得到，进而求解即可．
此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24.【答案】证明：在正方形中，，，
，
，
．
解：，理由如下．
连结交于点，如图：
为正方形的对角线，
，
又，，
≌，
．
在正方形中，，
又，，
四边形为矩形，
，
，
，
由得，
，
，
，
．
【解析】直接由平行公理的推理即可解答．
先连接，然后根据正方形的性质得出≌，从而得到再证明即可．
本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
25.【答案】证明：与轴相切于点，
轴
又，，
，
四边形是矩形；
解：连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
26.【答案】证明：四边形是菱形，
，．
又于点，于点，
，
在与中，
．
≌．
；
解：四边形是菱形，
．
而，
．
又，，
．
由知≌，
．
．
是等边三角形．
．
27.【答案】证明：，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，四边形就是所求作的菱形．

【解析】证明，可得结论；
桌线段的垂直平分线交与点交与点即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
的面积．
【解析】由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
29.【答案】解：于点，
；
是的切线，
半径，
，
，，
，
．
，
，
，
，
．
【解析】由垂直的定义得到，由三角形外角的性质即可求出的度数；
由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出的长．
本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理即可求出的长．
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